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复习课，在小学数学教学中占有很大的比例，它能巩固知识、强化技能，还能帮助学生对已学的知识进行有效梳理，形成体系，做到温故而知新。但是在教学中，复习课并不讨人喜欢。究其原因，是因为教师在复习时把大量的时间花在了单调、枯燥的做题上，花在了题目的讲解上，把复习与考试“捆绑”在一起，缺少了复习课所应具有的生命力。
《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。在独立思考、主动探索、合作交流中，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”它明确提出在关注数学知识与技能的过程中更要关注数学思想与方法，因为它可以让学生走得更宽广、更扎实。因此，复习课要“面向未来”，有知识增量，有技能提升，有思维深度，使其充满活力。下面以人教版数学三年级上册《长方形、正方形》期末复习为例，谈谈如何让复习课具有生命力。
【教学设想】
《长方形、正方形》这一单元安排了5道例题，分别是认识四边形，知道长方形、正方形的特征，了解周长的意义，长方形、正方形的周长计算和用长方形、正方形的周长解决问题，这五个知识点环环相扣、层层递进。笔者与实验稿教材进行了比较，发现例5是新增的教学内容，它需要综合运用长方形和正方形的特征及周长来解决问题。总复习时安排了一题：“长6厘米，宽3厘米的两个长方形拼成一个长方形或正方形后的周长是多少？”这与例题5紧密配套，需要学生在动手操作中丰富体验，发展空间观念。因此，笔者觉得期末复习时可以抓住这一个问题进行拓展，通过画一画、拼一拼得出新的图形，找到相关数据，计算出周长。引导学生观察比较，发现拼成的新图形的周长并不是单个长方形周长的两倍，而且由于拼法不同，周长也就不同。在探究的过程中发现拼成后的图形少了两条宽或两条长，以此感受图形之间的联系，发展学生的空间观念。同时，逐步把这一现象与规律和教材中的例题进行联系与比较，适当延伸到其他数学知识点中去，让学生体验到复习课的魅力与生命力。
【教学实践】
一、自主练习，梳理单元知识的要点
数学复习课，首先要对本单元的知识进行一个有效梳理，让学生在大脑中建构知识脉络。课始，笔者出示一张长6cm、宽4cm的长方形和边长为3cm的正方形白纸，设问：当看到这样的长方形和正方形时你能想到什么知识？通过学生的回答梳理出该单元的知识框架（如图1）。接着让学生独立计算出两个图形的周长分别是多少，并说说为什么这样计算。
由两个基本的图形入手，这样既简洁又快速，不仅使学生系统回顾了所学知识，较好地把握了本单元所涵盖的各个知识点，还帮助学生建立了思维导图，起到了事半功倍的效果。
二、比较辨析，感知拼组图形周长变化的现象
在完成第一个环节后，笔者继续提供同样的一张正方形纸，提问：如果把这两张正方形白纸拼成一个长方形有几种拼法？它们的周长又是多少？学生根据经验画出草图（图2），明确不管是竖着拼还是横着拼，它们拼成的长方形的周长是一样的，均为（6 3）×2=18（cm）。此时，笔者质疑：为什么原来两个图形的周长和是24cm，拼成后的周长是18cm？引导学生发现周长发生变化是因为减少了两条拼在一起的公共边，就是2条3cm的边长，因此，也可以用3×4×2-3×2=18cm进行计算。
