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译者按 怀尔德（Raymond L.Wilder， 1896.11.3 - 1982.7.7），美国著名拓扑学家，曾任美国数学会（AMS）主席（1955-1956）和美国数学协会（MAA）主席（1965 -1966）。受其好友也是他女儿的导师、著名人类学家怀特（Leslie A. White）的影响，逐步产生了对哲学、人类学的兴趣。从20世纪50年代起，在长达三十年的时间里，他一直致力于把数学描绘成一个进化的文化体系。本文是作者应邀在1950年召开的国际数学家大会上所作的大会报告。在这篇报告中，怀尔德提出了数学一部分是文化的产物的观点。他试图把社会科学，特别是人类学、社会学和历史学的方法应用到数学上。数学知识被视为一种集体财富，也即本质上是一种公共知识，怀尔德的文化进路的核心正是这种公共知识的增长和交流。怀尔德关注的是把数学描绘成遵循文化进化的普遍原理，更强调文化环境对数学的更一般的影响，而未涉及数学进化的内部因素。除发表数学文化的一系列论文和演讲外，怀尔德还撰写了“数学概念的进化：初步的研究”（The Evolution of MathematicalConcepts： an Elementary Study。Wiley，New York，1968）和“作为文化体系的数学”（Mathematics as以Cultural System，Pergamon，Oxford，1981）两部专著。在这些后续著作中，怀尔德进一步完善了他的数学文化观，并且作了更加系统的阐述。他提出数学是由“遗传力量”和“环境力量”共同作用而处于不断发展和变化之中的文化系统。怀尔德的数学文化思想被大部分致力于数学基础研究的哲学家所忽视。只有当哲学家们对数学基础主义产生怀疑并转向数学拟经验主义之后，他们才开始认识到怀尔德思想的哲学意义。一旦我们致力于数学实践，我们就会承认：如同其他任何复杂的人类活动一样，数学是文化的产物。数学实践，易受到内部和外部的压力，是不断进化的。肖运鸿译。
我想，在世纪过半之际召开的国际数学家大会上，花点时间从整体上考察一下数学应该是合适的。在各种会议和专题讨论会上发表的讲话和论文，一般关注的是数学的特殊领域或分支。本篇报告的目的，可谓跳出数学的圈子以期获得一个新视角。从抽象的哲学角度，对数学已经有了大量的研究，数学也从这些研究中受益——尽管数学家们对这些哲学的看法是比较持怀疑态度的。越来越多的数学家正致力于数学基础的研究。其中许多是男性数学家，他们因为对数学的贡献而赢得敬重。其中一些人在不同程度上把自己的理论当作教条来看待，而彼此对立的理论支持者们之间有时又会发生激烈的争论。这不免使人怀疑，难道没有一些更高明的观点，让人们更客观公正地审视此类问题。
如今，普遍认为人类正处于糟糕的状态，因为他把过多的精力投入到专业技能上，而对自身的研究却少得可怜。在文明的早期，人类研究了天文学和其它自然科学，连同这些学科隐含的数学在内。但是，对于诸如解剖学这样的学科，人类却不易保证客观。就具有隐私性的个体而言，人自身似乎被认为是不可触摸的。事实上，仅在我们这个时代，诸如心理学那样更个人化的学科得到了适当的尊重。但是，在人类整体行为的研究方面我们却没什么进步。显然可以归于以下原因：
（1）无法把群体和个体的行为区分开来；
（2）尽管普通人勉强愿意被外科医生解剖，或由精神病医生进行分析，但是诸如国家、教会、俱乐部等这些决定其价值观的群体组织却仍然被认为是不可触摸的，这是事实。
幸运的是，正如解剖学家最终可以接触死刑犯的尸体，人类学家也可以接触澳大利亚、太平洋岛、非洲和美国等地的原始部落。在过去的50年间，人类学家在人类群体行为的研究方面有了巨大的进步，因为他们使用了值得划入自然科学的无感情色彩的、客观的方法，而不是诸如历史学这样的社会研究法。也许，文化概念的发展以及文化力的研究可列为人类精神的最高成就之一。这个概念尽管受到非议，但是近几年来还是得到了长足的应用。不仅心理学家、精神病专家和社会学家应用它，而且那些意在加强海外势力的政府也已认可。各种各样的人类苦难都是起源于对文化的忽视。例如，殖民地人民的遭遇以及美洲印第安人受到的控制。
