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摘要：电磁场是在电气专业中重要的基础课，该课程特点是比较抽象，学好该课程不仅需要扎实的数学基础，还要具有较强的空间理解能力。学习电磁场的主要难点是如何应用矢量分析来解决电磁场中的基本定理，以及应用矢量方法解决实际问题。矢量图分析是在矢量代数计算或公式推导过程中充分利用矢量的几何图形的直观性来简化计算和公式推导，这种分析方法相比单纯依靠公式推导来说具有直观性和可视性。通过矢量图分析可以使学生加深电磁场基本概念的理解，提高解决电磁场实际问题的能力。
关键词：矢量计算；矢量图分析；电磁场教学
中图分类号：G642.1 ； ； ； ； ；文献标识码：A ； ； ； ； ；文章编号：1007-0079（2014）18-0048-03
电磁场课程是高等学校工科电类专业的一门技术基础课。它所涉及的内容是电类专业学生应具备的知识结构的必要组成部分，同时又是一些交叉领域的学科生长点和新兴边缘学科发展的基础。[1-4]矢量分析是电磁场的重要的数学工具，电磁场中场的建立及分析、坐标系定义、重要定理的推导都采用了矢量分析的方法。[5]矢量分析就其数学性质而言是比较抽象难以理解的，学生普遍反映没有理解矢量的计算方法，从而无法灵活应用矢量数学来解决实际问题。[6]
本文介绍在电磁场问题中可通过矢量图分析来指导学生学习矢量分析，包括矢量代数运算、多变量矢量微积分。这种方法基于矢量图的几何直观性，引导学生利用矢量图来直观描述问题，利用问题的特殊性，如对称性来简化问题求解，将解题过程从矢量图形转换成相应的公式描述。在本文中举了几个典型的例子来说明如何将问题转化成具体的矢量图进行矢量计算，并与传统的矢量代数方法进行了对比，帮助学生真正理解定理内容及如何采用矢量解决问题的方法，增强学生对问题的分析，加深对矢量代数运算的理解。
一、电磁场中矢量图分析
矢量的两个要素是矢量的大小和矢量的方向，在矢量图中矢量大小用线段长度来表示，矢量的方向用箭头来代表，矢量图分析是侧重矢量在空间中的方向。采用矢量图来解释对线、面、体的多变量微积分，相比直接用公式来计算多重积分可以清晰、直观理解沿着线、面、体的积分。例如计算通过高斯球面的通量，这个问题可以转化为球面坐标系下应用高斯定理做积分运算，对这个问题所构成的矢量图分析之后，根据通量的定义，通过球面的通量是E与球面的表面积S的乘积，所以通量等于ES=E4πr2，其中r为球面的半径，4πr2为球面的表面积计算公式，而采用矢量代数法解决高斯积分就要在球面坐标系下建立关于球面的双重积分，这个双重积分的包含球面坐标两个角度坐标参数θ与φ来表示面积微元ds，然后用坐标变换来求解积分。实际上积分计算也可以用矢量图分析来解释计算意义，在球面坐标系下曲面微分ds等于在θ轴与φ轴上各取一段弧长，两段弧长的乘积就等于曲面微元的大小，其中弧长等于半径与角度的乘积。相似的例子也可以应用在体积分中，例如函数对球体的体积分，经矢量图分析可将体积微元dv看成是底面为球面S，厚度为dr的球壳，因此dv=Sdr，体积等于底面积乘以高，而球面面积S=4πr2，这样dv=4πr2dr，对体积的积分转化成为对参数r的一重积分，而不是原来对体积的三重积分。通过矢量图分析来简化矢量代数运算的例子还有很多，可以适用于各种空间方程的推导、计算，如梯度、散度、旋度的方程推导及计算，能使矢量运算直观，也使得概念的物理意义更加明确。
矢量图分析应用在电磁场的教学中，可作为解决电磁场中关于体积积分和面积积分的一般性方法，通过矢量图分析可以用低阶微元表示高阶微元，如用面积微元来表示体积微元，用线性微元来表示面积微元，这样对于一个函数在体积V或表面积S的积分时积分公式就变得简单、容易，比如计算一个不规则几何形体的电量，在球面坐标系下，电荷的分布密度随半径变化而变化，不规则几何形体的总电量就是函数对不规则形体的体积分，而球面坐标系下体积分微元dv是一个薄球壳，即dv=4πr2dr，计算电量Q只需沿半径方向做一重积分，相对采用体积微元的三重积分计算上要容易很多。
