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在学习机械能守恒定律时，充分利用“母题”，可以更深入的掌握知识点。
一、剖析错解
例1如图 ，长2 的轻杆，在杆中点和一端分别固定质量均为m的小球A、B，另一端用光滑铰链固定于O点。现将杆拉成水平后自由释放，求杆到达竖直位置时，两球的线速度。
【错解一】对B球：杆对B球不做功，仅重力做功，B球机械能守恒，则有
，得： ，
同理得： 。
【剖析】显然， ，错误！这个答案的错误产生在于：认为杆摆下的过程中，杆对两球的作用力沿杆方向，不做功。其实，该过程杆对两球的作用力并不沿杆向，杆对A、B球做功，A或B球（单体）的机械能均不守恒。
我们可以先将杆设想成不产生弹力的柔性软绳，再将两球和绳同时自由释放，经小段时间，二者竖直下落相同距离（如图中虚线位置），相对于铰链O为中心的圆运动径向，右端球B落后了。如果软绳是刚性轻杆，则会对球B产生垂直杆向作用，将球B拉到OA所在同一直线上。这也说明了杆的作用力对球B做了正功，对球A做了负，A或B球（单体）的机械能均不守恒。
还可以设想成A、B是两个摆长分别为l、2l彼此独立的单摆，粗略定性分析时可利用单摆的周期公式，推知A摆的周期较短，知轻杆释放摆下时沿圆周径向：球A将企图超前，球B滞后，故杆对A产生垂直杆向后作用，对B产生垂直杆向前作用，A或B球（单体）的机械能均不守恒。
但对系统而言，杆对两球弹力是系统内部弹力，系统内部弹力做功，只是导致机械能在系统内部转移，而系统机械能总量仍然不变。系统重力势能的减少等于A、B动能的增加，有
设杆到达竖直位置时的角速度为ω，则 ， ，
联立解得： ， ， 。
【错解二】把两球作为一个整体，它们的质心在A、B连线中点（相当于质量为2m的球C）。根据系统摆下过程中机械能守恒，列出方程式
得到杆的角速度： (注意：跟上面求得的角速度正确值不等!）
解得： ， 。
【剖析】这种解法错在哪？因为整个系统的动能与质心的动能是两个概念。整个系统的动能，应等于质心的动能与A、B相对质心C转动的动能之和。若质心C到达最低点时角速度为 ，则A、B相对质心C的角速度也刚好等于 。这样，系统摆下过程中机械能守恒方程式应为
得： ，因此 ， ，结果一致。
二、一题多解
例2如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，不计摩擦和介质阻力，求：（1）当A到达最低点时，小球A的速度大小v1；（2）小球B能上升的最大高度h；（3）开始转动后小球B可能达到的最大速度vm。
【解析】以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于忽略转动过程中摩擦和介质阻力作用，所以该系统的机械能守恒。
（1）系统由静止释放后，当A到达最低点过程中，如图1，A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的瞬时速度大小总是B的2倍，设A达最低点速度为 ， 则
，
解得 。
（2）B球不可能到达O的正上方，否则系统机械能增加了，这不可能。设B到达最大高度时(速度为零)，A所在位置比竖直位置向左偏了 角，如图2，
此式可化简为 ，
利用三角公式可解得，则B上升的最大高度为h=L(1+sin160)。
（3）
方法一：函数求极法。系统重力做的功WG等于动能的增加，B球速度最大时就是系统动能最大时。设OA从开始转过 角时B球速度最大，如图（3），,
令y的一阶导函数为零， ，得θ=530，代回原式求得v的极值为。
方法二：根据刚体的动能最大的条件，即对O轴的外力矩代数和为零
，得 ，θ=530。
代入方程 即得
联系（2）结果，θ=530正是单向摆动总角度的一半 。
方法三：刚体质心C运动到最低点时，动能最大，如下图所示。， ， ，即下摆530时动能最大。以下略。
三、拓展思维
例3如图所示，A、B两小球用轻杆连接，球只能沿竖直固定杆运动。开始时，A、B均静止，B球在水平面上靠着固定杆。由于微小抖动，B球开始沿水平面向右运动，不计一切摩擦，设A在下滑过程中机械能最小时的加速度大小为a，则（ ）
A．a=g/2 B．g/2 【解析】A从下滑到未着地前过程中，杆先压缩后伸张，杆产生的弹力对A先做负功后做正功，A球机械能先减后增（对B先做正功后做负功，B球机械能先增后减），推知A机械能最小时杆弹力为零，则A在竖直方向仅受重力，故正确答案选C。
可以证明：此时B的机械动能、速度最大。为计算简便，设两球质量均为m，A在下滑到杆与水平夹角为θ时，二者速度大小分别为vA、vB，由系统机械能守恒得：
