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【摘 要】互不相容、相互独立、线性无关是概率论中三个非常重要的概念，但很多学生对这些概念理解不深刻，甚至混淆它们之间的关系。因此，我们首先对这些概念做出解析，从而帮助学生理解其本质含义。在此基础上，进一步探讨它们之间的关系，使学生分清这些概念之间的联系和区别。最后，给出具体的计算实例，以便让学生对这些概念产生更形象的认识。
【关键词】概率论 互不相容 相互独立 线性无关
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）11-0035-03
【Abstract】Mutually exclusion， independence and linear independence are a few very important concepts in probability theory， but many students cannot understand these concepts very profound， and even confuse the relationship between them. Therefore， this paper first makes some explanation of these concepts， in order to help students to understand their essential meanings. On this basis， the relationships between these concepts are explored， so that the students can distinguish the links and difference between these concepts. Finally， examples are given to enable students to produce a more vivid understanding.
【Key words】Probability theory Mutually exclusion Independence Linear independence
一、引 言
互不相容、相互独立和线性无关是概率论中三个非常重要的概念，[1]只有真正掌握好这些概念才能学好概率论。根据多年的教学经验，我们注意到很多学生对这些概念理解的不是很深刻，甚至混淆它们之间的关系。因此，我们首先对这些概念做出解析，从而帮助学生理解其本质含义。在此基础上，进一步探讨它们之间的关系，使学生分清这些概念之间的联系和区别。最后，给出具体的计算实例，以便让学生对这些概念产生更形象的认识。
二、几个重要概念
1.事件的互不相容
定义1：[2]设A、B是两个事件，如果AB=?，则称A、B为互不相容事件（或互斥事件）。
【概念解析】事件A、B互不相容的本质含义在于，A、B不能同时发生，即：如果A发生了，则B一定不会发生；反之亦然。
2.事件的相互独立性
定义2：[2]设A、B是两个事件，如果有以下等式成立：
P（AB）=P（A）P（B）
则称事件A、B相互独立。
为了更好地理解上述概念，首先给出事件相互独立的几个充要条件。
定理1：[2]设A、B是两个事件。
（1）若P（A）>0，则A、B相互独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B）；
（2）若A、B相互独立，则 与B、A与 、 与 都相互独立。
由定理1可以得到以下推论：
推论2：设A、B是两个事件，且1>P（A）>0，则A、B相互独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B| ）。
证明：“ ”若A、B相互独立，则由定理1（2）知 与B也相互独立，且1>P（ ）=1-P（A）>0。再由定理1（1）知P（B|A）=P（B），且P（B| ）=P（B），故：P（B|A）=P（B| ）。
“ ”若P（B|A）=P（B| ），由 及P（B| ）
= ，可得：P（AB）=P（A）P（B）。
因此，事件A、B相互独立。
证毕。
【概念解析】由推论2，事件A、B相互独立的充要条件是P（B|A）=P（B| ）。其本质含义在于，不论事件A会不会发生，事件B发生的概率都不会受到任何影响；反之，由对称性，不论事件B会不会发生，事件A发生的概率也不会受到任何影响。也就是说，事件A是否发生和事件B是否发生，两者是相互独立的，不会互相影响。
3.随机变量的相互独立
定义3：[2]设X、Y是两个随机变量，若对任意的实数x，y均有：P﹛X≤x，Y≤y﹜=P﹛X≤x﹜P﹛Y≤y﹜。
即：F（x，y）=FX（x）FY（y）。
则称随机变量X、Y相互独立。
【概念解析】随机变量X、Y相互独立，本质上是指X的取值和Y的取值是相互独立的，不会互相影响。若令A={X≤x}，B={Y≤y}，则X、Y相互独立当且仅当P（AB）=P（A）P（B），即事件A、B相互独立。
4.随机变量的相关性
定义4：设（X，Y）为二维随机变量，若E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}存在，则称它为X与Y的协方差，记为Cov（X，Y），即Cov（X，Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}。
称 =
为随机变量X与Y的相关系数。
定理3：[1]设随机变量X和Y的相关系数存在，则：①| |≤1；②| |=1的充要条件是X与Y以概率1成线性关系，即P{Y=aX+b=1}，其中a，b（a≠0）为常数。 【概念解析】相关系数 是X与Y之间线性关系的一种度量。| |越接近于1，X与Y的线性关系越显著；| |越接近于0，X与Y的线性关系越不显著。
定义5：若相关系数 =0，则称X与Y不相关。
【概念解析】若X与Y不相关，则X与Y之间完全不存在线性关系。
