论文部分内容阅读
摘 要 本文研究创意平板折叠桌优化设计问题， 利用Matlab计算出木条拼接的平板桌的每根木条的倾斜角，开槽长度，拟合出桌脚边缘线，并进行定量分析，再利用几何模型，找出木条的倾斜角，开槽长度，木条长度之间的关系，逐步建立折叠桌的最优化设计模型.得到的结果最里侧木条的倾斜角最大为111.15850，最里侧木条的开槽长度也是最大，为17.8728 cm。最后利用主成分分析降维的方法得出平板桌的桌脚点不仅落在一个平面上，还在一条光滑的二次曲线上。
关键词 倾斜角 开槽长度 几何模型 主成份分析
一、研究背景
为达到节省空间、结构稳定、造型美观的设计理念，某公司准备生产一种可折叠的桌子。桌子外形由直纹曲面构成，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。两组桌腿由若干根木条组成，每组各用一根两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上的钢筋将木条连接，为保证滑动的自由度，沿木条有空槽。
给定长方形平板尺寸为120cm€？0cm€？cm，每根木条宽2.5cm，若要求连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌面距离地面53cm。如何折叠桌的动态变化过程，依此给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述是本文的研究课题。
二、研究方案
首先以折叠桌平板状态下利用几何画板建立直角坐标系，从而求得桌腿各木条的长度。当然，我们只需研究一组桌脚即可，甚至通过分析可知一组桌脚本身具有对称性，故我们所求桌脚各木条的长度以折叠桌所有桌脚木条的四分之一为代表。在确定桌腿木条开槽的长度时，简化三维空间计算的复杂性，将其分成各个子模块：最外侧木条与其余所研究的每根木条所在平面，利用初等几何法确定出设计加工参数。在此基础上，求出相关数据，通过Matlab软件拟合这些数据，确定出桌脚边缘线。并在Matlab软件上进行编程模拟出折叠桌的动态变化过程。
三、研究过程
第一步：以圆桌的圆心为原点，建立平面直角坐标系，将圆的半径等分为10份，作为分割木条的标准，第一根木条与圆的交点为€%Z0，€%Z1，，第二根木条与圆的交点为€%Z1，€%Z2，依次，第十根木条与圆的交点为€%Z9，€%Z10，，为使数据更精确，故取相邻两交点的纵坐标的平均值为木条切口，di为各木条切口到X轴的距离。从而求出我们所需要的代表性十根木条的长度Li：
x€%Zi2+y€%Zi2=R2（i=0，1，2，…，10），（R==25cm）di=
第二步：根据前面所得的di，以最外侧木条与其余所研究的每根木条i=0，1，2，…，10所在平面建立子模块。通过比较bi与GC的大小，可以判断木条相对于XOZ平面而言是往外侧靠还是往里侧靠，如果biGC，木条往里侧靠。并且可以求出开槽长度hi（i=0，1，2，…，10）。利用投影，推出公式：GC+OA=G2C2+O`A2，且AG=，H为桌子的高度。由于AF、AP1可以先由已知条件容易计算出，则
sin∠ACG=，GC=ACtan∠ACG，G2C2=GC+OA-O`A2
tan∠A2C2G2=，A2C2=
∠ACG和∠A2C2G2分别对应第一、二根木条与地面的倾斜角度，这样，可以由上述公式求出第一、二根木条的倾斜角，其他木条的倾斜角也可类似求得，开槽长度的具体计算如下：b=di+1-d1，JD=Li-L1/2，时，CD=
i=3，4，…，10時，CD=
无论木条往外侧靠还是往里侧靠，CD都可以表示为
于是给出各木条的开槽长度h2的表达式：
hi=JC=CD-JD=-（Li-L1/2）（i=3，4，…，10）
第三步：根据第二步中的几何关系，可以求得点的空间坐标：xP2=xP1-2.5=22.5
xP2=d2+MP1=，
ZP2=-3-DM=-3-
依次可以求其他点的空间坐标：xp1=xp1-2.5（i-1）
根据所求Pi空间坐标数据和以上公式，利用Matlab软件进行了编程，求出了倾斜角度、开槽长度和桌脚边缘点的坐标，模拟出折叠桌的动态变化过程。
四、研究结果
利用上述公式，用matlab软件分别计算出各种相关数据，限于篇幅，表略。
（1）从计算结果看出，从第三根木条开始往里侧靠，木条的开槽长度从外到内依次变大，因此最里侧木条的开槽长度最大。
（2）利用Matlab拟合出桌脚边缘线的曲线，由于上述只对第V卦限进行研究，从视图上初步观测，该空间曲线比较平缓，于是利用主成分法通过降维，判断空间的三维点列是否会降到二维平面。
当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。
利用主成分分析结果：将桌脚点的三维坐标X，Y，Z上的点作为样本点，共20组，调用Matlab中的函数princomp进行主成分分析，计算协方差的三个特征值为218.7500，44.1224，2.0003。则第一和二主成分累计贡献率为99.24%，因此我们完全相信，桌脚点在一个平面上。
参考文献：
[1]林佳欣，聂桂平.基于TRIZ理论的折叠家具设计研究[M].2014年9月14日.