由于杆不可伸长和缩短，此时沿杆向两球分速度相等，有
联立解得：
因为 和一定，则 时其积最大，即当 时， 有最大值。
责任主编李婷婷
一、剖析错解
例1如图 ，长2 的轻杆，在杆中点和一端分别固定质量均为m的小球A、B，另一端用光滑铰链固定于O点。现将杆拉成水平后自由释放，求杆到达竖直位置时，两球的线速度。
【错解一】对B球：杆对B球不做功，仅重力做功，B球机械能守恒，则有
，得： ，
同理得： 。
【剖析】显然， ，错误！这个答案的错误产生在于：认为杆摆下的过程中，杆对两球的作用力沿杆方向，不做功。其实，该过程杆对两球的作用力并不沿杆向，杆对A、B球做功，A或B球（单体）的机械能均不守恒。
我们可以先将杆设想成不产生弹力的柔性软绳，再将两球和绳同时自由释放，经小段时间，二者竖直下落相同距离（如图中虚线位置），相对于铰链O为中心的圆运动径向，右端球B落后了。如果软绳是刚性轻杆，则会对球B产生垂直杆向作用，将球B拉到OA所在同一直线上。这也说明了杆的作用力对球B做了正功，对球A做了负，A或B球（单体）的机械能均不守恒。
还可以设想成A、B是两个摆长分别为l、2l彼此独立的单摆，粗略定性分析时可利用单摆的周期公式，推知A摆的周期较短，知轻杆释放摆下时沿圆周径向：球A将企图超前，球B滞后，故杆对A产生垂直杆向后作用，对B产生垂直杆向前作用，A或B球（单体）的机械能均不守恒。
但对系统而言，杆对两球弹力是系统内部弹力，系统内部弹力做功，只是导致机械能在系统内部转移，而系统机械能总量仍然不变。系统重力势能的减少等于A、B动能的增加，有
设杆到达竖直位置时的角速度为ω，则 ， ，
联立解得： ， ， 。
【错解二】把两球作为一个整体，它们的质心在A、B连线中点（相当于质量为2m的球C）。根据系统摆下过程中机械能守恒，列出方程式
得到杆的角速度： (注意：跟上面求得的角速度正确值不等!）
解得： ， 。
【剖析】这种解法错在哪？因为整个系统的动能与质心的动能是两个概念。整个系统的动能，应等于质心的动能与A、B相对质心C转动的动能之和。若质心C到达最低点时角速度为 ，则A、B相对质心C的角速度也刚好等于 。这样，系统摆下过程中机械能守恒方程式应为
得： ，因此 ， ，结果一致。
二、一题多解
例2如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，不计摩擦和介质阻力，求：（1）当A到达最低点时，小球A的速度大小v1；（2）小球B能上升的最大高度h；（3）开始转动后小球B可能达到的最大速度vm。
【解析】以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于忽略转动过程中摩擦和介质阻力作用，所以该系统的机械能守恒。
（1）系统由静止释放后，当A到达最低点过程中，如图1，A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的瞬时速度大小总是B的2倍，设A达最低点速度为 ， 则
，
解得 。
（2）B球不可能到达O的正上方，否则系统机械能增加了，这不可能。设B到达最大高度时(速度为零)，A所在位置比竖直位置向左偏了 角，如图2，
此式可化简为 ，
利用三角公式可解得，则B上升的最大高度为h=L(1+sin160)。
（3）
方法一：函数求极法。系统重力做的功WG等于动能的增加，B球速度最大时就是系统动能最大时。设OA从开始转过 角时B球速度最大，如图（3），,
令y的一阶导函数为零， ，得θ=530，代回原式求得v的极值为。
方法二：根据刚体的动能最大的条件，即对O轴的外力矩代数和为零
，得 ，θ=530。
代入方程 即得
联系（2）结果，θ=530正是单向摆动总角度的一半 。
方法三：刚体质心C运动到最低点时，动能最大，如下图所示。， ， ，即下摆530时动能最大。以下略。
三、拓展思维
例3如图所示，A、B两小球用轻杆连接，球只能沿竖直固定杆运动。开始时，A、B均静止，B球在水平面上靠着固定杆。由于微小抖动，B球开始沿水平面向右运动，不计一切摩擦，设A在下滑过程中机械能最小时的加速度大小为a，则（ ）
A．a=g/2 B．g/2
可以证明：此时B的机械动能、速度最大。为计算简便，设两球质量均为m，A在下滑到杆与水平夹角为θ时，二者速度大小分别为vA、vB，由系统机械能守恒得：
由于杆不可伸长和缩短，此时沿杆向两球分速度相等，有
联立解得：
因为 和一定，则 时其积最大，即当 时， 有最大值。
责任主编李婷婷