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摘 要：本文采用最小二乘回归蒙特卡洛模拟对固定利率住房抵押贷款进行定价研究。模型结合当前我国住房抵押贷款合同的具体条款和提前偿还特征，分析了住房抵押贷款的违约期权风险和违约概率，运用无风险套利原理得到住房抵押贷款的市场公允利率。结果表明，该模型可以为商业银行的房贷利率定价提供参考依据。
关键词：住房抵押贷款；蒙特卡洛模拟；违约风险
中图分类号：F830 文献标识码：A 文章编号：1003-5192(2008)03-0050-05
The Valuation of Mortgage Contract Rates Using LSM
CHEN Yong1，HE Xue-hui1，2
(1. College of Finance，Hunan University，Changsha 410079，China；2. Credit Center，Hunan University，Changsha 410079，China)
Abstract：This paper presents a numerical procedure to price fixed-rate mortgage loans using least square Monte Carlo simulation. Given the pattern of mortgage prepayment rates，we calculate the value of mortgage default option. The non-arbitrage theory is then applied to price mortgage contract rates. The results match with the empirical data well.
Key words：mortgage loans；Monte Carlo simulation；default risk
1 引言
最近，建行、农行和光大银行相继推出了固定利率住房抵押贷款(Fixed-Rate Mortgage，FRM)。FRM的合同利率在整个贷款存续期内固定不变，不随市场利率的变动而变动。FRM可以帮助借款人锁定借款成本，规避利率波动风险，满足市场对房贷产品的差别化和个性化的需求。我国当前的FRM通常都有关于提前偿还的限制条款，FRM的主要风险是抵押物价值波动带来的违约风险。因此，分析FRM包含的违约风险，可以为我国FRM及其证券化产品的定价提供参考依据。
国外的相关研究表明，住房抵押贷款的主要风险是提前偿还风险和违约风险。一般说来，如果市场利率下降，借款人可能通过借新还旧，降低贷款的利息成本。由于贷款利率是事先确定的，一旦市场利率低于贷款利率，借款人的提前偿还行为将使贷款人面临再投资风险。因此，住房抵押贷款的提前偿还风险具有看涨期权的性质。同样，如果房价下跌并且低于贷款余额，借款人将理性地选择违约，并放弃作为抵押物的住房以避免更大损失，因此，住房抵押贷款的违约风险具有看跌期权性质。
国内外学者主要集中于研究借款人提前偿还和违约行为的决策模型，并运用期权理论进行定量分析。早期的定价模型只考虑住房抵押贷款的提前偿还风险而不考虑违约风险。20世纪80年代以来，相关文献开始运用期权理论分析住房抵押贷款的违约风险。由于这些模型只考虑利率或房价对住房抵押贷款价值的影响，所以被称为单因子模型。20世纪90年代以来，国外学者建立住房抵押贷款定价的双因子模型，同时分析住房抵押贷款的提前偿还风险和违约风险，并运用数值分析方法对模型进行定量分析。为了更好地拟合提前偿还与违约行为的经验特征，后续研究从两方面进行扩展：一是在期权定价模型中引入交易成本和时滞等市场摩擦因子；二是运用历史数据建立提前偿还和违约行为的计量模型(econometric approach)，然后对住房抵押贷款的现金流进行估计。这种方法也被称为简化模型(reduced-form approach)。
Foster & Van Order[1]较早地运用了期权理论对住房抵押贷款的违约风险进行定价分析。此后，Cunningham & Capone[2]和Dennis et al.[3]对违约期权定价模型进行了扩展。国外经验表明，房价和贷款成数(Loan to Value，LTV)是影响违约风险的主要因素。Capozza et al.[4]的实证研究表明，降低贷款成数可以有效地减少违约风险；反之，如果贷款成数较高，即使贷款人加强对借款人的资信审查，在控制违约风险方面的作用也十分有限。实践表明，房价下跌时，住房抵押贷款的违约风险显著上升。1991年，日本房地产泡沫破灭，日本房价15年持续下跌，直接导致了大量的银行不良资产。
