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在新课改的今天，许多中学数学教师在教学中都把培养学生的运算能力作为发展学生的智力和培养能力的手段之一。前苏联教育心理学家克鲁切茨基指出：“数学才能在童年早期就能形成，其中大部分是以计算能力——数的运算能力——的形式出现的。当然，确切地说，计算能力还不能算是数学能力，但是在这个基础上常常可以形成真正的数学能力——推理的能力、求证的能力和独立地掌握数据的能力。”因此，运算能力不仅由于社会生活、生产和进一步学的广泛需要可呈现出明显的工具性，而且对于培养具有真正数学能力的人才具有十分重要的奠基性。
一、运算能力的意义、结构和内容
依据教育心理学的理论研究，运算能力的结构主要有以下六种元素组成：
1. 最初定向
学生拿到一个运算题目后，要对它进行分析和综合处理，找出问题的结构，区分问题结构中的三种不同性质的成份：A.弄清问题中的基本数量关系，认出问题的类型；B.弄清问题中哪些是本质性的数量，哪些是非本质性的数量；C.弄清哪些是多余的或无关的数量。
2.概括能力
在这里主要有两个方面：A.把已经了解的公式运用到特定的具体问题中。例如，要计算（6a2+b2+4c3）2,如果把括号中的前两项看成一个整体，整个问题就可以用两数和的完全平方公式，而归入一个已会算的问题。通过这种概括，把此方法迁移到问题上来。B.要根据具体的例题，概括出还不了解的公式，从而得到计算某一类问题的一般方法。如通过用（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=5050的办法计算1+2+3+……+100，可以概括出等差数列的求和公式来。
3.缩短推理过程和缩短相应的运算程序的能力
运算是被理解为从集合A到集合B的对应，而运算过程则是实现这种对应的过程，即根据运算定义及其性质，从已知的运算对象推导出结果的过程。因此，运算过程的实质是一种推理过程。让学生进行一定数量的练习，对系统推理的整个过程做出明确的思考，概括出他们发现的运算方法之后，就立即开始对推理和相应运算环节的缩短。例如计算（2Y-3Y）/3-（-2X+8）/2，起初，学生要通分、变号、合并同类项等，一步一步地进行。但运算熟练后，一些能力强的学生会省略一些步骤乃至直接写出结果来。
4.心理运算的灵活性
主要表现在对一个问题运算方法的多样性上，表现在不断地摆脱习惯算法的束缚作用上，表现在能重建一定的思维模式和运算系统上，能从一种思维水平转向另一种思维水平，从一种运算方法转换到另一种运算方法。心理过程的可逆也是灵活性的一个方面。在数学推理和运算中，能从正向思维转向逆向思维，从正向运算转逆向运算，从顺向运用公式转向逆向运用公式。
5.优化运算过程和运算方法的能力
学生对某一问题得到一种运算方法后，能不停顿地探求是否可能改进或有没有更简单地解题方法，力求用最合理的方式，最明确、最简单、最直接地达到目的。
6.记忆能力
能有选择地、精炼地、概括化地记忆概念、法则、公式、定理，以及推理和运算的典型模式和一般特点。
所以，运算能力的结构有两个明显的特点：一是综合性。它既包括分析与综合，也包括概括、推理、灵活、优化记忆。同时还包括良好的思想素质和心理素质。因此，培养运算能力必须综合进行。二是层次性。最初定向、概括和记忆的正确性，保证了整个运算的准确性。运算能力寓于运算内容的学习与训练之中。中小学数学运算的内容，是随着数学知识体系的展开而展开的，贯穿课程内容的始终。
二、怎样培养学生的运算能力
培养学生的运算能力，不仅要了解运算的内容、运算能力的结构，而且要研究学生这个主体，了解学生在运算过程中容易产生的问题，分析原因，有的放矢地采取有效方法。
1.学生运算中出现的主要问题
① 运算的速度慢、准确性差
学生运算中常出现的错误，多与概念、法则、公式、定理的理解掌握和运用相联系。例如：符号法则用错：如-3（a-b）=-3a-3b；公式记忆错：如(a+b)2=a2+ab+b2。
② 运算的盲目性大
见积就乘，见商就除，见幂就乘方，见根式就开方，缺乏对运算合理性、灵活性的思考与实践。较突出的问题是，习惯于机械运算，不重视对概念的理解和应用；盲目运算练习，不注意对知识结构、方法、技巧进行总结、归纳、整理。做题不少，但运算能力提高不大。
2.原因分析
学生运算能力差，不仅仅是粗心或技术性问题，大多是数学综合素质有待提高的反映。主要表现如下：
