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【摘 要】针对自锚式悬索桥几何非线性分析中加劲梁显著的梁柱效应问题，从梁柱效应的基本原理出发，引入稳定函数的概念，推导出稳定函数修正系数，并采用该修正系数对梁单元的线性刚度矩阵进行修正，得到几何非线性计算中梁单元的切线刚度矩阵；算例表明，本文方法具有较高的精度，可供广大技术人员参考。
【关键词】自锚式悬索桥；几何非线性；梁柱效应；稳定函数；刚度矩阵
Self-anchored suspension stiffening girder beams Effects Analysis
Wang Qing-feng1，Wang Lei2
（1.Transportation Construction Co.， Ltd. in Anhui Province Hefei Anhui 230041；
2.Anhui Vocational and Technical College Hefei Anhui 4100761）
【Abstract】For self-anchored suspension geometry nonlinear analysis stiffening girder beams significant effect issues， from basic principles beams effect， the paper introduces the concept of stable function， stable function deduced correction factor， and the use of the correction factor for beam element linear stiffness matrix correction to obtain the tangent stiffness matrix computation geometric nonlinear beam elements； numerical examples show that this method has higher accuracy， for the majority of technical officers.
【Key words】Self-anchored suspension bridge；Geometric nonlinearity；Beams effect；Stable function；Stiffness matrix
1. 概述
1.1 悬索桥是由主缆、加劲梁、索塔、吊索等构件构成的柔性悬吊组合体系。成桥时，主要由主缆、加劲梁和主塔共同承受结构的自重和外荷载。主缆是结构体系中的主要承重构件，是几何可变体系，主要承受拉力作用，主缆不仅可以通过自身的弹性变形，而且可以通过其几何形状的改变来影响体系的平衡，表现出大位移非线性的力学特性，这是悬索桥区别与其它桥梁结构的重要特征之一。
1.2 但是，自锚式悬索桥不同于一般的悬索桥[1，2]，它的主缆直接锚固在加劲梁的梁端，由主梁直接承受主缆中的水平分力，因此它有许多优点：（1）不需要修建大体积的锚碇，所以特别适用于地质条件很差的地区；（2）对于钢筋混凝土材料的加劲梁，由于需要承受主缆传递的压力，刚度会提高，因而节省了大量预应力构造及装置；（3）自锚式悬索桥大部分座落在城市的重要地段，其新颖、优雅的外观与周围环境相协相容，建成后可成为当地的标志性建筑和景点，必将为该地区带来持久的经济效益和社会效益，因此在中小跨径桥型中是很有竞争力的方案。
1.3 自锚式悬索桥由于主缆直接锚固在加劲梁上，梁承受了很大的轴向力，为此需加大梁的截面，对于钢结构的加劲梁则造价明显增加，对于混凝土材料的加劲梁则增加了主梁自重，从而使主缆钢材用量增加，所以采用这两种材料跨径都会受到限制；而在悬索的结构分析中，由于加劲梁承受相对较大的轴力，使其梁柱效应突出，因此在自锚式悬索桥的加劲梁的几何非线性计算中，必须考虑梁柱效应[3～5]的影响。
2. 梁柱效应基本原理
2.1 自锚式悬索桥主缆索力使加劲梁处于弯矩和轴力的共同作用下，这些构件即使在材料满足虎克定律的条件下也会呈现非线性特性。构件在轴力作用下产生横向挠度引起附加弯矩，弯矩反过来又进一步影响轴向刚度的大小，此时叠加原理已经不再适用。但如果构件承受着一系列的横向荷载和位移作用，而轴向力保持不变，那么这些横向荷载和位移也还是可以叠加的。因此，轴向力可以被看作为影响横向刚度的一个参数，一旦该参数对横向刚度的影响确定，就可以采用线性分析的方法进行近似计算。