在数值方法方面，国内外学者主要运用有限差分法和二叉树法对实物期权进行数值求解。针对住房抵押贷款的提前偿还和违约风险的美式期权性质，国外的文献主要采用有限差分法进行数值分析，如Kau et al.[5]和Azevedo et al.[6]。在国内定价研究中，较为广泛地应用了数值分析方法对实物期权进行定价研究，但主要集中于可转换债券、公司债券和传统信贷产品的定价分析，没有考虑住房抵押贷款的分期付款和提前偿还特性，例如，龚朴、赵海滨和司继文[7]，范辛亭、方兆本[8]分别应用有限差分法和二叉树法对可转换债券进行定价。
我们将采用最小二乘回归蒙特卡洛模拟方法(Least Square Monte Carlo Simulation，LSM)分析住房抵押贷款违约期权的风险价值，并运用无风险套利原理，对FRM的利率进行定价分析。为了减轻计算的强度，提高计算的精度，我们使用了对偶变量法(Antithetic Variates)。
表1 部分银行关于FRM提前偿还的限制条款银行名称提前偿还违约金标准建设银行违约金约为贷款余额的2.6%。招商银行违约金根据贷款余额、剩余期限和利率变动情况确定，贷款余额越小、剩余期限越短、市场利率变动越小，违约金就越少。农业银行3年之内收取违约金，违约金根据提前偿还金额和剩余期限确定。光大银行1年之内收取违约金，为贷款余额的3%。
陈勇，等：固定利率住房抵押贷款定价研究Vo1.27，No.3预 测2008年第3期 虽然借款人可以在市场利率下降时通过借新还旧，降低借款成本，但我国住房抵押贷款的合同条款往往使提前偿还期权的执行无利可图，特别是最近推出的FRM都有关于提前偿还的限制条款(见表1)；其次，我国的存贷利差大，住房抵押贷款的提前偿还行为主要取决于借款人的收入水平，与利率的相关系数不是很大[9]。考虑以上两方面的原因，我们将使用房价单因子模型，主要分析违约期权的风险价值。
2 分析框架
2.1 住房抵押贷款现金流描述
违约期权的执行价格是住房抵押贷款的未偿余额，因此，分析借款人的提前偿还行为及其对住房抵押贷款现金流的影响是进行违约期权定价的基础。
当前，我国商业银行推出的FRM主要分为三个档次：3年期、5年期和10年期。FRM的偿还方式可分为等额本金法和等额本息法。我国住房抵押贷款的偿还方式主要是等额本息法，每月的还款额固定不变，贷款到期时，借款人正好还清贷款本息。每月还款额又称为月供，包括利息和部分本金，利息分月偿还，按年利率的十二分之一计算，因此，实际利率高于名义利率。在贷款存续期内，随着贷款本金余额逐月减少，月供中包含的利息额也逐月减少，而包含的本金逐月增加。
3.2 住房抵押贷款合同利率定价
期权调整利差分析(Option-Adjusted Spread，OAS)是投资者常用的对隐含期权风险的金融产品定价的工具。OAS是隐含期权风险的固定收益产品的收益率与无风险利率之间的差异，即OAS=rm-rf，其中，rm是包含期权风险的收益率，rf是无风险利率。同理，根据违约期权的风险价值和无风险利率，我们可以推导出包含违约期权风险的房贷利率。
根据上述LSM方法可以得到违约期权的市场公允价值，依据无风险套利原理，商业银行以无风险利率发放FRM时，需要花费价值等于违约期权的成本对FRM的违约风险进行套期保值。由于FRM隐含了违约期权风险，FRM的贷款利率应该高于无风险利率，并使得贷款利率高于无风险利率的部分正好可以弥补违约期权风险。设违约期权的风险价值为F，商业银行首先以无风险利率借入资金MB1，然后，以房贷利率rm发放住房抵押贷款MB1-F，同时以价格F向保险公司购买违约责任险，对住房抵押贷款的违约期权风险进行套期保值。设商业银行借入资金的期限和住房抵押贷款的加权平均期限同为T，无风险套利将使得以下公式成立
根据违约期权的风险价值和合同条款，我们可以利用(2)式得到包含违约期权风险的FRM的贷款利率(见表5)。表5是不同提前偿还假设下的FRM的利率。这与我国当前商业银行实行的FRM利率非常接近。例如，在2006年8月央行放宽住房抵押贷款的利率下限后，北京建行、光大银行和农行推出的10年期FRM的利率分别为6.39%~7.02%、6.12%~6.65%和6.25%~7.75%。
4 小结
FRM的利率主要取决于银行存款利率、经营费用和违约期权的风险价值，而FRM的违约期权的风险价值主要受提前偿还率、贷款成数和房价波动周期的影响。运用LSM方法可以较为准确地对FRM的违约期权风险和违约概率进行估计和预测，从而可以为商业银行依据借款人的特征、贷款合同条款和经济条件等因素制定差异化的贷款利率提供参考依据。
参 考 文 献：
[1]Foster C，Van Order R. FHA terminations：a prelude to rational mortgage pricing[J]. Journal of Areuea，1985，13：273-291.