(1) 学习目的、态度、意志、毅力等方面存在问题：有些学生的智力相当好，但自控能力差，听课、做作业都不能集中注意力。有些学生只重视解题思路的思考分析，认为只要知道解法就算会了，不愿意动手或不愿意花时间进行规范的运算或草率从事，久而久之不仅运算逐步生疏，而且养成了粗心、马虎的不良习惯，造成题目一看就会，一做就错。例如：①23=6，② -12+5=6。第①题是把乘方理解为乘法，这种理解常常因為2×2＝4，22＝4这个特例而扎根在头脑中；第②题是把－12错误的理解为“负1的平方”，而－1n与（－1）n有时相等（n为奇数时）有时不相等（n为偶数时）。
（2）知识技能基础不适应运用的要求。例如：已知 |a-1| + |2-b| =0， 则100a-5b=____________
解：∵|a-1| + |2-b| =0 则a-1=0 且2-b=0
∴a=1 b=2 ∴100a-5b=100-10=90
如果不清楚、不理解绝对值概念，学生将束手无策。每次数学测验，经过分析试卷，发现学生的知识、技能基础不够扎实是运算得分率低的主要原因。
（3）训练欠科学与规范：在运算教学中，有的教师缺乏严格要求、缺乏对学生认真细致做题习惯的培养和做题规范的教育；其次是练习的目的不明确，缺乏长远目标和对课本习题结构的深入研究，给学生布置作业、练习，往往具有“无意性”、“随意性”、“应酬性”，不注重探讨最佳训练方法；最后是在学习的不同的阶段中有的教师很少做到有计划、分层次、有的放矢地设置练习任务，提出明确要求采取可行措施来提高练习效益。
3.培养学生运算能力的几条途径
(1)抓好起始教育：有理数的运算是中学培养运算能力的开始，不论是对良好思想素质、心理素质和良好运算习习惯的培养，还是对运算技能、技巧的训练，都起着关键的作用。因此必须十分重视有理数的四则运算教学。要抓好知识技能与教法的衔接，小学数学在知识上可接受性、直观性、常识性较强，科学性、抽象性、严密性较弱；数字计算多，字母运算少，因此要帮助和指导学生由常识性向科学性、直观性向抽象性的观点方法的过渡与转化。同时还要探讨科学的训练方法，要做到基础练习要做够，要活用、巧用课本例题和习题。要按照层次性原则安排训练阶段，要安照转化性原则设计题组，发挥练习在知识转化为能力中的桥梁作用。不断地让学生自我反思，并且及时与同学进行交流，以探讨思维规律。
（2）采取多种形式，加强运算能力各个组成部分的训练
A、要重视运算的最初定向。全面分析题目中显见的和隐含的一切条件，着力审清题目的结构性，确定好运算方向。
例如：已知抛物线经过A（-1，1）、B（3，0）、C（-2，0）。求抛物线的表达式。
分析：本题的基本结构是已知抛物线上三个点的坐标、求抛物线的方程。一般可用代入法。但进一步分析会发现，已知的三点中，有两个点在X轴上。题目中隐含的这种特殊性，说明ax2+bx+c=0(a≠0)有X1=3，X2=-2两个根。于是导至解法的特殊性，可用y=(x-x1)(x-x2)方法求表达式，只须辅之代入法求a就行了。同时在最初的定向中，要注意结构形式类同题目的条件变化，而引起的运算方法的变化。
B、注意运算方法的选择，重视运算合理性训练。一个具体的运算问题，由于运用的概念、公式、定理不同，往往簡繁程度各异。
例如：已知函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，试确定f(1)、f(2)、f(4)的大小顺序。
分析：已知条件“函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)”，实质上是二次函数的对称性的数学表示，且对称轴0，于是利用f(x)在［2，+∞］上单调递增的性质，很快得到答案。（解略）
这里洞察出已知条件是对称性的数学表示，辩明式子结构把f(2+t)=f(2-t)看作是f(t+2)=f(-t+2)的等价变式，是灵活运用偶函数概念进行运算的体现。
C、重视运算灵活性的训练：要重视一题多解，训练学生多侧面、多角度、多方位观察思考问题的习惯，通过运算方法的多样性，训练学生心理运算的灵活性，以增强转换运算方法的能力。同时还要重视培养学生自如地进行正向和逆向思维，灵活地正用和逆用公式进行运算的能力。
如：计算（ x+1）2-（ x-1）2
分析：本题按常规思路可以直接用多项式乘法法则先去掉括号，再做减法运算，但若把 x+1与 x-1看成整体，可以逆用平方差公式使计算简便。
