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【摘要】初中数学动点问题既是难点也是热点，对此，数学教师应该高效演绎这样的“三步曲”：“我”字当先，以自主自悟促动点问题的解决;“变”字为引，以多元互动促动点问题的解决;“精”字为妙，以适宜高效促动点问题的解决.但愿学生学会这样的“三步曲”后，动点问题不再是学生学习中的“拦路虎”，反而成为有趣的、轻松的、有意义的学习佐料.
【关键词】动点问题;三步曲;自主自悟;多元互动;适宜高效
动点问题是近些年来各个省市中考题中的热点问题，也是考查学生各个方面能力的一类重点问题，它既是难点，也是热点.深入挖掘现有能够成功解决初中数学二次函数动点问题的方法、策略和模式，引领学生学懂学深，就自然而然成为初中数学课堂教学中的一个重要使命，这不仅是中考的需要，也是发展学生数学素养和培养学生数学精神的需要.如何在学习权转换的自主上、细密而立体的呈现上、意想不到的难度处理上下功夫，是高效解决动点问题不可或缺的视点.
解决动点问题中牵扯的策略很多，比如待定系数法、数形结合法、分类讨论法等，对此，我们应有一定的凭借.笔者以为，数学教师应该高效演绎这样的“三步曲”：“我”字当先，通过充分放权，以自主自悟促动点问题的解决;“变”字为引，通过思维变换，以多元互动促动点问题的解决;“精”字为妙，通过精细化设计，以适宜高效促动点问题的解决.这样的“三步曲”适合新课，也适合复习课，关键就看教师如何调控、如何建构、如何演绎.作为数学教师，理念的嬗变不可或缺，行动的“货真价实”更是不可或缺.
一、“我”字当先，以自主自悟促动点问题的解决
新的课改视角下，那种陈旧、机械、呆板的“直白式”或“灌输式”教学方式必须予以摈弃，而代之以情景式、启发式、自主式的教学方式.由单向灌输到情境创设，由被动灌输到主动启发，看似一个小小的转换，实则是“我”字的充分体现，是生本理念的充分贯彻，是真实学情得以彰显的应有之义.当“我”被置于课堂的中心时，学生会朝着主动、高效、积极的方向挺进，学习上的事半功倍也就在自然发生.课堂向前挺进的“风向标”是以“教”（教师和教学）为主还是以“学”（学生和学习）为主呢？显然，生本课堂才是更值得推荐的.鉴于此，教师必须充分放权，如自主学习权、学习资源搜集权、画图权、讨论权、课外拓展权等，只要有利于数学问题的顺畅解决，有利于高效课堂的成功打造，教师皆可以放手.
比如，有一类动点问题需要合情推理，有的需要分类讨论，有的看似没有圆，却需要构造圆为载体来解决问题，有的需要在变化中找到“不变”，有的需要以“双动点”为载体，有的需要建立更广泛的联系，有的需要特殊探路、动手操作……每当碰到这些环节，笔者常给予学生自主合作的机会，给予学生合情推理、自由画图、动手操作、小组讨论等权利.只有当学生经过苦苦思索，实在无法解决问题时，教师才进行一定的启发、指导和点拨，给予“雪中送炭”式的帮助，最终让问题得以解决.
很多的动点问题都需要教师放权，需要“我”字当先，需要学习进程中创设一种自主氛围.对于成长中的初中生而言，因为放权而打开的学习版图愈广阔，学生愈有沉甸甸的收获.而对于教师而言，能不管时就不管，能罢手时就罢手，并不是一种懒惰，不是一种应付差事的态度，相反是对学生真正的呵护，是一种站在当下而立足未来的策略，是高效解决动点问题中不可或缺的重要视点之一.
实践证明，一题多解，学习空间的不断敞开，都彰显着教师对学生的放权和信任，更隱含着教师对数学教学更美好、更富理想化的一种期盼，那就是：相对于教师急不可待地告知学生答案而言，静下来让学生先探路后验证、先自主后讲解的学习顺序，以及在此过程中产生的生成性资源和解决问题的开放性、操作性与创造性，无疑是动点问题中更重要的目标.或许，在放权中学生或有这样那样的错误，或有自以为是的遗憾，或有误入歧途的可能，但这恰恰是学生难得的生成性契机——在意蕴十足的纠错中、在醍醐灌顶的醒悟中，印象、教训更加深刻，思维更加周密，诸多难以忘怀的东西将在学生的记忆中留下深深的烙印.
二、“变”字为引，以多元互动促动点问题的解决
强调“我”字很重要，但仅有这些是不够的，好的数学课堂还应强调一个“变”字.教学方式和教学方法要变.实践证明，单一的、呆板的、陈旧的教学方式很难吸引学生的眼球，多变的、互动的、趣味的情境创设才能引领学生在动点问题中学得有滋有味，并且意蕴十足.“变”是有前提的，那就是以生为本，这更加有利于数学真相的渐渐显露，有利于乐学境界的构建，有利于学生数学素养的落地生根.因为“变”，动点问题的解决变得轻松有趣;因为“变”，课堂显得多姿、精彩;因为“变”，教学历程变得多元、开放.