[2]Cunningham D，Capone C. The relative termination experience of adjustable to fixed rate mortgages[J]. Journal of Finance，1990，45(5)：1687-1703.
[3]Dennis B，Kuo C，Yang T. Rationales of mortgage insurance premium structures[J]. Journal of Real Estate Research，1997，14(3)：359-378.
[4]Capozza D R，Kazarian D，Thomson T A. The conditional probability of mortgage default[J]. Real Estate Economics，1998，26(3)：12-31.
[5]Kau J B，Keenan D C，Muller W J Ⅲ，et al.. Option theory and floating-rate securities with a comparison of adjustable and fixed-rate mortgages[J]. Journal of Business，1993，66(4)：25-35.
[6]Azevedo-Pereira J A，Newton D A，Paxson D A. Fixed rate repayment mortgage and mortgage indemnity valuation[J]. Real Estate Economics，2002，30：120-143.
[7]龚朴，赵海滨，司继文.可转换债券定价的有限元方法[J].数量经济技术经济研究，2004，21(2)：104-110.
[8]范辛亭，方兆本.随机利率条件下可转换债券定价模型的经验检验[J].中国管理科学，2001，9(6)：7-14.
[9]樊相如，窦晓飞.浅析我国住房抵押贷款中的提前还款风险[J].黑龙江社会科学，2002，12(1)：33-34.
[10]Longstaff F A，Schwartz E S. Valuing American options by simulation：a simple least squares approach[J]. Review of Financial Studies，2001，14(1)：145-167.
[11]Black F，Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：179-201.
[12]粱凌，王修华.银行贷款风险的“翘板效应”[J].管理科学，2006，9(2)：72-78.
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关键词：住房抵押贷款；蒙特卡洛模拟；违约风险
中图分类号：F830 文献标识码：A 文章编号：1003-5192(2008)03-0050-05
The Valuation of Mortgage Contract Rates Using LSM
CHEN Yong1，HE Xue-hui1，2
(1. College of Finance，Hunan University，Changsha 410079，China；2. Credit Center，Hunan University，Changsha 410079，China)
Abstract：This paper presents a numerical procedure to price fixed-rate mortgage loans using least square Monte Carlo simulation. Given the pattern of mortgage prepayment rates，we calculate the value of mortgage default option. The non-arbitrage theory is then applied to price mortgage contract rates. The results match with the empirical data well.
