摘 要一元函数的连续、可导、可微之间存在一定的关系，这些关系对于二元函数是否还成立呢？本文将讨论它们之间的关系问题。
　　【关键词】连续；可导；可微
　　1 一元函数的连续、可导、可微之间的关系
　　对于一元函数，可导必连续，连续不一定可导；可微必连续，连续不一定可微；可导必可微，可微必可导。这些关系对二元函数会是怎样呢？
　　2 二元函数的连续、可导、可微之间的关系
　　2.1 二元函数连续与可导（偏导数存在）的关系
　　对于二元函数，偏导数存在不一定连续，连续也不一定偏导数存在。
　　如对于二元函数：
　　即
　　所以二元函数在（0，0）处连续。
　　而
　　即二元函数在（0，0）处偏导数存在。
　　结论：对于二元函数，偏导数存在时也可以连续，连续时偏导数也可以存在。
　　而对于二元函数
　　由于
　　即与k有关，
　　所以极限不存在。
　　而由，
　　知二元函數在（0，0）处偏导数存在。
　　结论：对于二元函数，偏导数存在时也可以不连续。
　　而对于二元函数：
　　由于
　　即，所以二元函数 在（0，0）连续。
　　但由于
　　所以二元函数在（0，0）处偏导数不存在。
　　结论：对于二元函数，连续时偏导数也可以不存在。
　　综合以上例子可得出如下结论：对于二元函数，偏导数存在不一定连续，连续也不一定偏导数存在。
　　2.2 二元函数可导（偏导数存在）与可微（全微分存在）的关系
　　对于二元函数，偏导数存在不一定可微，可微一定偏导数存在。
　　如对于二元函数
　　由，知
　　由，知
　　即二元函数
　　在（0，0）处偏导数存在。
　　但
　　不存在
　　所以二元函数
　　在（0，0）处的全微分不存在。
　　而对于二元函数：
　　由于
　　即二元函数在（0，0）处偏导数存在。
　　且由于函数在（0，0）处的增量
　　所以函数在（0，0）处的全微分存在。
　　结论：对于二元函数，偏导数存在不一定可微。
　　而对于二元函数，全微分存在一定偏导数存在。证明如下：
　　设二元函数在（x，y）处全微分存在，则在（x，y）处的增量
　　所以
　　所以二元函数在（x，y）处偏导数存在。
　　综合以上例子可得出如下结论：对于二元函数，偏导数存在不一定全微分存在，但全微分存在一定偏导数存在。
　　2.3 二元函数连续与可微（全微分存在）的关系
　　对于二元函数，连续不一定可微，可微一定连续。
　　如对于二元函数：
　　由于
　　即
　　所以二元函数在（0，0）处连续。
　　由于函数在（0，0）处的增量
　　所以函数在（0，0）处的全微分存在。
　　而对于二元函数：
　　由于
　　即，所以二元函数在（0，0）连续。
　　但由于函数在（0，0）处的偏导数
　　所以二元函数在（0，0）处偏导数不存在。
　　所以函数在（0，0）处的全微分也不存在。
　　结论：对于二元函数，连续不一定全微分存在。
　　而对于二元函数在（x，y）处全微分存在时必连续是可证明的。证明如下：
　　由于二元函数在（x，y）处全微分存在，所以在（x，y）处的增量
　　所以
　　所以二元函数在（x，y）处连续。
　　综合以上例子可得出如下结论：对于二元函数，连续不一定全微分存在，但全微分存在一定连续。
　　3 结束语
　　本文对一元函数的连续、可导、可微之间的关系同二元函数的连续、可导、可微之间的关系做了详细的比较，对一元函数成立的结论，对二元函数不一定成立，这一点绝不能随便借用一元函数的结论。
　　参考文献
　　[1]同济大学数学系编.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2007（04）.
　　作者简介
　　任其昇（1967-），男，现为沈阳工学院基础课部副教授。研究方向为数学。
　　作者单位
　　沈阳工学院基础课部 113122