解：（ x+1）2-（x -1）2
=［（x+1）+（x-1）］·［（x+1）-（x-1）］
=2x·2=4x
总之，运算练习是提高学生运算能力的有效途径。教师要不懈地引导学生勤于动脑、动手，做好基本训练，这是培养学生运算能力的必要条件。
一、运算能力的意义、结构和内容
依据教育心理学的理论研究，运算能力的结构主要有以下六种元素组成：
1. 最初定向
学生拿到一个运算题目后，要对它进行分析和综合处理，找出问题的结构，区分问题结构中的三种不同性质的成份：A.弄清问题中的基本数量关系，认出问题的类型；B.弄清问题中哪些是本质性的数量，哪些是非本质性的数量；C.弄清哪些是多余的或无关的数量。
2.概括能力
在这里主要有两个方面：A.把已经了解的公式运用到特定的具体问题中。例如，要计算（6a2+b2+4c3）2,如果把括号中的前两项看成一个整体，整个问题就可以用两数和的完全平方公式，而归入一个已会算的问题。通过这种概括，把此方法迁移到问题上来。B.要根据具体的例题，概括出还不了解的公式，从而得到计算某一类问题的一般方法。如通过用（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=5050的办法计算1+2+3+……+100，可以概括出等差数列的求和公式来。
3.缩短推理过程和缩短相应的运算程序的能力
运算是被理解为从集合A到集合B的对应，而运算过程则是实现这种对应的过程，即根据运算定义及其性质，从已知的运算对象推导出结果的过程。因此，运算过程的实质是一种推理过程。让学生进行一定数量的练习，对系统推理的整个过程做出明确的思考，概括出他们发现的运算方法之后，就立即开始对推理和相应运算环节的缩短。例如计算（2Y-3Y）/3-（-2X+8）/2，起初，学生要通分、变号、合并同类项等，一步一步地进行。但运算熟练后，一些能力强的学生会省略一些步骤乃至直接写出结果来。
4.心理运算的灵活性
主要表现在对一个问题运算方法的多样性上，表现在不断地摆脱习惯算法的束缚作用上，表现在能重建一定的思维模式和运算系统上，能从一种思维水平转向另一种思维水平，从一种运算方法转换到另一种运算方法。心理过程的可逆也是灵活性的一个方面。在数学推理和运算中，能从正向思维转向逆向思维，从正向运算转逆向运算，从顺向运用公式转向逆向运用公式。
5.优化运算过程和运算方法的能力
学生对某一问题得到一种运算方法后，能不停顿地探求是否可能改进或有没有更简单地解题方法，力求用最合理的方式，最明确、最简单、最直接地达到目的。
6.记忆能力
能有选择地、精炼地、概括化地记忆概念、法则、公式、定理，以及推理和运算的典型模式和一般特点。
所以，运算能力的结构有两个明显的特点：一是综合性。它既包括分析与综合，也包括概括、推理、灵活、优化记忆。同时还包括良好的思想素质和心理素质。因此，培养运算能力必须综合进行。二是层次性。最初定向、概括和记忆的正确性，保证了整个运算的准确性。运算能力寓于运算内容的学习与训练之中。中小学数学运算的内容，是随着数学知识体系的展开而展开的，贯穿课程内容的始终。
二、怎样培养学生的运算能力
培养学生的运算能力，不仅要了解运算的内容、运算能力的结构，而且要研究学生这个主体，了解学生在运算过程中容易产生的问题，分析原因，有的放矢地采取有效方法。
1.学生运算中出现的主要问题
① 运算的速度慢、准确性差
学生运算中常出现的错误，多与概念、法则、公式、定理的理解掌握和运用相联系。例如：符号法则用错：如-3（a-b）=-3a-3b；公式记忆错：如(a+b)2=a2+ab+b2。
② 运算的盲目性大
见积就乘，见商就除，见幂就乘方，见根式就开方，缺乏对运算合理性、灵活性的思考与实践。较突出的问题是，习惯于机械运算，不重视对概念的理解和应用；盲目运算练习，不注意对知识结构、方法、技巧进行总结、归纳、整理。做题不少，但运算能力提高不大。
2.原因分析
学生运算能力差，不仅仅是粗心或技术性问题，大多是数学综合素质有待提高的反映。主要表现如下：