Key words：mortgage loans；Monte Carlo simulation；default risk
1 引言
最近，建行、农行和光大银行相继推出了固定利率住房抵押贷款(Fixed-Rate Mortgage，FRM)。FRM的合同利率在整个贷款存续期内固定不变，不随市场利率的变动而变动。FRM可以帮助借款人锁定借款成本，规避利率波动风险，满足市场对房贷产品的差别化和个性化的需求。我国当前的FRM通常都有关于提前偿还的限制条款，FRM的主要风险是抵押物价值波动带来的违约风险。因此，分析FRM包含的违约风险，可以为我国FRM及其证券化产品的定价提供参考依据。
国外的相关研究表明，住房抵押贷款的主要风险是提前偿还风险和违约风险。一般说来，如果市场利率下降，借款人可能通过借新还旧，降低贷款的利息成本。由于贷款利率是事先确定的，一旦市场利率低于贷款利率，借款人的提前偿还行为将使贷款人面临再投资风险。因此，住房抵押贷款的提前偿还风险具有看涨期权的性质。同样，如果房价下跌并且低于贷款余额，借款人将理性地选择违约，并放弃作为抵押物的住房以避免更大损失，因此，住房抵押贷款的违约风险具有看跌期权性质。
国内外学者主要集中于研究借款人提前偿还和违约行为的决策模型，并运用期权理论进行定量分析。早期的定价模型只考虑住房抵押贷款的提前偿还风险而不考虑违约风险。20世纪80年代以来，相关文献开始运用期权理论分析住房抵押贷款的违约风险。由于这些模型只考虑利率或房价对住房抵押贷款价值的影响，所以被称为单因子模型。20世纪90年代以来，国外学者建立住房抵押贷款定价的双因子模型，同时分析住房抵押贷款的提前偿还风险和违约风险，并运用数值分析方法对模型进行定量分析。为了更好地拟合提前偿还与违约行为的经验特征，后续研究从两方面进行扩展：一是在期权定价模型中引入交易成本和时滞等市场摩擦因子；二是运用历史数据建立提前偿还和违约行为的计量模型(econometric approach)，然后对住房抵押贷款的现金流进行估计。这种方法也被称为简化模型(reduced-form approach)。
Foster & Van Order[1]较早地运用了期权理论对住房抵押贷款的违约风险进行定价分析。此后，Cunningham & Capone[2]和Dennis et al.[3]对违约期权定价模型进行了扩展。国外经验表明，房价和贷款成数(Loan to Value，LTV)是影响违约风险的主要因素。Capozza et al.[4]的实证研究表明，降低贷款成数可以有效地减少违约风险；反之，如果贷款成数较高，即使贷款人加强对借款人的资信审查，在控制违约风险方面的作用也十分有限。实践表明，房价下跌时，住房抵押贷款的违约风险显著上升。1991年，日本房地产泡沫破灭，日本房价15年持续下跌，直接导致了大量的银行不良资产。
在数值方法方面，国内外学者主要运用有限差分法和二叉树法对实物期权进行数值求解。针对住房抵押贷款的提前偿还和违约风险的美式期权性质，国外的文献主要采用有限差分法进行数值分析，如Kau et al.[5]和Azevedo et al.[6]。在国内定价研究中，较为广泛地应用了数值分析方法对实物期权进行定价研究，但主要集中于可转换债券、公司债券和传统信贷产品的定价分析，没有考虑住房抵押贷款的分期付款和提前偿还特性，例如，龚朴、赵海滨和司继文[7]，范辛亭、方兆本[8]分别应用有限差分法和二叉树法对可转换债券进行定价。
我们将采用最小二乘回归蒙特卡洛模拟方法(Least Square Monte Carlo Simulation，LSM)分析住房抵押贷款违约期权的风险价值，并运用无风险套利原理，对FRM的利率进行定价分析。为了减轻计算的强度，提高计算的精度，我们使用了对偶变量法(Antithetic Variates)。
表1 部分银行关于FRM提前偿还的限制条款银行名称提前偿还违约金标准建设银行违约金约为贷款余额的2.6%。招商银行违约金根据贷款余额、剩余期限和利率变动情况确定，贷款余额越小、剩余期限越短、市场利率变动越小，违约金就越少。农业银行3年之内收取违约金，违约金根据提前偿还金额和剩余期限确定。光大银行1年之内收取违约金，为贷款余额的3%。
陈勇，等：固定利率住房抵押贷款定价研究Vo1.27，No.3预 测2008年第3期 虽然借款人可以在市场利率下降时通过借新还旧，降低借款成本，但我国住房抵押贷款的合同条款往往使提前偿还期权的执行无利可图，特别是最近推出的FRM都有关于提前偿还的限制条款(见表1)；其次，我国的存贷利差大，住房抵押贷款的提前偿还行为主要取决于借款人的收入水平，与利率的相关系数不是很大[9]。考虑以上两方面的原因，我们将使用房价单因子模型，主要分析违约期权的风险价值。
2 分析框架
2.1 住房抵押贷款现金流描述
违约期权的执行价格是住房抵押贷款的未偿余额，因此，分析借款人的提前偿还行为及其对住房抵押贷款现金流的影响是进行违约期权定价的基础。
当前，我国商业银行推出的FRM主要分为三个档次：3年期、5年期和10年期。FRM的偿还方式可分为等额本金法和等额本息法。我国住房抵押贷款的偿还方式主要是等额本息法，每月的还款额固定不变，贷款到期时，借款人正好还清贷款本息。每月还款额又称为月供，包括利息和部分本金，利息分月偿还，按年利率的十二分之一计算，因此，实际利率高于名义利率。在贷款存续期内，随着贷款本金余额逐月减少，月供中包含的利息额也逐月减少，而包含的本金逐月增加。