现在我提出文化这个概念，并不打算把它作为解决所有数学问题的药方。但我相信，只有承认数学的文化基础，才能对它的本质有更好的理解。此外，还可以对各种问题特别是有关数学基础的问题提供启示。我并不是说它可以解决这些问题，而是说它不仅显示出可以期待有多少种答案，而且能够指出获得这些答案的途径。此外，我们业已相信并且将之归于某种模糊的“直觉”的许多事情，在文化的基础上获得了真正的合法性。
为完整起见，首先我将大致解释一下这个概念。显然，它与以“K”来拼读的文化（Culture），或者与来自顶尖大学的学位，或者上流社会的内涵无关。文化就是由一群人，如原始部落或北美人，所具有的习惯、礼仪、信仰、用具等等可称之为文化元素的集合。一般而言，它不是固定不变的，而是因时而变，形成所谓的“文化流”。它代代相传，形成一个外表充满活力的传统体系。在控制力方面，它比希特勒之于纳粹德国更加专断；事实上，在一些原始部落，每一种行为，甚至于诸如日常的穿衣吃饭，都有规定的仪式。许多人类学家将文化视为一个有其自身发展规律的超级有机体。实际上，大部分人类学家似乎都把文化本身视为一个事物，而不必参照拥有它的群体或个体（除了某些目的之外）。
作为文明人，我们很少思考我们在多大程度上被文化所控制一一我们把自己的许多行为都视为是自然的。但是，如果你向一个普通的美国男人建议他应该戴耳环，那么当你挨打后从地上爬起来的时候，就应该考虑一下刚刚被挨打的原因。难道是因为他在以前的某个日子就已决定了，每当有人建议他戴耳环时他就要向那人的鼻子挥以一拳？当然不是。那是因为美国的文化使然。因此，他总是说，他所做的是一件很自然的事情。然而，在有些社群里，诸如纳瓦霍人、普伟布洛和亚马逊部落，男人戴耳环却是件自然的事情。实际上，我们所谓的人之天性只不过是这样一些文化特性的集合。纳瓦霍人的人之天性无疑与霍屯督人不同。 作为数学家，我们共同享有所谓“数学的”那部分文化。我们受之影响，反之我们也影响它。作为个体，我们吸收文化的一部分。通过老师、杂志、书籍、诸如今天这样的会议以及我们的同事，我们与文化接触。通过对所吸收的那部分进行综合，我们对文化的发展作出自己的贡献。
如今，把数学看作文化元素并不时髦。人类学家已经这样做。但是，由于他们的数学知识一般而言非常有限，他们通常所做的只是对原始文化中所发现的算术种类进行零散的评注。然而，有一个例外。三年前，有一个叫怀特（L.A.White）的人类学家发表了一篇题为“数学现实之轨迹”的文章。它受到了各种数学家和哲学家表述的有关数学本质的表面上似乎相互矛盾的思想的启发。于是，哈代（G.H.Hardy）提出了一个信条：“数学现实在我们外部，我们的作用是发现它或观察它，我们所证明的并被我们夸张为我们的创造的定理仅仅是我们观察的记录。”另一方面，布里奇曼（P.W. Bridgman）提出了一种观点：“数学是人类的发明，这一点是最纯粹的真实，是稍微观察一下就能发现的事实。”这些陈述尽管表面上互不兼容，但当它们得到合适的解释时就不是这样了。就数学是我们文化的一部分而论，正如哈代（Hardy）所言，它“在我们外部。”就文化本不存在，它是人类思维的产物而论，正如布里奇曼（P.W. Bridgman）所言，数学是“人类的发明”。
作为一门知识体系，数学不是我知、你知或任何个人所知道的东西：它是我们的文化、我们集体财富的一部分。随着时间的流逝，我们可能会把我们个人对它的一些贡献遗忘掉。尽管我们会健忘，但这些贡献仍将保留在文化流之中。正如许多其它文化元素的情形一样，自从牙牙学语起我们就接受数学的教育，并从一开始给留下了我们所称的“绝对真理”的印象。其真实性的意义和类别或许就像原始人对待神灵和仪式那样。例如，埃尔米特（Hermite）似乎就是这样认为的。根据阿达玛（ Hadamard）的观点，埃尔米特说：“我们是数学的仆人而不是主人；”在致柯尼西贝格（Konigsberger）的一封信中又说道：“这些分析的概念不依赖于我们而存在，”“它们构成一个整体，只向我们显露了一部分，虽然毫无疑问它与我们通过感觉所认识的其它事物的整体有着神秘的联系。”显然，埃尔米特意识到到了他为之作出诸多贡献的文化流的强有力的影响。