随后，笔者再提供一张长6cm、宽4cm的长方形纸，让学生猜想如果把这张长方形纸与刚才那张同样的长方形纸拼在一起，拼成后的大长方形的周长与原来两个独立的长方形的周长之和比较，会有怎样的变化？学生根据已有的经验和学具摆放很快猜出大长方形的周长会比原来两个独立长方形周长的和少8cm或12cm。其理由是：减少了两条宽也就是4×2=8（cm）（图3）；减少了两条长6×2=12（cm）（图4）。为检验猜想是否正确，教师组织学生进行计算验证：原长方形周长的和是：（6 4）×2×2=40（cm），把宽拼在一起（图3）的大长方形的周长是（6 6 4）×2=32（cm），即减少了40-32=8（cm）；把长拼在一起（图4）的大长方形的周长是：（6 4 4）×2=28（cm），即减少了40-28=12（cm）。
通过验证，学生们发现自己的猜想是正确的。此时，笔者设疑：是否必须采用计算的方法来验证拼成后的长方形的周长比两个长方形的周长的和少多少厘米？通过讨论、交流，进一步明确两个图形拼成一个新图形后只要知道减少拼在一起公共边的长度，就知道了拼成后图形的周长减少了多少。在此基础上一并呈现拼组后的3组图形，组织学生观察他们的共同点：均有一条公共边，减少拼在一起的两条边。
上述两个环节的学习，一方面让学生在拼的过程中回忆了长方形、正方形等图形拼成新图形后的周长计算方法，同时也理解并掌握了求拼成后新图形周长的另一种计算方法，即：两个图形的周长和减去公共边×2的长度；另一方面也知道了拼成后的新图形的周长与原来独立图形的周长和的关系，逐步体会到了其中的变化规律。
三、分析推理，掌握拼组图形周长变化的本质
通过刚才的分析与验证，学生对拼组后图形的周长变化已有一定的感知。于是，笔者出示了以下一组图形（图5），要求是这5个图形都由一些同样的长方形或者正方形拼成，拼成后新图形的周长与原来独立的几个图形的周长总和相比少了多少？通过分析，学生很快知道每一个图形分别少了多少。接着，笔者质疑第（1）、（2）两个图形的周长情况，学生根据这两个图形均由3个正方形拼成，而且均少了4条边长，发现这两个图形虽然形状不一样，但周长是一样的。
生1：现在我知道了小军这样拼在一起的图形少了30条边长，而小军拼成后的图形少了44条边长，小华少了48条边长，所以小华拼成的图形周长最短。 生2：我发现只有拼成接近于正方形的图形，它的周长就越短，而长与宽的差越大，它的周长就越大。
生3：我发现，还是直接算来得比较快。
师：刚才有同学说拼成的长与宽越接近，周长越短；而长与宽的差越大，周长越大。这是为什么呢？
学生经过思考，认为其中的道理还是减少的边的多少决定了拼成后图形周长的长短。
师：刚才有同学说，还是直接算来得快。在这个题中有这样一个现象，但利用边减少的条数却能说明拼成的不同图形有不同周长的原因，它给我们提供了一种新思路。
上述环节中两个问题的研究是一个逐步深入的过程，第一题明确了图形拼组后减少了什么，减少了多少？第二题是在第一题的基础上进一步深入，通过分析边的减少来分析拼组后的图形的周长是否相等。有了上述环节的思考，让学生回头来看曾经研究过的课本中的例题，从而进一步明确了图形拼组后周长的变化情况与减少的边的多少和减少什么边有关，解题思路进一步拓展，在复习的基础上提升了学习能力。
四、延伸拓展，彰显数学知识的魅力
从两个基本图形的拼组到多个不同图形的不同拼法，学生对拼组图形的周长有了新的认识。此时，学生的思维方式有了一定的拓展，思维能力有了一定的提升，也为思维向更高层次发展奠定了基础。
生1：我们小组发现在长方形A、B、C、D的拼组过程中，图形A少了一条长和一条宽，图形B、C、D同样少了一条长和一条宽。这样少的边刚好是大长方形的周长，也就是18÷2=9（cm）。
生2：我们小组赞同他们的方法，可以用画图的方法更加直观地知道，老师我可以上来画图吗？（可以）……
随后就出现如图9的图形。通过这个小组所画图形的呈现，学生直观地发现：外面一圈的长度与拼在一起的公共边的总长度是一样的，就是把四个长方形的周长之和18cm平均分成了2份，即9cm。接着教师追问，解决这个题目关键是看什么？到了这里，学生的回答自然水到渠成，就是要运用“减少公共边的条数、长度”的知识点。