三、几个概念之间的关系
1.事件间互不相容和相互独立的关系
很多同学都想当然地认为，互不相容一定相互独立；相互独立一定互不相容。实际上，这种理解与事实相悖。下面给出互不相容和相互独立的正确关系：
关系1：设A、B是两个事件，且P（A）>0，P（B）>0。若A、B互不相容，则A与B一定不会相互独立；反之，若A与B相互独立，则A、B一定不会互不相容。
为了更好地理解上述关系，下面给出进一步分析。
【概念解析】如果事件A、B互不相容，那么A、B之间就存在一种关系，即A发生，B就不会发生；反之亦然。也就是说，如果A发生了，可以推出B一定不会发生；如果B发生了，可以推出A一定不会发生。由此可见，A、B之间不是独立的，而是有联系的，只不过这种联系是一种对立性的关系，是不能互相包容的关系。而相互独立是指事件A的发生和事件B的发生没有任何关系。也就是说，事件A发生了，事件B也有可能发生；反之亦然。因此，A、B之间不可能互不相容。
这就如两个人，如果他们没有任何关系就称他们是相互独立的，如果是敌对关系就说他们互不相容。当他们相互独立时，因为没有任何关系，也就不会有敌对关系，所以不会互不相容；反之，如果他们互不相容，那他们就是敌对关系，也就不可能相互独立。
2.随机变量相互独立和线性无关的关系
随机变量之间的相互独立和线性无关之间存在下述关系：
关系2：设X、Y是两个随机变量，若X、Y相互独立，则X、Y一定线性无关；反之，若X、Y线性无关，则X、Y不一定相互独立。
【概念解析】如果X、Y线性相关，那么X、Y之间就存在一种关系，即Y=aX+b，其中a，b（a≠0）为常数。也就是说X、Y的取值不是独立的，因此X、Y不可能相互独立；反之，如果X、Y相互独立，则一定不会存在这种线性关系，也就是一定线性无关。如果X、Y线性无关，那么X、Y之间一定不存在线性关系，但并不能保证没有其他关系，也就是说，X、Y不一定相互独立。
四、例题解析
例1，抛一枚骰子，定义事件A为“抛出的点数为奇数”，B为“抛出的点数为偶数”，C为“抛出的点数能被3整除”，D为“抛出的点数为6”。判断下列事件是否为互不相容事件？是否为相互独立事件？
（1）A与B；（2）A与C；（3）A与D；（4）B与C；（5）B与D；（6）C与D。
解：A={1，3，5}；B={2，4，6}；C={3，6}；D={6}。
P（A）= ；P（B）= ；P（C）= ；P（D）= 。
P（AB）=0；P（AC）= ；P（AD）=0；P（BC）= ；
P（BD）= ；P（CD）= 。
故可得结论，见表1。
例2，已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：
f（x，y）=
问：（1）X、Y是否相互独立？（2）X、Y是否不相关？
解：（1）先求关于X和Y的边缘概率密度：
因为f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X和Y不相互独立。
（2）求X和Y的相关系数：
故Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0。由此可得 =0。因此，X和Y不相关。
注：由本例可以看出，互不相容和相互独立是两个完全不同的概念，而且对任意事件对，两者至多有一个成立。
例3，已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：
f（x，y）=
问：（1）X、Y是否相互独立？（2）求 。
解：（1）先求关于X和Y的边缘概率密度：
因为f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X和Y不相互独立。
（2）
故Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）= 。
又 ；
故D（X）=E（X2）-[E（X）]2= 。
同理，D（Y）= 。故 = E=- 。
注：由上面两个例子可以看出，两个随机变量不相互独立，则它们的相关系数可能为0，也可能不为0。
五、结 论
本文对概率论中互不相容、相互独立、线性无关等几个重要概念进行了细致的讲解，并进一步剖析了这些概念之间的联系和区别，从而帮助学生加深理解，对这些概念产生更形象的认识。
参考文献
1 周圣武.概率论与数理统计（第2版）[M].北京：煤炭工业出版社，2007
2 盛骤、谢式千、潘承毅.概率论与
【关键词】概率论 互不相容 相互独立 线性无关
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）11-0035-03
【Abstract】Mutually exclusion， independence and linear independence are a few very important concepts in probability theory， but many students cannot understand these concepts very profound， and even confuse the relationship between them. Therefore， this paper first makes some explanation of these concepts， in order to help students to understand their essential meanings. On this basis， the relationships between these concepts are explored， so that the students can distinguish the links and difference between these concepts. Finally， examples are given to enable students to produce a more vivid understanding.