在其名著“西方的没落”（Der Untergang des Abendlandes）中，斯宾格勒（O. Spengler）以很长的篇幅讨论了数学的本质及其在他的文化有机论中的重要性。受该著的影响，凯塞尔（C.J.Keyser）发表了有关数学作为文化线索的一些观点，包括对这个论题的解释和辩护：“在任何主流文化中，其数学的类型是文化整体不同特征的线索或钥匙。”数学是文化的一部分，它受到其赖于创立的文化的影响。从这点来看，我们可以期待发现二者之间的关系。然而，关于它为文化提供了一把多好的钥匙，我不发表意见；其实，它是人类学家回答的问题。因为文化支配着它的元素，特别地支配着数学，所以，对数学家来说，从这种观点去考察它们的关系似乎会更有效。
让我们花几分钟时间考察一下数学史。我承认我对此知之甚少，因为我不是历史学家。然而，我总是想到，历史学家在撰写数学史的时候，他会时常面临该包括哪些素材的问题。为了作出一个更清楚的案例，让我们假设有一个假想的人A开始撰写一部综合史，希望把所有可得到的数学史素材全都包括进去。显然，他将不得不采用一些素材而抛弃另一些素材。显而易见，他的选择标准必须依赖于哪些是构成数学的知识。如果我们所指的是给数学下定义，当然他的任务是毫无希望的。虽然已经有了很多定义，但是没有一个被接受。从数量上来看，可以期望，每一个有自尊心的数学家都会给后人留下一个数学的定义。因此，我猜想，我们假想的数学家A将不仅受到他的文化中称之为数学的影响，这些数学存在于现存的历史（以前撰写的）和被称之为“数学的”著作中；而且也受到由所谓的数学家们发表的那类东西的影响。于是，他将承认我们业已表述过的，数学是他的文化的某个部分，并由此受到影响。
例如，假设A是一个生活在1200年（500年或1500年也一样）的中国历史学家。他将收录有关筹算和解方程的大量素材；但是象历史上希腊人所理解的那样的几何学却一片空白，仅仅是因为它没有融人到他的文化中的数学里去。另一方面，如果A是一个生活在公元200年的希腊人，他的数学史就会有丰富的几何内容，但是关于代数或者甚至有关中国人使用的筹算的内容却很少。但如果A是一个当代人，他将收录几何与代数，因为它们是我们称为数学的一部分。然而，我想知道他对逻辑学会怎么办呢？
尽管希腊人依赖于逻辑演绎，尽管诸如莱布尼茨（Leibniz）和帕斯卡（Pascal）这样的数学家为其贡献了很多时间，这是事实，但是这门学科在数学史中并没有什么地位。作为一个尝试，我拜读了本世纪两位很著名的历史学家博尔（Ball）和卡约黎（Cajori）的著作，它们都写于1900年前不久。在博尔的著作第一版（1888）的索引中，根本没有提到“逻辑”；但在第四版（1908）中，在“符号逻辑与数理逻辑”条目下有一条单独的引文，经证实这是关于乔治·布尔（ GeorgeBoole）的一个偶然注记的引证，其大意是他“是符号逻辑或数理逻辑的创始人之一”。于是符号逻辑被勉强挤在线下是因为布尔是一个数学家！在卡约黎的著作第一版（1893）的索引中，在“逻辑”条目下有四个引文，都是文中的偶然注记。在第二版（1919）中，这些引文没有再出现，在“逻辑”条目下的索引只有三个引文（其中两个也是“符号逻辑”条目下仅有的引文），它们也仅在文中的简短注记中出现。然而，通过对正文的检查发现，在“数理逻辑”的标题下差不多有四页的内容，尽管这个学科在索引中没有任何引文，在“逻辑”和“符号逻辑”条目下也没有被引。（尽管在索引中没有任何引文，但是到了1919年，这个学科的重要性似乎足以使之进入数学史的素材！） 我怀疑在关于过去50年的数学史中，类似的情形是否很普遍。我所熟悉的关于这一时期的唯一一部这样的数学史，是贝尔（Bell）的“数学的进化”。翻到该著的索引，我发现关于“逻辑”的引文多得我不想去数它们。特别地，关于他所称的“数理逻辑”的进化，贝尔至少花了25页的篇幅。是否有这样一种可能，这门学科在1900年尽管有了皮亚诺（Peano）及其同事的开创性工作，但还没有被视为我们文化的一部分，而现在其地位已如此之高以致任何一个关于数学的公正定义都必须扩展到足以把它纳入进去。