课堂上，不仅要让学生掌握并运用已学的知识，还应让学生体验学习此知识的价值，为以后的学习打下基础。接着，笔者出示了以下问题：
（1）有3个正方体（图10），每个正方体有6个面，如果按图11拼在一起，要减少几个面？
第一题让学生感知不仅长方形、正方形可以拼组，同样的长方体、正方体也可以拼组，它的拼组与五年级下册长方体表面积的变化息息相关；第二题让学生感知到图形的拼组还可以与生活中的实际问题相结合，就餐人数的变化与桌子拼组的变化有密切联系。这两道题的呈现，让学生体会到这节课所学的知识对以后更深入地学习数学知识是有用的，体现了数学知识的生命力。
【教学反思】
数学家华罗庚主张读书时要先把书“从薄读到厚”，然后再“从厚读到薄”。这对我们的数学教学，特别是复习教学指明了方向。复习时从梳理知识到知识构建，再到延伸拓展与方法提升，无不体现着这样的读书理念。笔者认为：要让复习课能吸引学生，不仅要创设情境使学生回忆知识，更应创设情境设计一条思维训练的主线。通过情境的发展和思路的拓展，使并不紧密的题目变成“一条线”，使复习课在熟练掌握和应用数学知识与技能的基础上走向更高层次的抽象与概括。
教学中，当教材中出现能够发展学生数学思维、拓宽学生视野的素材时，作为数学教师应有敏锐的嗅觉，及时捕捉住这些有价值的学习素材。在《长方形、正方形》的复习中，笔者以例5和总复习的练习题为引子，把长方形、正方形等图形拼组的知识点进行了拓展。从基本图形的特点、周长计算，到图形的拼组，再到图形拼组后周长的变化规律，最后到运用这一变化规律解决实际问题，紧紧抓住了思维发展的主线，构建从整体到部分再到整体的思路，使学生的思维品质不断向纵深发展，对学生整体性思维能力的培养起到推动作用。
郑毓信教授认为：数学基础知识不求全，但求联。所以，复习课不仅要做到“理”：对所学的知识进行系统整理，使之“竖成线”“横成片”，达到提纲挈领的目的；而且要做到“联”：理清知识的来龙去脉，前因后果；更应做到“活”：让题目有思维含量，让学生充满活力，让课堂具有生命力。
《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。在独立思考、主动探索、合作交流中，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”它明确提出在关注数学知识与技能的过程中更要关注数学思想与方法，因为它可以让学生走得更宽广、更扎实。因此，复习课要“面向未来”，有知识增量，有技能提升，有思维深度，使其充满活力。下面以人教版数学三年级上册《长方形、正方形》期末复习为例，谈谈如何让复习课具有生命力。
【教学设想】
《长方形、正方形》这一单元安排了5道例题，分别是认识四边形，知道长方形、正方形的特征，了解周长的意义，长方形、正方形的周长计算和用长方形、正方形的周长解决问题，这五个知识点环环相扣、层层递进。笔者与实验稿教材进行了比较，发现例5是新增的教学内容，它需要综合运用长方形和正方形的特征及周长来解决问题。总复习时安排了一题：“长6厘米，宽3厘米的两个长方形拼成一个长方形或正方形后的周长是多少？”这与例题5紧密配套，需要学生在动手操作中丰富体验，发展空间观念。因此，笔者觉得期末复习时可以抓住这一个问题进行拓展，通过画一画、拼一拼得出新的图形，找到相关数据，计算出周长。引导学生观察比较，发现拼成的新图形的周长并不是单个长方形周长的两倍，而且由于拼法不同，周长也就不同。在探究的过程中发现拼成后的图形少了两条宽或两条长，以此感受图形之间的联系，发展学生的空间观念。同时，逐步把这一现象与规律和教材中的例题进行联系与比较，适当延伸到其他数学知识点中去，让学生体验到复习课的魅力与生命力。