(1) 学习目的、态度、意志、毅力等方面存在问题：有些学生的智力相当好，但自控能力差，听课、做作业都不能集中注意力。有些学生只重视解题思路的思考分析，认为只要知道解法就算会了，不愿意动手或不愿意花时间进行规范的运算或草率从事，久而久之不仅运算逐步生疏，而且养成了粗心、马虎的不良习惯，造成题目一看就会，一做就错。例如：①23=6，② -12+5=6。第①题是把乘方理解为乘法，这种理解常常因為2×2＝4，22＝4这个特例而扎根在头脑中；第②题是把－12错误的理解为“负1的平方”，而－1n与（－1）n有时相等（n为奇数时）有时不相等（n为偶数时）。
（2）知识技能基础不适应运用的要求。例如：已知 |a-1| + |2-b| =0， 则100a-5b=____________
解：∵|a-1| + |2-b| =0 则a-1=0 且2-b=0
∴a=1 b=2 ∴100a-5b=100-10=90
如果不清楚、不理解绝对值概念，学生将束手无策。每次数学测验，经过分析试卷，发现学生的知识、技能基础不够扎实是运算得分率低的主要原因。
（3）训练欠科学与规范：在运算教学中，有的教师缺乏严格要求、缺乏对学生认真细致做题习惯的培养和做题规范的教育；其次是练习的目的不明确，缺乏长远目标和对课本习题结构的深入研究，给学生布置作业、练习，往往具有“无意性”、“随意性”、“应酬性”，不注重探讨最佳训练方法；最后是在学习的不同的阶段中有的教师很少做到有计划、分层次、有的放矢地设置练习任务，提出明确要求采取可行措施来提高练习效益。
3.培养学生运算能力的几条途径
(1)抓好起始教育：有理数的运算是中学培养运算能力的开始，不论是对良好思想素质、心理素质和良好运算习习惯的培养，还是对运算技能、技巧的训练，都起着关键的作用。因此必须十分重视有理数的四则运算教学。要抓好知识技能与教法的衔接，小学数学在知识上可接受性、直观性、常识性较强，科学性、抽象性、严密性较弱；数字计算多，字母运算少，因此要帮助和指导学生由常识性向科学性、直观性向抽象性的观点方法的过渡与转化。同时还要探讨科学的训练方法，要做到基础练习要做够，要活用、巧用课本例题和习题。要按照层次性原则安排训练阶段，要安照转化性原则设计题组，发挥练习在知识转化为能力中的桥梁作用。不断地让学生自我反思，并且及时与同学进行交流，以探讨思维规律。
（2）采取多种形式，加强运算能力各个组成部分的训练
A、要重视运算的最初定向。全面分析题目中显见的和隐含的一切条件，着力审清题目的结构性，确定好运算方向。
例如：已知抛物线经过A（-1，1）、B（3，0）、C（-2，0）。求抛物线的表达式。
分析：本题的基本结构是已知抛物线上三个点的坐标、求抛物线的方程。一般可用代入法。但进一步分析会发现，已知的三点中，有两个点在X轴上。题目中隐含的这种特殊性，说明ax2+bx+c=0(a≠0)有X1=3，X2=-2两个根。于是导至解法的特殊性，可用y=(x-x1)(x-x2)方法求表达式，只须辅之代入法求a就行了。同时在最初的定向中，要注意结构形式类同题目的条件变化，而引起的运算方法的变化。
B、注意运算方法的选择，重视运算合理性训练。一个具体的运算问题，由于运用的概念、公式、定理不同，往往簡繁程度各异。
例如：已知函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，试确定f(1)、f(2)、f(4)的大小顺序。
分析：已知条件“函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)”，实质上是二次函数的对称性的数学表示，且对称轴0，于是利用f(x)在［2，+∞］上单调递增的性质，很快得到答案。（解略）
这里洞察出已知条件是对称性的数学表示，辩明式子结构把f(2+t)=f(2-t)看作是f(t+2)=f(-t+2)的等价变式，是灵活运用偶函数概念进行运算的体现。
C、重视运算灵活性的训练：要重视一题多解，训练学生多侧面、多角度、多方位观察思考问题的习惯，通过运算方法的多样性，训练学生心理运算的灵活性，以增强转换运算方法的能力。同时还要重视培养学生自如地进行正向和逆向思维，灵活地正用和逆用公式进行运算的能力。
如：计算（ x+1）2-（ x-1）2
分析：本题按常规思路可以直接用多项式乘法法则先去掉括号，再做减法运算，但若把 x+1与 x-1看成整体，可以逆用平方差公式使计算简便。
解：（ x+1）2-（x -1）2
=［（x+1）+（x-1）］·［（x+1）-（x-1）］
=2x·2=4x
总之，运算练习是提高学生运算能力的有效途径。教师要不懈地引导学生勤于动脑、动手，做好基本训练，这是培养学生运算能力的必要条件。