虽然数学史倾向于传记体的方式，但是现在一般也会注意到文化力的影响。例如，博尔在关于文艺复兴时期的数学这一章的开头，就指出了印刷机的引入带来的影响。在最近出版的的历史著作，即在已经提及的贝尔的著作和斯特洛依克（Struik）的两卷本的优秀小册子中，证据尤其明显。例如，斯特洛依克在序言中就表达了这样的遗憾：由于受篇幅所限，没有充分涉及数学在某个时期达到成熟或者被扼杀时的文化与社会的整体环境。他继续说道：“数学受到了农业、商业和制造业，军事、工程与哲学，物理学与天文学的影响。（在本书中），只指出了流体力学对函数论的影响，康德哲学和测量对几何学的影响，电磁学对微分方程的影响，笛卡尔哲学对力学的影响，经院哲学对微积分的影响。但是，只有把所有这些决定因素都考虑进去，才能理解数学这门课程及其内容。”在该书第三章，斯特洛依克对希腊数学的兴起提出了富有启发性的解释，他把希腊数学与当时的文化环境联系起来。我希望将来的数学史同样能更多关注作为文化元素的数学，更加强调它与根植其中的文化二者之间的联系。
在讨论一般的文化概念时，我尚未提到文化变迁的两个主要过程，即进化与传播。所谓传播，是指由于人类群体的某种接触而导致的一种文化特征从一种文化向另一种文化的转移。例如，随着诺曼底人（对英格兰）的军事征服，法国人的语言和习俗被传播到盎格鲁·撒克逊人的文化中。至于我们所称的文化进步有多少是由进化所致，有多少是由传播所致，或有多少是二者结合所致，通常是难以确定的，因为这两个过程高度融合在一起。例如，考察一下计数法。人类学家称之为一种普遍的特征一而我在与数学家交谈的时候，宁愿称之为文化不变量一在每一种文化中至少可以找到它的初级形态。数基可能是10，12，20，25，60，所有这些都很普遍，显然是由其它（变量）文化元素所决定的——但是，正如直觉主义者所言，计数法本质上是一个不变量。如果我们考察更先进的文化，某个时候就出现了零的概念。正如人类学家克罗伯（A.L.Kroeber）所指出的，零的概念至少产生于三种人类文明，如：新巴比伦人（使用60进制）、玛雅人（使用20进制）、印度人（十进制起源于他们）。在他的人类学中，他称（零的概念的产生）为“文明的里程碑”。极端传播论者试图把它们联系起来，但尚未成功。待他们成功之时，我们就可以推测，在任何的文化中终究都可以产生出零的概念。
在这里，中国与日本的数学是令人感兴趣的。显然，正如三上义夫（Mikami）和其它人所指出的，中国人从印度人那里学到了零的概念。至少早在公元1世纪，他们之间就有接触，这是通过传播而引入的一个例子。但是，即使没有这样的接触，零也可能在中国数学中产生出来，主要是因为他们已经使用了算筹。从另外一个立场来看，中国数学也是令人感兴趣的。其发展似乎更多是由其在自身文化的内部的进化而导致的，而传播的影响甚微。数世纪以来，它是沿着狭隘的算术和代数方向发展的，而没有如希腊人所发展的几何学的迹象。17和18世纪的日本数学家可以欣喜地求解高达3000或4000次的方程，那时中国数学已经通过传播过程进入日本。这或许为那些认为不从传播中受益的文化终将停滞不前的人提供了某种证据。有人会想：假如巴比伦人的零和位值制方法被融入到希腊数学中，那将发生什么一难道这意味着希腊数学将会转向代数？它被传人中国当然没有产生什么效果，只是对已有的计算倾向稍有推动。
普遍承认，希腊数学不仅是产生小亚细亚地区文化的进化和传播的自然产物，而且是与希腊文化的其它元素相伴出现的。希腊文化不仅有助于在希腊产生的那种数学，而且也可能阻碍了希腊数学与巴比伦人的计数法的融合。因为正如某些人认为的那样，即使某些希腊学者知道了巴比伦人的计数法，他们也并不清楚它的价值。