【教学实践】
一、自主练习，梳理单元知识的要点
数学复习课，首先要对本单元的知识进行一个有效梳理，让学生在大脑中建构知识脉络。课始，笔者出示一张长6cm、宽4cm的长方形和边长为3cm的正方形白纸，设问：当看到这样的长方形和正方形时你能想到什么知识？通过学生的回答梳理出该单元的知识框架（如图1）。接着让学生独立计算出两个图形的周长分别是多少，并说说为什么这样计算。
由两个基本的图形入手，这样既简洁又快速，不仅使学生系统回顾了所学知识，较好地把握了本单元所涵盖的各个知识点，还帮助学生建立了思维导图，起到了事半功倍的效果。
二、比较辨析，感知拼组图形周长变化的现象
在完成第一个环节后，笔者继续提供同样的一张正方形纸，提问：如果把这两张正方形白纸拼成一个长方形有几种拼法？它们的周长又是多少？学生根据经验画出草图（图2），明确不管是竖着拼还是横着拼，它们拼成的长方形的周长是一样的，均为（6 3）×2=18（cm）。此时，笔者质疑：为什么原来两个图形的周长和是24cm，拼成后的周长是18cm？引导学生发现周长发生变化是因为减少了两条拼在一起的公共边，就是2条3cm的边长，因此，也可以用3×4×2-3×2=18cm进行计算。
随后，笔者再提供一张长6cm、宽4cm的长方形纸，让学生猜想如果把这张长方形纸与刚才那张同样的长方形纸拼在一起，拼成后的大长方形的周长与原来两个独立的长方形的周长之和比较，会有怎样的变化？学生根据已有的经验和学具摆放很快猜出大长方形的周长会比原来两个独立长方形周长的和少8cm或12cm。其理由是：减少了两条宽也就是4×2=8（cm）（图3）；减少了两条长6×2=12（cm）（图4）。为检验猜想是否正确，教师组织学生进行计算验证：原长方形周长的和是：（6 4）×2×2=40（cm），把宽拼在一起（图3）的大长方形的周长是（6 6 4）×2=32（cm），即减少了40-32=8（cm）；把长拼在一起（图4）的大长方形的周长是：（6 4 4）×2=28（cm），即减少了40-28=12（cm）。
通过验证，学生们发现自己的猜想是正确的。此时，笔者设疑：是否必须采用计算的方法来验证拼成后的长方形的周长比两个长方形的周长的和少多少厘米？通过讨论、交流，进一步明确两个图形拼成一个新图形后只要知道减少拼在一起公共边的长度，就知道了拼成后图形的周长减少了多少。在此基础上一并呈现拼组后的3组图形，组织学生观察他们的共同点：均有一条公共边，减少拼在一起的两条边。
上述两个环节的学习，一方面让学生在拼的过程中回忆了长方形、正方形等图形拼成新图形后的周长计算方法，同时也理解并掌握了求拼成后新图形周长的另一种计算方法，即：两个图形的周长和减去公共边×2的长度；另一方面也知道了拼成后的新图形的周长与原来独立图形的周长和的关系，逐步体会到了其中的变化规律。
三、分析推理，掌握拼组图形周长变化的本质
通过刚才的分析与验证，学生对拼组后图形的周长变化已有一定的感知。于是，笔者出示了以下一组图形（图5），要求是这5个图形都由一些同样的长方形或者正方形拼成，拼成后新图形的周长与原来独立的几个图形的周长总和相比少了多少？通过分析，学生很快知道每一个图形分别少了多少。接着，笔者质疑第（1）、（2）两个图形的周长情况，学生根据这两个图形均由3个正方形拼成，而且均少了4条边长，发现这两个图形虽然形状不一样，但周长是一样的。
生1：现在我知道了小军这样拼在一起的图形少了30条边长，而小军拼成后的图形少了44条边长，小华少了48条边长，所以小华拼成的图形周长最短。 生2：我发现只有拼成接近于正方形的图形，它的周长就越短，而长与宽的差越大，它的周长就越大。
生3：我发现，还是直接算来得比较快。