如上面提到的让学生自由画图等，的确大面积地解放了学生，但学生之间互相看不到，怎么办？此时就需要多媒体呈现具体的问题情境.比如，利用多媒体勾勒出“点”在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性;利用数字化技术呈现不同的知识背景;利用多媒体画图软件中的画笔添加辅助线;或利用更先进的技术进行割补、取舍、裁剪、变式、建立变量、数形结合等.
可见，多媒体不仅仅是为学生提供真实的数学情境和超大的课堂教学容量，更重要的是它能够化繁为简，使学生能够更容易看清数量关系，知晓前后联系，厘清内在关系……让学生学得轻松、高效、兴致盎然.实践证明，多媒体有时并不是为了“增加”，而恰恰是为了“减少”，并不是为了耀眼华丽，而恰恰是为了返璞归真.当然，这样的“增加”和“归真”是建立在教师高度的耐心、高度的敏感和高度的警觉上的，当教师真正把学生思维的律动、能力的提高和素养的提升等放在心上时，多媒体的介入才能发挥最大的正效应.
多元互动还体现在课前引入上，可以采取谜语引入、音乐引入、游戏引入、实物引入、多媒体引入等多种方式.或许只是一个类比故事的出现，一幅相关画面的介入，一个深入浅出的比喻，就会使学生忽然间顿悟——原来真相是这样的，随后，思路的顺畅、问题的突破、作业的高效等都会自然产生.实践证明，课堂呈现方式愈多样，课堂愈高效，课堂愈有较长的生命力和后续力，学生学习方式愈多样，所学所得愈能长久地保存在记忆库中，当然，学生数学能力的日渐提高也就在情理之中. 三、“精”字为妙，以适宜高效促动点问题的解决
不可否认，互联网条件下教师运用现代化技术的意识之强和次数之多，是以往任何时候不能相比的，但并非所有的技术都是有效的，并非任何时候都可以介入信息技术.过多过滥的多媒体课件，有时反而会挤占学生专心思考的时间和机会，从而削弱发展学生核心素养的力度.有时，利用立体式、快节奏、大容量的信息技术追求面面俱到的结果，反而会“面面都是浅尝辄止”.在这个意义上，多媒体课件一定要少而精，凡是遮蔽学生思维律动的，要坚决按下“暂停键”，凡是扼杀学生创新意识的，要坚决予以丢弃.作为教师，作为那个手握按钮大权的人，一定要“该出手时再出手”.实践证明，适量的、恰到好处的、牵一发而动全身的信息技术的介入才能打造高效的、厚重的、多姿的课堂.
比如，点动、线动、形动等动态几何问题，会涉及函数建模、参数思想、数形结合等，此时，涉及画图的应该先让学生在草稿本上自己画，然后由浅入深进行讨论，层层递进关系式，直至列出或确定取值范围，在学生充足思考、想象、交流的基础上，最后才让多媒体华丽登场.而当多媒体真实登场时，也应该做到简单、高效，以实用为目的，而不是以热闹为目的，以助力于问题为目的，而不是以哗众取宠为目的.
多媒体的登场应建立在教师对时机的把握上，而不是随时随地让多媒体登台亮相，只有在学生疑惑不解、出现意见分歧、思维爬坡时让信息技术有序介入，才能真正做到“该出手时再出手”.另有一些基于相关文本的、千丝万缕的课程资料，学生可能在学习的当下不能够接触到，此时就需要多媒体来滋补课堂，滋补学生，滋补教学.这样的滋补隐含着一种更美好的期盼，那就是相对于静态学习而言，恰到好处的多媒体介入更有意义，其间学生情感的体验、个性观点的碰撞、数学精神的萌生、数学品格的形成，无疑成为高效数学课堂中不可或缺的因子.
动点问题的高效解决不能仅依靠“三步曲”，但不论是“几步曲”，以生为本的理念不能变，应时时刻刻以学生真实的学情、真实的思维律动、真实的學习反馈为出发点.对于动点问题，题型背景上的分析、个体意义上特殊的探路、普遍意义上的一般推证等，都需要师生的高度警觉，但愿这样的警觉中，动点问题不再是学生学习中的“拦路虎”，而是有趣的、轻松的、有意义的学习佐料.初中数学教师应引领学生步入动点问题的深处，发现更多数学意味、更多数学真相，为数学的精彩助力，为中考的精彩助力，为学生灿烂的明天助力.
【参考文献】
[1]陈晓云.动点问题高效课堂例谈[J].数理化，2015（2）：27.