【Key words】Probability theory Mutually exclusion Independence Linear independence
一、引 言
互不相容、相互独立和线性无关是概率论中三个非常重要的概念，[1]只有真正掌握好这些概念才能学好概率论。根据多年的教学经验，我们注意到很多学生对这些概念理解的不是很深刻，甚至混淆它们之间的关系。因此，我们首先对这些概念做出解析，从而帮助学生理解其本质含义。在此基础上，进一步探讨它们之间的关系，使学生分清这些概念之间的联系和区别。最后，给出具体的计算实例，以便让学生对这些概念产生更形象的认识。
二、几个重要概念
1.事件的互不相容
定义1：[2]设A、B是两个事件，如果AB=?，则称A、B为互不相容事件（或互斥事件）。
【概念解析】事件A、B互不相容的本质含义在于，A、B不能同时发生，即：如果A发生了，则B一定不会发生；反之亦然。
2.事件的相互独立性
定义2：[2]设A、B是两个事件，如果有以下等式成立：
P（AB）=P（A）P（B）
则称事件A、B相互独立。
为了更好地理解上述概念，首先给出事件相互独立的几个充要条件。
定理1：[2]设A、B是两个事件。
（1）若P（A）>0，则A、B相互独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B）；
（2）若A、B相互独立，则 与B、A与 、 与 都相互独立。
由定理1可以得到以下推论：
推论2：设A、B是两个事件，且1>P（A）>0，则A、B相互独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B| ）。
证明：“ ”若A、B相互独立，则由定理1（2）知 与B也相互独立，且1>P（ ）=1-P（A）>0。再由定理1（1）知P（B|A）=P（B），且P（B| ）=P（B），故：P（B|A）=P（B| ）。
“ ”若P（B|A）=P（B| ），由 及P（B| ）
= ，可得：P（AB）=P（A）P（B）。
因此，事件A、B相互独立。
证毕。
【概念解析】由推论2，事件A、B相互独立的充要条件是P（B|A）=P（B| ）。其本质含义在于，不论事件A会不会发生，事件B发生的概率都不会受到任何影响；反之，由对称性，不论事件B会不会发生，事件A发生的概率也不会受到任何影响。也就是说，事件A是否发生和事件B是否发生，两者是相互独立的，不会互相影响。
3.随机变量的相互独立
定义3：[2]设X、Y是两个随机变量，若对任意的实数x，y均有：P﹛X≤x，Y≤y﹜=P﹛X≤x﹜P﹛Y≤y﹜。
即：F（x，y）=FX（x）FY（y）。
则称随机变量X、Y相互独立。
【概念解析】随机变量X、Y相互独立，本质上是指X的取值和Y的取值是相互独立的，不会互相影响。若令A={X≤x}，B={Y≤y}，则X、Y相互独立当且仅当P（AB）=P（A）P（B），即事件A、B相互独立。
4.随机变量的相关性
定义4：设（X，Y）为二维随机变量，若E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}存在，则称它为X与Y的协方差，记为Cov（X，Y），即Cov（X，Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}。
称 =
为随机变量X与Y的相关系数。
定理3：[1]设随机变量X和Y的相关系数存在，则：①| |≤1；②| |=1的充要条件是X与Y以概率1成线性关系，即P{Y=aX+b=1}，其中a，b（a≠0）为常数。 【概念解析】相关系数 是X与Y之间线性关系的一种度量。| |越接近于1，X与Y的线性关系越显著；| |越接近于0，X与Y的线性关系越不显著。
定义5：若相关系数 =0，则称X与Y不相关。
【概念解析】若X与Y不相关，则X与Y之间完全不存在线性关系。
三、几个概念之间的关系
1.事件间互不相容和相互独立的关系
很多同学都想当然地认为，互不相容一定相互独立；相互独立一定互不相容。实际上，这种理解与事实相悖。下面给出互不相容和相互独立的正确关系：