[2]姜启源，数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003
（作者单位：江汉大学数计学院）
关键词 倾斜角 开槽长度 几何模型 主成份分析
一、研究背景
为达到节省空间、结构稳定、造型美观的设计理念，某公司准备生产一种可折叠的桌子。桌子外形由直纹曲面构成，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。两组桌腿由若干根木条组成，每组各用一根两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上的钢筋将木条连接，为保证滑动的自由度，沿木条有空槽。
给定长方形平板尺寸为120cm€？0cm€？cm，每根木条宽2.5cm，若要求连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌面距离地面53cm。如何折叠桌的动态变化过程，依此给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述是本文的研究课题。
二、研究方案
首先以折叠桌平板状态下利用几何画板建立直角坐标系，从而求得桌腿各木条的长度。当然，我们只需研究一组桌脚即可，甚至通过分析可知一组桌脚本身具有对称性，故我们所求桌脚各木条的长度以折叠桌所有桌脚木条的四分之一为代表。在确定桌腿木条开槽的长度时，简化三维空间计算的复杂性，将其分成各个子模块：最外侧木条与其余所研究的每根木条所在平面，利用初等几何法确定出设计加工参数。在此基础上，求出相关数据，通过Matlab软件拟合这些数据，确定出桌脚边缘线。并在Matlab软件上进行编程模拟出折叠桌的动态变化过程。
三、研究过程
第一步：以圆桌的圆心为原点，建立平面直角坐标系，将圆的半径等分为10份，作为分割木条的标准，第一根木条与圆的交点为€%Z0，€%Z1，，第二根木条与圆的交点为€%Z1，€%Z2，依次，第十根木条与圆的交点为€%Z9，€%Z10，，为使数据更精确，故取相邻两交点的纵坐标的平均值为木条切口，di为各木条切口到X轴的距离。从而求出我们所需要的代表性十根木条的长度Li：
x€%Zi2+y€%Zi2=R2（i=0，1，2，…，10），（R==25cm）di=
第二步：根据前面所得的di，以最外侧木条与其余所研究的每根木条i=0，1，2，…，10所在平面建立子模块。通过比较bi与GC的大小，可以判断木条相对于XOZ平面而言是往外侧靠还是往里侧靠，如果bi
sin∠ACG=，GC=ACtan∠ACG，G2C2=GC+OA-O`A2
tan∠A2C2G2=，A2C2=
∠ACG和∠A2C2G2分别对应第一、二根木条与地面的倾斜角度，这样，可以由上述公式求出第一、二根木条的倾斜角，其他木条的倾斜角也可类似求得，开槽长度的具体计算如下：b=di+1-d1，JD=Li-L1/2，时，CD=
i=3，4，…，10時，CD=
无论木条往外侧靠还是往里侧靠，CD都可以表示为
于是给出各木条的开槽长度h2的表达式：
hi=JC=CD-JD=-（Li-L1/2）（i=3，4，…，10）
第三步：根据第二步中的几何关系，可以求得点的空间坐标：xP2=xP1-2.5=22.5
xP2=d2+MP1=，
ZP2=-3-DM=-3-
依次可以求其他点的空间坐标：xp1=xp1-2.5（i-1）
根据所求Pi空间坐标数据和以上公式，利用Matlab软件进行了编程，求出了倾斜角度、开槽长度和桌脚边缘点的坐标，模拟出折叠桌的动态变化过程。
四、研究结果
利用上述公式，用matlab软件分别计算出各种相关数据，限于篇幅，表略。
（1）从计算结果看出，从第三根木条开始往里侧靠，木条的开槽长度从外到内依次变大，因此最里侧木条的开槽长度最大。
（2）利用Matlab拟合出桌脚边缘线的曲线，由于上述只对第V卦限进行研究，从视图上初步观测，该空间曲线比较平缓，于是利用主成分法通过降维，判断空间的三维点列是否会降到二维平面。
当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。
利用主成分分析结果：将桌脚点的三维坐标X，Y，Z上的点作为样本点，共20组，调用Matlab中的函数princomp进行主成分分析，计算协方差的三个特征值为218.7500，44.1224，2.0003。则第一和二主成分累计贡献率为99.24%，因此我们完全相信，桌脚点在一个平面上。
参考文献：
[1]林佳欣，聂桂平.基于TRIZ理论的折叠家具设计研究[M].2014年9月14日.
[2]姜启源，数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003
（作者单位：江汉大学数计学院）