[2]刘宝礼.数学生成性资源的把握和利用[J].教学月刊，2017（9）：24.
[3]吴菲.初中数学高效课堂例谈[J].学周刊，2019（8）：87.
【关键词】动点问题;三步曲;自主自悟;多元互动;适宜高效
动点问题是近些年来各个省市中考题中的热点问题，也是考查学生各个方面能力的一类重点问题，它既是难点，也是热点.深入挖掘现有能够成功解决初中数学二次函数动点问题的方法、策略和模式，引领学生学懂学深，就自然而然成为初中数学课堂教学中的一个重要使命，这不仅是中考的需要，也是发展学生数学素养和培养学生数学精神的需要.如何在学习权转换的自主上、细密而立体的呈现上、意想不到的难度处理上下功夫，是高效解决动点问题不可或缺的视点.
解决动点问题中牵扯的策略很多，比如待定系数法、数形结合法、分类讨论法等，对此，我们应有一定的凭借.笔者以为，数学教师应该高效演绎这样的“三步曲”：“我”字当先，通过充分放权，以自主自悟促动点问题的解决;“变”字为引，通过思维变换，以多元互动促动点问题的解决;“精”字为妙，通过精细化设计，以适宜高效促动点问题的解决.这样的“三步曲”适合新课，也适合复习课，关键就看教师如何调控、如何建构、如何演绎.作为数学教师，理念的嬗变不可或缺，行动的“货真价实”更是不可或缺.
一、“我”字当先，以自主自悟促动点问题的解决
新的课改视角下，那种陈旧、机械、呆板的“直白式”或“灌输式”教学方式必须予以摈弃，而代之以情景式、启发式、自主式的教学方式.由单向灌输到情境创设，由被动灌输到主动启发，看似一个小小的转换，实则是“我”字的充分体现，是生本理念的充分贯彻，是真实学情得以彰显的应有之义.当“我”被置于课堂的中心时，学生会朝着主动、高效、积极的方向挺进，学习上的事半功倍也就在自然发生.课堂向前挺进的“风向标”是以“教”（教师和教学）为主还是以“学”（学生和学习）为主呢？显然，生本课堂才是更值得推荐的.鉴于此，教师必须充分放权，如自主学习权、学习资源搜集权、画图权、讨论权、课外拓展权等，只要有利于数学问题的顺畅解决，有利于高效课堂的成功打造，教师皆可以放手.
比如，有一类动点问题需要合情推理，有的需要分类讨论，有的看似没有圆，却需要构造圆为载体来解决问题，有的需要在变化中找到“不变”，有的需要以“双动点”为载体，有的需要建立更广泛的联系，有的需要特殊探路、动手操作……每当碰到这些环节，笔者常给予学生自主合作的机会，给予学生合情推理、自由画图、动手操作、小组讨论等权利.只有当学生经过苦苦思索，实在无法解决问题时，教师才进行一定的启发、指导和点拨，给予“雪中送炭”式的帮助，最终让问题得以解决.
很多的动点问题都需要教师放权，需要“我”字当先，需要学习进程中创设一种自主氛围.对于成长中的初中生而言，因为放权而打开的学习版图愈广阔，学生愈有沉甸甸的收获.而对于教师而言，能不管时就不管，能罢手时就罢手，并不是一种懒惰，不是一种应付差事的态度，相反是对学生真正的呵护，是一种站在当下而立足未来的策略，是高效解决动点问题中不可或缺的重要视点之一.
实践证明，一题多解，学习空间的不断敞开，都彰显着教师对学生的放权和信任，更隱含着教师对数学教学更美好、更富理想化的一种期盼，那就是：相对于教师急不可待地告知学生答案而言，静下来让学生先探路后验证、先自主后讲解的学习顺序，以及在此过程中产生的生成性资源和解决问题的开放性、操作性与创造性，无疑是动点问题中更重要的目标.或许，在放权中学生或有这样那样的错误，或有自以为是的遗憾，或有误入歧途的可能，但这恰恰是学生难得的生成性契机——在意蕴十足的纠错中、在醍醐灌顶的醒悟中，印象、教训更加深刻，思维更加周密，诸多难以忘怀的东西将在学生的记忆中留下深深的烙印.
二、“变”字为引，以多元互动促动点问题的解决
强调“我”字很重要，但仅有这些是不够的，好的数学课堂还应强调一个“变”字.教学方式和教学方法要变.实践证明，单一的、呆板的、陈旧的教学方式很难吸引学生的眼球，多变的、互动的、趣味的情境创设才能引领学生在动点问题中学得有滋有味，并且意蕴十足.“变”是有前提的，那就是以生为本，这更加有利于数学真相的渐渐显露，有利于乐学境界的构建，有利于学生数学素养的落地生根.因为“变”，动点问题的解决变得轻松有趣;因为“变”，课堂显得多姿、精彩;因为“变”，教学历程变得多元、开放.