2.2 有两种方法可以处理这种压弯共同作用引起的非线性问题：一是引入稳定函数，可得到梁体单元刚度矩阵元素的修正系数，用修正系数在迭代中不断地对小位移线弹性刚度矩阵进行修正；或者在计算单元刚度矩阵时考虑几何刚度矩阵的影响。二是从实际的应变出发列出压弯共同作用下的总应变方程，通过虚功原理，得到梁单元的整体刚度矩阵。
2.3 对梁柱效应的处理方法应用比较广泛的是引进稳定函数的概念，用此函数对刚度矩阵加以修正后再实施线性计算。
2.4 如图1所示，同时承受轴向力和横向荷载的构件AB，杆端约束为任意的，其Y方向上的挠度微分方程表示为：
式中：q为横向荷载集度。当q=0时，其通解为：
式中：u=l PEI；A1 ， A2， A3和 A4为积分常数，可通过引入边界条件求出。
由式（1）可以推导出杆件轴向受压时相对于图1b）所示的四个坐标方向上的刚度矩阵，这四个方向的位移分别为：
2.5 上述 s1， s2， s3和 s4是受压构件剪力、弯矩的稳定性修正函数的推导结果。对于受拉构件的剪力、弯矩稳定性函数 s1～ s4以及受拉和受压构件的轴向力稳定性函数 s5不再详细推导。现将稳定性函数修正后的刚度矩阵[Km] 的表达式归纳如下：
3. 算例验证
3.1 如图4所示，梁的截面为1m×1m的正方形，长度为10m，一端固定，另一端自由，材料的弹性模量为2.1×1011Pa。求该梁在横向 集中力为300N，竖向集中力为-3×109N的作用下的变形情况。
3.2 取荷载步长deltime=0.01，总荷载步长time=30。表1列出了自编程序和ANSYS软件及文献[6]求得的每隔0.5个荷载步长的结果，对应的曲线如图5。
3.3 计算结果表明，本文方法具有较高的计算精度。
图5 梁柱效应曲线对比图
4. 结束语
从梁柱效应的基本原理出发，引入稳定函数的概念，推导出稳定函数修正系数，并采用该修正系数对梁单元的线性刚度矩阵进行修正，得到几何非线性计算中梁单元的切线刚度矩阵；算例表明，本文方法具有较高的精度。
参考文献
[1] 张元凯，肖汝诚，金诚棣.自锚式悬索桥的设计.桥梁建设，2002（5）：30～32.
[2] 李文良.自锚式悬索桥施工技术.石家庄铁道学院学报，2003（7）：53～55.
[3] 李传习，夏桂云.大跨度桥梁结构计算理论.人民交通出版社.2002（6）.
[4] 陈仁福. 大跨度悬索桥理论. 西南交通大学出版社，1992.
[5] 颜东煌，田仲初，李学文. 桥梁结构电算程序设计.湖南大学出版社. 1999.4.
[6] 柯红军. 大跨度钢管混凝土拱桥稳定及极限承载力研究. 长沙理工大学硕士学位论文. 2004.5.
【关键词】自锚式悬索桥；几何非线性；梁柱效应；稳定函数；刚度矩阵
Self-anchored suspension stiffening girder beams Effects Analysis
Wang Qing-feng1，Wang Lei2
（1.Transportation Construction Co.， Ltd. in Anhui Province Hefei Anhui 230041；
2.Anhui Vocational and Technical College Hefei Anhui 4100761）
【Abstract】For self-anchored suspension geometry nonlinear analysis stiffening girder beams significant effect issues， from basic principles beams effect， the paper introduces the concept of stable function， stable function deduced correction factor， and the use of the correction factor for beam element linear stiffness matrix correction to obtain the tangent stiffness matrix computation geometric nonlinear beam elements； numerical examples show that this method has higher accuracy， for the majority of technical officers.