矢量图分析能够侧重矢量的物理性质以及矢量与电磁场理论概念的联系，通过矢量图分析与电磁场理论内容相结合，会使电磁场理论教学直观并且物理意义明确，诸如梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子的数学定义，同线（环流）面（通量）体积分一样，起源于物理现象（电磁场），这些概念是电磁场定理的基础，用矢量图来解释会使得这些概念物理意义更直观。此外，如果矢量代数和矢量微积分都能够用矢量图来解释，不熟悉矢量分析的同学可以通过在电场和磁场的矢量图分析中得到学习。
二、矢量图分析应用
1.矢量代数
设带有等量正电荷Q的三个电荷分别放在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为a，计算三个电荷所受到的电场力。根据矢量代数方法，第一步建立直角坐标系，设定x和y轴的坐标，因为是二维平面，z轴为0。电荷在直角坐标系下所对应的向量分别为，和。第二步应用库伦定律来计算电荷之间所受的电场力，用Fe12电荷1与电荷2之间的电场力：
（1）
代表着从电荷1指向电荷2的矢量。同样的方法可以写出其他两个力的表达式，分别用Fe13和Fe23来表示。第三步利用力的合成计算每个点所受到的静电力，这里以电荷3所受到的电场力为例，该电荷所受到的电场力是与电荷1和电荷2所受到的电场力的合力，用公式表达为：
（2）
相似的方法可以计算电荷1和电荷2上所受的电荷力。最后，电荷3所受到的静电力及力的方向与坐标轴的角度可以分别表示为：
（3）
以上是计算静电力的通用方法，可以应用到更多的等电荷静电力计算，但这种力的计算方法很抽象，并且没有反映物理特点，比如说带电体的相互作用力的大小和方向是决定于带电体之间的距离和相互位置，没有反映出一个电荷受到的静电力是多个力的合成和力的分量之间的平衡，没有考虑到问题中电荷分布的特殊性，并且在计算过程中如果出现问题也只能通过最终的计算结果来检验。 与上述矢量代数运算相比，矢量图分析首先针对问题画出相应的矢量图，从矢量图分析所求问题，根据矢量图的几何特性建立解题思路，再将解题思路对应到公式中。在分析矢量图时，要优先考虑矢量图的对称性，并要注意问题的特殊性。针对上面三个电荷放在三角形顶点的例子，依据矢量图的对称性和库伦定律形式，不用经过计算就可以进行推断每个电荷所受到的合力Fe1、Fe2和Fe3有同样的大小，三个力位于电荷点所决定的平面上，如图1a所示，从库伦定律中可以得出电荷3所受到的静电力每个分量形式计算如下：
（4）
这两个力是独立的，如图1b中所示，依据力的合成定理即平行四边形法则，两个力矢量之间的角度为，最终电荷所受的静电力Fe3是任意分量Fe13或Fe23在对称轴投影的两倍，因此可以计算出Fe3，结果为：
（5）
2.空间微分矢量操作符
梯度是一个重要的空间矢量操作，它的定义可由标量函数的空间变化来引入，如温度场T，设在笛卡尔坐标系下点
P1（x，y，z）的温度为T1（x， y， z），在P1附近的一点的温度为T2（x+dx， y+dy， z+dz），以P1点为参考点的矢量长度微元dl为：
（6）
P1与P2两点的温度差为：
（7）
因为，，，上式可以重新改写为：
（8）
函数T的梯度函数如（8）式括号中的部分写成grad T，常用希腊字符-del符号来表示，即T，表达式为：
（9）
将上式转化到柱面坐标系下，如图所示2，在柱面坐标系下任意点的坐标为（r，φ，z），通过笛卡尔坐标与柱面坐标的变换公式改写梯度公式9，笛卡尔坐标与柱面坐标的变换公式为：
（10）
微分运算转化为：
（11）
因为z轴与x轴方向是互相垂直，因此，再根据公式（10）可以得：
（12）
将式（12）带入式（11）得：
（13）
将上式带入式（9）替代x变量，同样的方法可以得到。
同样方法采用柱面坐标系和笛卡尔坐标变换公式：
， （14）
可以求出柱面坐标系下梯度表达式为：
（15）
梯度也可以通过静电场中的电场强度E和电势V微分关系引入。比如在静电场中，A点具有电势为VA，从A点沿着x轴移动到B点，移动的距离dl=dx，两点的电势差为：
（16）
两点之间的电势差（电压），等于E从A点到B点的线性积分，这里因为距离非常短，就不需要积分号，即：
（17）
Ex代表E在x方向的分量，等于E在x轴方向的投影，如图2（b）所示。结合式（16）和式（17）可得：
（18）
相似可以得到和，因此E的完整表达式为：
（19）