如上面提到的让学生自由画图等，的确大面积地解放了学生，但学生之间互相看不到，怎么办？此时就需要多媒体呈现具体的问题情境.比如，利用多媒体勾勒出“点”在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性;利用数字化技术呈现不同的知识背景;利用多媒体画图软件中的画笔添加辅助线;或利用更先进的技术进行割补、取舍、裁剪、变式、建立变量、数形结合等.
可见，多媒体不仅仅是为学生提供真实的数学情境和超大的课堂教学容量，更重要的是它能够化繁为简，使学生能够更容易看清数量关系，知晓前后联系，厘清内在关系……让学生学得轻松、高效、兴致盎然.实践证明，多媒体有时并不是为了“增加”，而恰恰是为了“减少”，并不是为了耀眼华丽，而恰恰是为了返璞归真.当然，这样的“增加”和“归真”是建立在教师高度的耐心、高度的敏感和高度的警觉上的，当教师真正把学生思维的律动、能力的提高和素养的提升等放在心上时，多媒体的介入才能发挥最大的正效应.
多元互动还体现在课前引入上，可以采取谜语引入、音乐引入、游戏引入、实物引入、多媒体引入等多种方式.或许只是一个类比故事的出现，一幅相关画面的介入，一个深入浅出的比喻，就会使学生忽然间顿悟——原来真相是这样的，随后，思路的顺畅、问题的突破、作业的高效等都会自然产生.实践证明，课堂呈现方式愈多样，课堂愈高效，课堂愈有较长的生命力和后续力，学生学习方式愈多样，所学所得愈能长久地保存在记忆库中，当然，学生数学能力的日渐提高也就在情理之中. 三、“精”字为妙，以适宜高效促动点问题的解决
不可否认，互联网条件下教师运用现代化技术的意识之强和次数之多，是以往任何时候不能相比的，但并非所有的技术都是有效的，并非任何时候都可以介入信息技术.过多过滥的多媒体课件，有时反而会挤占学生专心思考的时间和机会，从而削弱发展学生核心素养的力度.有时，利用立体式、快节奏、大容量的信息技术追求面面俱到的结果，反而会“面面都是浅尝辄止”.在这个意义上，多媒体课件一定要少而精，凡是遮蔽学生思维律动的，要坚决按下“暂停键”，凡是扼杀学生创新意识的，要坚决予以丢弃.作为教师，作为那个手握按钮大权的人，一定要“该出手时再出手”.实践证明，适量的、恰到好处的、牵一发而动全身的信息技术的介入才能打造高效的、厚重的、多姿的课堂.
比如，点动、线动、形动等动态几何问题，会涉及函数建模、参数思想、数形结合等，此时，涉及画图的应该先让学生在草稿本上自己画，然后由浅入深进行讨论，层层递进关系式，直至列出或确定取值范围，在学生充足思考、想象、交流的基础上，最后才让多媒体华丽登场.而当多媒体真实登场时，也应该做到简单、高效，以实用为目的，而不是以热闹为目的，以助力于问题为目的，而不是以哗众取宠为目的.
多媒体的登场应建立在教师对时机的把握上，而不是随时随地让多媒体登台亮相，只有在学生疑惑不解、出现意见分歧、思维爬坡时让信息技术有序介入，才能真正做到“该出手时再出手”.另有一些基于相关文本的、千丝万缕的课程资料，学生可能在学习的当下不能够接触到，此时就需要多媒体来滋补课堂，滋补学生，滋补教学.这样的滋补隐含着一种更美好的期盼，那就是相对于静态学习而言，恰到好处的多媒体介入更有意义，其间学生情感的体验、个性观点的碰撞、数学精神的萌生、数学品格的形成，无疑成为高效数学课堂中不可或缺的因子.
动点问题的高效解决不能仅依靠“三步曲”，但不论是“几步曲”，以生为本的理念不能变，应时时刻刻以学生真实的学情、真实的思维律动、真实的學习反馈为出发点.对于动点问题，题型背景上的分析、个体意义上特殊的探路、普遍意义上的一般推证等，都需要师生的高度警觉，但愿这样的警觉中，动点问题不再是学生学习中的“拦路虎”，而是有趣的、轻松的、有意义的学习佐料.初中数学教师应引领学生步入动点问题的深处，发现更多数学意味、更多数学真相，为数学的精彩助力，为中考的精彩助力，为学生灿烂的明天助力.
【参考文献】
[1]陈晓云.动点问题高效课堂例谈[J].数理化，2015（2）：27.
[2]刘宝礼.数学生成性资源的把握和利用[J].教学月刊，2017（9）：24.
[3]吴菲.初中数学高效课堂例谈[J].学周刊，2019（8）：87.