关系1：设A、B是两个事件，且P（A）>0，P（B）>0。若A、B互不相容，则A与B一定不会相互独立；反之，若A与B相互独立，则A、B一定不会互不相容。
为了更好地理解上述关系，下面给出进一步分析。
【概念解析】如果事件A、B互不相容，那么A、B之间就存在一种关系，即A发生，B就不会发生；反之亦然。也就是说，如果A发生了，可以推出B一定不会发生；如果B发生了，可以推出A一定不会发生。由此可见，A、B之间不是独立的，而是有联系的，只不过这种联系是一种对立性的关系，是不能互相包容的关系。而相互独立是指事件A的发生和事件B的发生没有任何关系。也就是说，事件A发生了，事件B也有可能发生；反之亦然。因此，A、B之间不可能互不相容。
这就如两个人，如果他们没有任何关系就称他们是相互独立的，如果是敌对关系就说他们互不相容。当他们相互独立时，因为没有任何关系，也就不会有敌对关系，所以不会互不相容；反之，如果他们互不相容，那他们就是敌对关系，也就不可能相互独立。
2.随机变量相互独立和线性无关的关系
随机变量之间的相互独立和线性无关之间存在下述关系：
关系2：设X、Y是两个随机变量，若X、Y相互独立，则X、Y一定线性无关；反之，若X、Y线性无关，则X、Y不一定相互独立。
【概念解析】如果X、Y线性相关，那么X、Y之间就存在一种关系，即Y=aX+b，其中a，b（a≠0）为常数。也就是说X、Y的取值不是独立的，因此X、Y不可能相互独立；反之，如果X、Y相互独立，则一定不会存在这种线性关系，也就是一定线性无关。如果X、Y线性无关，那么X、Y之间一定不存在线性关系，但并不能保证没有其他关系，也就是说，X、Y不一定相互独立。
四、例题解析
例1，抛一枚骰子，定义事件A为“抛出的点数为奇数”，B为“抛出的点数为偶数”，C为“抛出的点数能被3整除”，D为“抛出的点数为6”。判断下列事件是否为互不相容事件？是否为相互独立事件？
（1）A与B；（2）A与C；（3）A与D；（4）B与C；（5）B与D；（6）C与D。
解：A={1，3，5}；B={2，4，6}；C={3，6}；D={6}。
P（A）= ；P（B）= ；P（C）= ；P（D）= 。
P（AB）=0；P（AC）= ；P（AD）=0；P（BC）= ；
P（BD）= ；P（CD）= 。
故可得结论，见表1。
例2，已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：
f（x，y）=
问：（1）X、Y是否相互独立？（2）X、Y是否不相关？
解：（1）先求关于X和Y的边缘概率密度：
因为f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X和Y不相互独立。
（2）求X和Y的相关系数：
故Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0。由此可得 =0。因此，X和Y不相关。
注：由本例可以看出，互不相容和相互独立是两个完全不同的概念，而且对任意事件对，两者至多有一个成立。
例3，已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：
f（x，y）=
问：（1）X、Y是否相互独立？（2）求 。
解：（1）先求关于X和Y的边缘概率密度：
因为f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X和Y不相互独立。
（2）
故Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）= 。
又 ；
故D（X）=E（X2）-[E（X）]2= 。
同理，D（Y）= 。故 = E=- 。
注：由上面两个例子可以看出，两个随机变量不相互独立，则它们的相关系数可能为0，也可能不为0。
五、结 论
本文对概率论中互不相容、相互独立、线性无关等几个重要概念进行了细致的讲解，并进一步剖析了这些概念之间的联系和区别，从而帮助学生加深理解，对这些概念产生更形象的认识。
参考文献
1 周圣武.概率论与数理统计（第2版）[M].北京：煤炭工业出版社，2007
2 盛骤、谢式千、潘承毅.概率论与