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数学学习不仅是对概念､规则､定理的记忆与模仿,更重要的是培养数学思维方法.它蕴涵于知识的发生､发展和应用过程中,是数学的精髓,是数学知识､数学技能､数学方法的本质体现,是灵活运用数学知识､技能､方法的灵魂.如果同学们能掌握并运用好数学思想方法,那么在解题时,就会减少复杂的运算及死记硬背的内容.下面举例说明初中阶级遇到的几种数学思想,供大家参考.
一､数形结合思想
数形结合就是抓住数和形之间的本质联系,以“形”直观地表达“数”,以“数”精确地研究“形”,把抽象的数转化为直观的形或把复杂的形转化为具体的数,从而避开繁琐的运算,简捷解题.
例1 (2007年鄂尔多斯市)在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a > b)(如图1(1)),把余下的部分沿虚线剪开,拼成一个长方形(如图1(2)),分别计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证的乘法公式是(用字母表示).
解析 由题意可知,当把图1(1)中的阴影部分沿虚线剪开后,可得到两个形状相同的梯形,其上底长为b,下底长为a,高为a - b,所以图1(2)中长方形的长为a + b,宽为a - b,其阴影部分的面积为(a + b)(a - b). 由于图1(1)中阴影部分的面积为a2 - b2,因此验证了因式分解中的平方差公式:a2 - b2 = (a + b)•(a - b).故应填a2 - b2 = (a + b)(a - b).
例2 (2006年山西省)甲､乙两人进行羽毛球比赛,甲发出十颗十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离s(米)与其距地面高度h(米)之间的关系式为h = - s2 +s +.如图2,已知球网AB距原点5米,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为 米,设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m的取值范围是 .
解 由题意,得- s2 +s + =.
解得s1 = 4 +,s2 = 4 -,(不符合题意,舍去).
所以当5 < m < 4 + 时,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,故应填 5 < m < 4 +.
二､分类讨论思想
当数学问题不宜用统一方法处理时,就需要按照一定的分类方法或标准将问题分为若干类,然后逐类分别讨论,再把结论汇总,得出问题的答案.分类讨论一般分为三个步骤:首先确定讨论的对象;然后针对讨论对象进行合理的分类;最后归纳讨论结果,综合得出结论.
例3 (2007年重庆市)已知:如图3,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,点A,C的坐标分别为A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP的腰长是5的等腰三角形时,点P的坐标为.
解析 因为点P在BC边上运动,所以点P的纵坐标始终为4. 又因为点D是OA的中点,OA = 10,所以OD = 5.
下面分三种情况进行讨论:
(1) 当PO = PD时,点P在OD的中垂线上,故点P的坐标为(2.5,4).
(2) 当OP = OD时,在Rt△OPC中,OP = 5,OC = 4,故PC = 3,点P的坐标为(3,4).
(3) 当DO = DP时,可利用(2)的方法得到点P的坐标为(2,4)或(8,4),故点P的坐标为(2.5,4),(2,4),(3,4),(8,4).
三､转化与化归思想
在处理和解决数学问题时,将之转换归结为自己熟悉的或易于解决的问题,将抽象的问题转化为具体､直观的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将实际问题转化为数学问题,从而使问题得到解决.
例4 (2007年南通市)已知:2a - 3x + 1 = 0,3b - 2x - 16 = 0,且a ≤ 4 < b,求x的取值范围.
解析 由于a = ,b = ,则 ≤ 4,> 4.
解得-2 < x ≤ 3,故x的取值范围为 -2 < x ≤ 3.
四､建模思想
建模思想就是将某一问题的特征与数量关系运用形式化的数学语言建立一种数学结构,通过对建立的数学结构的研究,从而解决原实际问题的一种思维策略.数学模型一般包括方程模型､不等式模型､几何模型､三角模型等.
例5 (2007年湖北武汉市)你一定玩过跷跷板吧!如图4是小明和小刚玩跷跷板的示意图,横板绕它的中点O上下转动,立柱OC与地面垂直.当一方着地时,另一方上升到最高点.问:在上下转动横板的过程中,两人上升的最大高度AA′ , BB′有何数量关系?为什么?
解析 AA′ = BB′.
理由:∵ O是AB,A′B′的中点,
∴ OA = OB,OA′ = OB′.
又 ∠A′OA= ∠B′OB,
∴ △A′OA ≌ △B′OB, AA′ = BB′.
例6 (2006年广西南宁市)南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价25万元,市场调研表明:当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降低x万元,每辆汽车的销售利润为y万元(销售利润 = 销售价 - 进货价).
(1) 求y与x的函数关系式;在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围.
(2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为Z万元,试写出Z与x之间的函数关系式.
(3) 当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?
解析 (1)由题意,y = 29 - 25 - x,即 y = -x + 4(0 ≤ x ≤ 4).
(2) z = 8 + × 4y = (8x + 8)(-x + 4),
故 z = -8x2 + 24x + 32 = -8x -2 + 50.