上式括号内的部分是电势V=V（x，y，z）在直角坐标系中的梯度公式。电势V梯度转化为柱面坐标系下的表达式时，要注意轴是角度坐标轴，直角坐标系下长度微元dl与柱面坐标系下的相对应，等式关系为。在图2（a）中，M点的电场矢量在方向的分量可以表示为：
（20）
而不是。r轴和z轴是长度坐标轴，则不需要修改公式，在r轴与z轴的分量分别为和，因此电势V=V（r，，z）梯度在柱面坐标系下的表达式为：
（21）
推导梯度结果与式（19）推导结果相同。
比较两种梯度引入方法，显然后一种引入方法更容易理解，相似的方法可以用于其他空间微分操作的推导，如旋度、散度等。笛卡尔坐标中，公式16～19中，梯度公式是从电场强度和静电场的电势之间的积分关系推导出来，即用实际中两个相距很近的电荷电压等于电场矢量在两个电荷连线方向的分量乘以两个电荷之间的距离，如图2b所示，梯度表示出E与V之间的微分关系，这样给出梯度直观物理意义而不是抽象的物理定义，梯度等于电势在方向的负增长率，通过矢量几何方法从笛卡尔坐标过渡到柱面坐标系下也非常自然，在式（21）完整导出。在图2a中，电势变化本质上距离由角度的增加所对应的弧度即距离变化而产生。
三、结论
本文详细介绍了电磁场课程中矢量图分析方法，同时举例说明了该方法在分析和解决电磁场问题中的应用，充分利用了矢量图的几何直观性，可以使学生加深电磁场的基本概念的理解，简化电磁场计算过程。在电磁场教学应用矢量图分析可有效提高学生学习效率，提高电磁场授课质量。
参考文献：
[1]谢处方，绕克谨.电磁场与电磁波[M].第4版.北京：高等教育出版社，2006.
[2]冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论[M].北京：高等教育出版社，
2000.
[3]周希朗.电磁场理论与微波技术基础（上）[M].南京：东南大学出版社，2004.
[4]叶齐政.电磁场[M].武汉：华中科技大学出版社，2008.
[5]周顺荣.电磁场与机电能量转换[M].上海：上海交通大学出版社，2005.
[6]C. R. Paul.Electromagnetics for Engineers With Applications[M].New York：Wiley，2004.
[7]N.Ida.Engineering Electromagnetics[M].2nd ed.New York：Springer，
2004.
（责任编辑：王意琴）
关键词：矢量计算；矢量图分析；电磁场教学
中图分类号：G642.1 ； ； ； ； ；文献标识码：A ； ； ； ； ；文章编号：1007-0079（2014）18-0048-03
电磁场课程是高等学校工科电类专业的一门技术基础课。它所涉及的内容是电类专业学生应具备的知识结构的必要组成部分，同时又是一些交叉领域的学科生长点和新兴边缘学科发展的基础。[1-4]矢量分析是电磁场的重要的数学工具，电磁场中场的建立及分析、坐标系定义、重要定理的推导都采用了矢量分析的方法。[5]矢量分析就其数学性质而言是比较抽象难以理解的，学生普遍反映没有理解矢量的计算方法，从而无法灵活应用矢量数学来解决实际问题。[6]
本文介绍在电磁场问题中可通过矢量图分析来指导学生学习矢量分析，包括矢量代数运算、多变量矢量微积分。这种方法基于矢量图的几何直观性，引导学生利用矢量图来直观描述问题，利用问题的特殊性，如对称性来简化问题求解，将解题过程从矢量图形转换成相应的公式描述。在本文中举了几个典型的例子来说明如何将问题转化成具体的矢量图进行矢量计算，并与传统的矢量代数方法进行了对比，帮助学生真正理解定理内容及如何采用矢量解决问题的方法，增强学生对问题的分析，加深对矢量代数运算的理解。
一、电磁场中矢量图分析