师：刚才有同学说拼成的长与宽越接近，周长越短；而长与宽的差越大，周长越大。这是为什么呢？
学生经过思考，认为其中的道理还是减少的边的多少决定了拼成后图形周长的长短。
师：刚才有同学说，还是直接算来得快。在这个题中有这样一个现象，但利用边减少的条数却能说明拼成的不同图形有不同周长的原因，它给我们提供了一种新思路。
上述环节中两个问题的研究是一个逐步深入的过程，第一题明确了图形拼组后减少了什么，减少了多少？第二题是在第一题的基础上进一步深入，通过分析边的减少来分析拼组后的图形的周长是否相等。有了上述环节的思考，让学生回头来看曾经研究过的课本中的例题，从而进一步明确了图形拼组后周长的变化情况与减少的边的多少和减少什么边有关，解题思路进一步拓展，在复习的基础上提升了学习能力。
四、延伸拓展，彰显数学知识的魅力
从两个基本图形的拼组到多个不同图形的不同拼法，学生对拼组图形的周长有了新的认识。此时，学生的思维方式有了一定的拓展，思维能力有了一定的提升，也为思维向更高层次发展奠定了基础。
生1：我们小组发现在长方形A、B、C、D的拼组过程中，图形A少了一条长和一条宽，图形B、C、D同样少了一条长和一条宽。这样少的边刚好是大长方形的周长，也就是18÷2=9（cm）。
生2：我们小组赞同他们的方法，可以用画图的方法更加直观地知道，老师我可以上来画图吗？（可以）……
随后就出现如图9的图形。通过这个小组所画图形的呈现，学生直观地发现：外面一圈的长度与拼在一起的公共边的总长度是一样的，就是把四个长方形的周长之和18cm平均分成了2份，即9cm。接着教师追问，解决这个题目关键是看什么？到了这里，学生的回答自然水到渠成，就是要运用“减少公共边的条数、长度”的知识点。
课堂上，不仅要让学生掌握并运用已学的知识，还应让学生体验学习此知识的价值，为以后的学习打下基础。接着，笔者出示了以下问题：
（1）有3个正方体（图10），每个正方体有6个面，如果按图11拼在一起，要减少几个面？
第一题让学生感知不仅长方形、正方形可以拼组，同样的长方体、正方体也可以拼组，它的拼组与五年级下册长方体表面积的变化息息相关；第二题让学生感知到图形的拼组还可以与生活中的实际问题相结合，就餐人数的变化与桌子拼组的变化有密切联系。这两道题的呈现，让学生体会到这节课所学的知识对以后更深入地学习数学知识是有用的，体现了数学知识的生命力。
【教学反思】
数学家华罗庚主张读书时要先把书“从薄读到厚”，然后再“从厚读到薄”。这对我们的数学教学，特别是复习教学指明了方向。复习时从梳理知识到知识构建，再到延伸拓展与方法提升，无不体现着这样的读书理念。笔者认为：要让复习课能吸引学生，不仅要创设情境使学生回忆知识，更应创设情境设计一条思维训练的主线。通过情境的发展和思路的拓展，使并不紧密的题目变成“一条线”，使复习课在熟练掌握和应用数学知识与技能的基础上走向更高层次的抽象与概括。
教学中，当教材中出现能够发展学生数学思维、拓宽学生视野的素材时，作为数学教师应有敏锐的嗅觉，及时捕捉住这些有价值的学习素材。在《长方形、正方形》的复习中，笔者以例5和总复习的练习题为引子，把长方形、正方形等图形拼组的知识点进行了拓展。从基本图形的特点、周长计算，到图形的拼组，再到图形拼组后周长的变化规律，最后到运用这一变化规律解决实际问题，紧紧抓住了思维发展的主线，构建从整体到部分再到整体的思路，使学生的思维品质不断向纵深发展，对学生整体性思维能力的培养起到推动作用。
郑毓信教授认为：数学基础知识不求全，但求联。所以，复习课不仅要做到“理”：对所学的知识进行系统整理，使之“竖成线”“横成片”，达到提纲挈领的目的；而且要做到“联”：理清知识的来龙去脉，前因后果；更应做到“活”：让题目有思维含量，让学生充满活力，让课堂具有生命力。