(3) 由(2)可知,当x = 时,Z最大 = 50.
因此当定价为29 - 1.5 = 27.5万元时,有最大利润,最大利润为50万元.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
一､数形结合思想
数形结合就是抓住数和形之间的本质联系,以“形”直观地表达“数”,以“数”精确地研究“形”,把抽象的数转化为直观的形或把复杂的形转化为具体的数,从而避开繁琐的运算,简捷解题.
例1 (2007年鄂尔多斯市)在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a > b)(如图1(1)),把余下的部分沿虚线剪开,拼成一个长方形(如图1(2)),分别计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证的乘法公式是(用字母表示).
解析 由题意可知,当把图1(1)中的阴影部分沿虚线剪开后,可得到两个形状相同的梯形,其上底长为b,下底长为a,高为a - b,所以图1(2)中长方形的长为a + b,宽为a - b,其阴影部分的面积为(a + b)(a - b). 由于图1(1)中阴影部分的面积为a2 - b2,因此验证了因式分解中的平方差公式:a2 - b2 = (a + b)•(a - b).故应填a2 - b2 = (a + b)(a - b).
例2 (2006年山西省)甲､乙两人进行羽毛球比赛,甲发出十颗十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离s(米)与其距地面高度h(米)之间的关系式为h = - s2 +s +.如图2,已知球网AB距原点5米,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为 米,设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m的取值范围是 .
解 由题意,得- s2 +s + =.
解得s1 = 4 +,s2 = 4 -,(不符合题意,舍去).
所以当5 < m < 4 + 时,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,故应填 5 < m < 4 +.
二､分类讨论思想
当数学问题不宜用统一方法处理时,就需要按照一定的分类方法或标准将问题分为若干类,然后逐类分别讨论,再把结论汇总,得出问题的答案.分类讨论一般分为三个步骤:首先确定讨论的对象;然后针对讨论对象进行合理的分类;最后归纳讨论结果,综合得出结论.
例3 (2007年重庆市)已知:如图3,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,点A,C的坐标分别为A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP的腰长是5的等腰三角形时,点P的坐标为.
解析 因为点P在BC边上运动,所以点P的纵坐标始终为4. 又因为点D是OA的中点,OA = 10,所以OD = 5.
下面分三种情况进行讨论:
(1) 当PO = PD时,点P在OD的中垂线上,故点P的坐标为(2.5,4).
(2) 当OP = OD时,在Rt△OPC中,OP = 5,OC = 4,故PC = 3,点P的坐标为(3,4).
(3) 当DO = DP时,可利用(2)的方法得到点P的坐标为(2,4)或(8,4),故点P的坐标为(2.5,4),(2,4),(3,4),(8,4).
三､转化与化归思想
在处理和解决数学问题时,将之转换归结为自己熟悉的或易于解决的问题,将抽象的问题转化为具体､直观的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将实际问题转化为数学问题,从而使问题得到解决.
例4 (2007年南通市)已知:2a - 3x + 1 = 0,3b - 2x - 16 = 0,且a ≤ 4 < b,求x的取值范围.
解析 由于a = ,b = ,则 ≤ 4,> 4.
解得-2 < x ≤ 3,故x的取值范围为 -2 < x ≤ 3.
四､建模思想
建模思想就是将某一问题的特征与数量关系运用形式化的数学语言建立一种数学结构,通过对建立的数学结构的研究,从而解决原实际问题的一种思维策略.数学模型一般包括方程模型､不等式模型､几何模型､三角模型等.
例5 (2007年湖北武汉市)你一定玩过跷跷板吧!如图4是小明和小刚玩跷跷板的示意图,横板绕它的中点O上下转动,立柱OC与地面垂直.当一方着地时,另一方上升到最高点.问:在上下转动横板的过程中,两人上升的最大高度AA′ , BB′有何数量关系?为什么?
解析 AA′ = BB′.
理由:∵ O是AB,A′B′的中点,
∴ OA = OB,OA′ = OB′.
又 ∠A′OA= ∠B′OB,
∴ △A′OA ≌ △B′OB, AA′ = BB′.
例6 (2006年广西南宁市)南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价25万元,市场调研表明:当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降低x万元,每辆汽车的销售利润为y万元(销售利润 = 销售价 - 进货价).
(1) 求y与x的函数关系式;在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围.
(2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为Z万元,试写出Z与x之间的函数关系式.
(3) 当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?
解析 (1)由题意,y = 29 - 25 - x,即 y = -x + 4(0 ≤ x ≤ 4).
(2) z = 8 + × 4y = (8x + 8)(-x + 4),
故 z = -8x2 + 24x + 32 = -8x -2 + 50.
(3) 由(2)可知,当x = 时,Z最大 = 50.
因此当定价为29 - 1.5 = 27.5万元时,有最大利润,最大利润为50万元.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”