矢量的两个要素是矢量的大小和矢量的方向，在矢量图中矢量大小用线段长度来表示，矢量的方向用箭头来代表，矢量图分析是侧重矢量在空间中的方向。采用矢量图来解释对线、面、体的多变量微积分，相比直接用公式来计算多重积分可以清晰、直观理解沿着线、面、体的积分。例如计算通过高斯球面的通量，这个问题可以转化为球面坐标系下应用高斯定理做积分运算，对这个问题所构成的矢量图分析之后，根据通量的定义，通过球面的通量是E与球面的表面积S的乘积，所以通量等于ES=E4πr2，其中r为球面的半径，4πr2为球面的表面积计算公式，而采用矢量代数法解决高斯积分就要在球面坐标系下建立关于球面的双重积分，这个双重积分的包含球面坐标两个角度坐标参数θ与φ来表示面积微元ds，然后用坐标变换来求解积分。实际上积分计算也可以用矢量图分析来解释计算意义，在球面坐标系下曲面微分ds等于在θ轴与φ轴上各取一段弧长，两段弧长的乘积就等于曲面微元的大小，其中弧长等于半径与角度的乘积。相似的例子也可以应用在体积分中，例如函数对球体的体积分，经矢量图分析可将体积微元dv看成是底面为球面S，厚度为dr的球壳，因此dv=Sdr，体积等于底面积乘以高，而球面面积S=4πr2，这样dv=4πr2dr，对体积的积分转化成为对参数r的一重积分，而不是原来对体积的三重积分。通过矢量图分析来简化矢量代数运算的例子还有很多，可以适用于各种空间方程的推导、计算，如梯度、散度、旋度的方程推导及计算，能使矢量运算直观，也使得概念的物理意义更加明确。
矢量图分析应用在电磁场的教学中，可作为解决电磁场中关于体积积分和面积积分的一般性方法，通过矢量图分析可以用低阶微元表示高阶微元，如用面积微元来表示体积微元，用线性微元来表示面积微元，这样对于一个函数在体积V或表面积S的积分时积分公式就变得简单、容易，比如计算一个不规则几何形体的电量，在球面坐标系下，电荷的分布密度随半径变化而变化，不规则几何形体的总电量就是函数对不规则形体的体积分，而球面坐标系下体积分微元dv是一个薄球壳，即dv=4πr2dr，计算电量Q只需沿半径方向做一重积分，相对采用体积微元的三重积分计算上要容易很多。
矢量图分析能够侧重矢量的物理性质以及矢量与电磁场理论概念的联系，通过矢量图分析与电磁场理论内容相结合，会使电磁场理论教学直观并且物理意义明确，诸如梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子的数学定义，同线（环流）面（通量）体积分一样，起源于物理现象（电磁场），这些概念是电磁场定理的基础，用矢量图来解释会使得这些概念物理意义更直观。此外，如果矢量代数和矢量微积分都能够用矢量图来解释，不熟悉矢量分析的同学可以通过在电场和磁场的矢量图分析中得到学习。
二、矢量图分析应用
1.矢量代数
设带有等量正电荷Q的三个电荷分别放在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为a，计算三个电荷所受到的电场力。根据矢量代数方法，第一步建立直角坐标系，设定x和y轴的坐标，因为是二维平面，z轴为0。电荷在直角坐标系下所对应的向量分别为，和。第二步应用库伦定律来计算电荷之间所受的电场力，用Fe12电荷1与电荷2之间的电场力：
（1）
代表着从电荷1指向电荷2的矢量。同样的方法可以写出其他两个力的表达式，分别用Fe13和Fe23来表示。第三步利用力的合成计算每个点所受到的静电力，这里以电荷3所受到的电场力为例，该电荷所受到的电场力是与电荷1和电荷2所受到的电场力的合力，用公式表达为：
（2）
相似的方法可以计算电荷1和电荷2上所受的电荷力。最后，电荷3所受到的静电力及力的方向与坐标轴的角度可以分别表示为：
（3）
以上是计算静电力的通用方法，可以应用到更多的等电荷静电力计算，但这种力的计算方法很抽象，并且没有反映物理特点，比如说带电体的相互作用力的大小和方向是决定于带电体之间的距离和相互位置，没有反映出一个电荷受到的静电力是多个力的合成和力的分量之间的平衡，没有考虑到问题中电荷分布的特殊性，并且在计算过程中如果出现问题也只能通过最终的计算结果来检验。 与上述矢量代数运算相比，矢量图分析首先针对问题画出相应的矢量图，从矢量图分析所求问题，根据矢量图的几何特性建立解题思路，再将解题思路对应到公式中。在分析矢量图时，要优先考虑矢量图的对称性，并要注意问题的特殊性。针对上面三个电荷放在三角形顶点的例子，依据矢量图的对称性和库伦定律形式，不用经过计算就可以进行推断每个电荷所受到的合力Fe1、Fe2和Fe3有同样的大小，三个力位于电荷点所决定的平面上，如图1a所示，从库伦定律中可以得出电荷3所受到的静电力每个分量形式计算如下：
（4）