【Key words】Self-anchored suspension bridge；Geometric nonlinearity；Beams effect；Stable function；Stiffness matrix
1. 概述
1.1 悬索桥是由主缆、加劲梁、索塔、吊索等构件构成的柔性悬吊组合体系。成桥时，主要由主缆、加劲梁和主塔共同承受结构的自重和外荷载。主缆是结构体系中的主要承重构件，是几何可变体系，主要承受拉力作用，主缆不仅可以通过自身的弹性变形，而且可以通过其几何形状的改变来影响体系的平衡，表现出大位移非线性的力学特性，这是悬索桥区别与其它桥梁结构的重要特征之一。
1.2 但是，自锚式悬索桥不同于一般的悬索桥[1，2]，它的主缆直接锚固在加劲梁的梁端，由主梁直接承受主缆中的水平分力，因此它有许多优点：（1）不需要修建大体积的锚碇，所以特别适用于地质条件很差的地区；（2）对于钢筋混凝土材料的加劲梁，由于需要承受主缆传递的压力，刚度会提高，因而节省了大量预应力构造及装置；（3）自锚式悬索桥大部分座落在城市的重要地段，其新颖、优雅的外观与周围环境相协相容，建成后可成为当地的标志性建筑和景点，必将为该地区带来持久的经济效益和社会效益，因此在中小跨径桥型中是很有竞争力的方案。
1.3 自锚式悬索桥由于主缆直接锚固在加劲梁上，梁承受了很大的轴向力，为此需加大梁的截面，对于钢结构的加劲梁则造价明显增加，对于混凝土材料的加劲梁则增加了主梁自重，从而使主缆钢材用量增加，所以采用这两种材料跨径都会受到限制；而在悬索的结构分析中，由于加劲梁承受相对较大的轴力，使其梁柱效应突出，因此在自锚式悬索桥的加劲梁的几何非线性计算中，必须考虑梁柱效应[3～5]的影响。
2. 梁柱效应基本原理
2.1 自锚式悬索桥主缆索力使加劲梁处于弯矩和轴力的共同作用下，这些构件即使在材料满足虎克定律的条件下也会呈现非线性特性。构件在轴力作用下产生横向挠度引起附加弯矩，弯矩反过来又进一步影响轴向刚度的大小，此时叠加原理已经不再适用。但如果构件承受着一系列的横向荷载和位移作用，而轴向力保持不变，那么这些横向荷载和位移也还是可以叠加的。因此，轴向力可以被看作为影响横向刚度的一个参数，一旦该参数对横向刚度的影响确定，就可以采用线性分析的方法进行近似计算。
2.2 有两种方法可以处理这种压弯共同作用引起的非线性问题：一是引入稳定函数，可得到梁体单元刚度矩阵元素的修正系数，用修正系数在迭代中不断地对小位移线弹性刚度矩阵进行修正；或者在计算单元刚度矩阵时考虑几何刚度矩阵的影响。二是从实际的应变出发列出压弯共同作用下的总应变方程，通过虚功原理，得到梁单元的整体刚度矩阵。
2.3 对梁柱效应的处理方法应用比较广泛的是引进稳定函数的概念，用此函数对刚度矩阵加以修正后再实施线性计算。
2.4 如图1所示，同时承受轴向力和横向荷载的构件AB，杆端约束为任意的，其Y方向上的挠度微分方程表示为：
式中：q为横向荷载集度。当q=0时，其通解为：
式中：u=l PEI；A1 ， A2， A3和 A4为积分常数，可通过引入边界条件求出。
由式（1）可以推导出杆件轴向受压时相对于图1b）所示的四个坐标方向上的刚度矩阵，这四个方向的位移分别为：
2.5 上述 s1， s2， s3和 s4是受压构件剪力、弯矩的稳定性修正函数的推导结果。对于受拉构件的剪力、弯矩稳定性函数 s1～ s4以及受拉和受压构件的轴向力稳定性函数 s5不再详细推导。现将稳定性函数修正后的刚度矩阵[Km] 的表达式归纳如下：
3. 算例验证
3.1 如图4所示，梁的截面为1m×1m的正方形，长度为10m，一端固定，另一端自由，材料的弹性模量为2.1×1011Pa。求该梁在横向 集中力为300N，竖向集中力为-3×109N的作用下的变形情况。
3.2 取荷载步长deltime=0.01，总荷载步长time=30。表1列出了自编程序和ANSYS软件及文献[6]求得的每隔0.5个荷载步长的结果，对应的曲线如图5。
3.3 计算结果表明，本文方法具有较高的计算精度。
图5 梁柱效应曲线对比图
4. 结束语
从梁柱效应的基本原理出发，引入稳定函数的概念，推导出稳定函数修正系数，并采用该修正系数对梁单元的线性刚度矩阵进行修正，得到几何非线性计算中梁单元的切线刚度矩阵；算例表明，本文方法具有较高的精度。
参考文献
[1] 张元凯，肖汝诚，金诚棣.自锚式悬索桥的设计.桥梁建设，2002（5）：30～32.
[2] 李文良.自锚式悬索桥施工技术.石家庄铁道学院学报，2003（7）：53～55.
[3] 李传习，夏桂云.大跨度桥梁结构计算理论.人民交通出版社.2002（6）.
[4] 陈仁福. 大跨度悬索桥理论. 西南交通大学出版社，1992.
[5] 颜东煌，田仲初，李学文. 桥梁结构电算程序设计.湖南大学出版社. 1999.4.
[6] 柯红军. 大跨度钢管混凝土拱桥稳定及极限承载力研究. 长沙理工大学硕士学位论文. 2004.5.