3.2 住房抵押贷款合同利率定价
期权调整利差分析(Option-Adjusted Spread，OAS)是投资者常用的对隐含期权风险的金融产品定价的工具。OAS是隐含期权风险的固定收益产品的收益率与无风险利率之间的差异，即OAS=rm-rf，其中，rm是包含期权风险的收益率，rf是无风险利率。同理，根据违约期权的风险价值和无风险利率，我们可以推导出包含违约期权风险的房贷利率。
根据上述LSM方法可以得到违约期权的市场公允价值，依据无风险套利原理，商业银行以无风险利率发放FRM时，需要花费价值等于违约期权的成本对FRM的违约风险进行套期保值。由于FRM隐含了违约期权风险，FRM的贷款利率应该高于无风险利率，并使得贷款利率高于无风险利率的部分正好可以弥补违约期权风险。设违约期权的风险价值为F，商业银行首先以无风险利率借入资金MB1，然后，以房贷利率rm发放住房抵押贷款MB1-F，同时以价格F向保险公司购买违约责任险，对住房抵押贷款的违约期权风险进行套期保值。设商业银行借入资金的期限和住房抵押贷款的加权平均期限同为T，无风险套利将使得以下公式成立
根据违约期权的风险价值和合同条款，我们可以利用(2)式得到包含违约期权风险的FRM的贷款利率(见表5)。表5是不同提前偿还假设下的FRM的利率。这与我国当前商业银行实行的FRM利率非常接近。例如，在2006年8月央行放宽住房抵押贷款的利率下限后，北京建行、光大银行和农行推出的10年期FRM的利率分别为6.39%~7.02%、6.12%~6.65%和6.25%~7.75%。
4 小结
FRM的利率主要取决于银行存款利率、经营费用和违约期权的风险价值，而FRM的违约期权的风险价值主要受提前偿还率、贷款成数和房价波动周期的影响。运用LSM方法可以较为准确地对FRM的违约期权风险和违约概率进行估计和预测，从而可以为商业银行依据借款人的特征、贷款合同条款和经济条件等因素制定差异化的贷款利率提供参考依据。
参 考 文 献：
[1]Foster C，Van Order R. FHA terminations：a prelude to rational mortgage pricing[J]. Journal of Areuea，1985，13：273-291.
[2]Cunningham D，Capone C. The relative termination experience of adjustable to fixed rate mortgages[J]. Journal of Finance，1990，45(5)：1687-1703.
[3]Dennis B，Kuo C，Yang T. Rationales of mortgage insurance premium structures[J]. Journal of Real Estate Research，1997，14(3)：359-378.
[4]Capozza D R，Kazarian D，Thomson T A. The conditional probability of mortgage default[J]. Real Estate Economics，1998，26(3)：12-31.
[5]Kau J B，Keenan D C，Muller W J Ⅲ，et al.. Option theory and floating-rate securities with a comparison of adjustable and fixed-rate mortgages[J]. Journal of Business，1993，66(4)：25-35.
[6]Azevedo-Pereira J A，Newton D A，Paxson D A. Fixed rate repayment mortgage and mortgage indemnity valuation[J]. Real Estate Economics，2002，30：120-143.
[7]龚朴，赵海滨，司继文.可转换债券定价的有限元方法[J].数量经济技术经济研究，2004，21(2)：104-110.
[8]范辛亭，方兆本.随机利率条件下可转换债券定价模型的经验检验[J].中国管理科学，2001，9(6)：7-14.
[9]樊相如，窦晓飞.浅析我国住房抵押贷款中的提前还款风险[J].黑龙江社会科学，2002，12(1)：33-34.
[10]Longstaff F A，Schwartz E S. Valuing American options by simulation：a simple least squares approach[J]. Review of Financial Studies，2001，14(1)：145-167.
[11]Black F，Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：179-201.
[12]粱凌，王修华.银行贷款风险的“翘板效应”[J].管理科学，2006，9(2)：72-78.
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