这两个力是独立的，如图1b中所示，依据力的合成定理即平行四边形法则，两个力矢量之间的角度为，最终电荷所受的静电力Fe3是任意分量Fe13或Fe23在对称轴投影的两倍，因此可以计算出Fe3，结果为：
（5）
2.空间微分矢量操作符
梯度是一个重要的空间矢量操作，它的定义可由标量函数的空间变化来引入，如温度场T，设在笛卡尔坐标系下点
P1（x，y，z）的温度为T1（x， y， z），在P1附近的一点的温度为T2（x+dx， y+dy， z+dz），以P1点为参考点的矢量长度微元dl为：
（6）
P1与P2两点的温度差为：
（7）
因为，，，上式可以重新改写为：
（8）
函数T的梯度函数如（8）式括号中的部分写成grad T，常用希腊字符-del符号来表示，即T，表达式为：
（9）
将上式转化到柱面坐标系下，如图所示2，在柱面坐标系下任意点的坐标为（r，φ，z），通过笛卡尔坐标与柱面坐标的变换公式改写梯度公式9，笛卡尔坐标与柱面坐标的变换公式为：
（10）
微分运算转化为：
（11）
因为z轴与x轴方向是互相垂直，因此，再根据公式（10）可以得：
（12）
将式（12）带入式（11）得：
（13）
将上式带入式（9）替代x变量，同样的方法可以得到。
同样方法采用柱面坐标系和笛卡尔坐标变换公式：
， （14）
可以求出柱面坐标系下梯度表达式为：
（15）
梯度也可以通过静电场中的电场强度E和电势V微分关系引入。比如在静电场中，A点具有电势为VA，从A点沿着x轴移动到B点，移动的距离dl=dx，两点的电势差为：
（16）
两点之间的电势差（电压），等于E从A点到B点的线性积分，这里因为距离非常短，就不需要积分号，即：
（17）
Ex代表E在x方向的分量，等于E在x轴方向的投影，如图2（b）所示。结合式（16）和式（17）可得：
（18）
相似可以得到和，因此E的完整表达式为：
（19）
上式括号内的部分是电势V=V（x，y，z）在直角坐标系中的梯度公式。电势V梯度转化为柱面坐标系下的表达式时，要注意轴是角度坐标轴，直角坐标系下长度微元dl与柱面坐标系下的相对应，等式关系为。在图2（a）中，M点的电场矢量在方向的分量可以表示为：
（20）
而不是。r轴和z轴是长度坐标轴，则不需要修改公式，在r轴与z轴的分量分别为和，因此电势V=V（r，，z）梯度在柱面坐标系下的表达式为：
（21）
推导梯度结果与式（19）推导结果相同。
比较两种梯度引入方法，显然后一种引入方法更容易理解，相似的方法可以用于其他空间微分操作的推导，如旋度、散度等。笛卡尔坐标中，公式16～19中，梯度公式是从电场强度和静电场的电势之间的积分关系推导出来，即用实际中两个相距很近的电荷电压等于电场矢量在两个电荷连线方向的分量乘以两个电荷之间的距离，如图2b所示，梯度表示出E与V之间的微分关系，这样给出梯度直观物理意义而不是抽象的物理定义，梯度等于电势在方向的负增长率，通过矢量几何方法从笛卡尔坐标过渡到柱面坐标系下也非常自然，在式（21）完整导出。在图2a中，电势变化本质上距离由角度的增加所对应的弧度即距离变化而产生。
三、结论
本文详细介绍了电磁场课程中矢量图分析方法，同时举例说明了该方法在分析和解决电磁场问题中的应用，充分利用了矢量图的几何直观性，可以使学生加深电磁场的基本概念的理解，简化电磁场计算过程。在电磁场教学应用矢量图分析可有效提高学生学习效率，提高电磁场授课质量。
参考文献：
[1]谢处方，绕克谨.电磁场与电磁波[M].第4版.北京：高等教育出版社，2006.
[2]冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论[M].北京：高等教育出版社，
2000.
[3]周希朗.电磁场理论与微波技术基础（上）[M].南京：东南大学出版社，2004.
[4]叶齐政.电磁场[M].武汉：华中科技大学出版社，2008.
[5]周顺荣.电磁场与机电能量转换[M].上海：上海交通大学出版社，2005.
[6]C. R. Paul.Electromagnetics for Engineers With Applications[M].New York：Wiley，2004.
[7]N.Ida.Engineering Electromagnetics[M].2nd ed.New York：Springer，
2004.
（责任编辑：王意琴）