我们熟悉印度一阿拉伯数学文化的传播方式，它通过非洲到达西班牙，再进入西欧文化。经历了停滞不前的时代之后，解析几何、微积分诞生了，数学的洪流滚滚而来。这一时期数学文化的发展是一个令人着迷的课题，有待文化史学家去研究。对大量“巨人”突然登场所作的简单化的解释，事实上已被所有人类学家所抛弃。造就“伟人”的必要条件是具备合适的文化环境，包括机遇、外部动力和原料。谁会怀疑希腊潜藏着伟大的代数学家？然而，虽然希腊具备了机遇和外部动力，但其文化原料中却并没有合适的符号机制。人类学家拉尔夫·林顿（Ralph Linton）评论道：“数学天才只能从其文化中的数学知识业已到达之处继续前进。因此，假如爱因斯坦出生在一个计数不超过3的原始部落，那么即使他终身应用数学也不可能使他超越基于手指和脚趾的十进制制。”此外，证据也强烈支持所述条件的充分性：就是说，合适的文化环境必然造就出伟人。如果你的哲学依赖于自由意志的臆断，那么你就可能接受这一点。因为你的意志当然没有比表述意志的机会更自由；今晚你可能去月球走一遭，但你做不到。这间房子里有可能正坐着伟大的布兰科颅相学家。但是，如果果真如此，那么他们就注定永远都将默默无闻，也不会有什么发展，因为布兰科颅相学至今还不是我们的文化元素。
斯宾格勒这样写道：“我们没有去这里或去那里的自由，但是有做必然之事或什么都不做的自由。具有历史必然性的事件将由个人或其对手所完成。”事实上，当文化或文化元素发展到准备要作重要变革的时候，后者可能在多个地点出现。一个经典的例子就是生物进化论，它先由斯宾塞（Spencer）所预言。即使不是由达尔文（Darwin）来宣布，也将会由华莱士（Wallace）或之后不久由其它人来宣布。其它大多数情形也和本例一样。在数学中你可以回想出许多这样的例子。事后，通过本领域有关人物的蛛丝马迹，人们可以回顾并描绘该理论的进化。 为什么今天这么多人会献身于数学；为什么数学在过去的50年硕果累累？由我们的前辈、大学、协会、基金会、图书馆等等奠定的数学基础工作提供了独特的机遇、动力和文化原料。此外，进化和传播的过程也极大加快了。在近来的活动中，这两者中的后者起了更大的作用。因为众所周知，在过去50年中，不同的数学分支之间出现了许多出人意料的融合。在过去的30年间，影响数学发展的一个最不寻常的文化因素就是，德国、波兰及其它国家的杰出数学家移民到了美国。对数学不同分支感兴趣的人集中到了一起，为了他们的共同利益来探讨如何把这些分支融合在一起。新的分支往往都产生于这样的会议。过去50年间的数学文化史将古希腊、中国和西欧的数学融合在一起。这令人信服地说明，没有哪个分支可以永远孤立地发展下去而不最终达到一种静止状态。
对数学的传播来说，或许没有任何一种工具比期刊更重要。如果研究的结果没有充分的机会发表和合适的传播，数学的进步就会遭到严重的阻碍。任何借期刊阻止国际交流的做法，例如对使用不广的语言加以限制，无疑是反数学的行为。因为今天的数学是国际性的，这已是老生常谈。
这促使我们考察一下符号。因为所谓数学的国际性特征，在很大程度上归结于业已实现的符号标准化，由此也促进了传播。如果没有符号工具用来彼此交流思想，并把我们的成果传给后代，就绝不会有数学这样的事物。事实上，也根本不会有任何的文化。因为，除了几种简单工具的可能例外，文化是以符号的使用为基础的。有一个很好的例子支持这个论点。通过使用符号的方式，人类与其它动物区分开来。人类具有我们所称的符号创造性；也就是，选择符号来代表物体或思想，建立它们之间的关系，并且把它们当作自然物体来使用。就我们所知，没有别的动物有这种能力，虽然许多动物会表现出我们可称之为符号反射性的行为。这样，可以教会一只狗听到“躺下”的指令就躺下。当然，对巴甫洛夫的狗来说，铃声就代表食物。某通俗杂志的最近一期，就描述了一个心理学家教会鸽子通过按下一组彩色按钮来获取食物。所有这些都是符号反射性的例子一动物不会创造符号。
数学作为我们文化的一部分，如此特别地依赖于符号以及符号之间的相互关系，因此它可能是人类之外的动物最不能理解的。然而，我们许多原本属于符号创造性的数学行为却退化到了符号反射性的水平。显然，这是由我们的神经系统建立的一种省力工具。主要正因为如此，我相信，有相当数量的被误认为好的数学教学都是属于符号反射性的，而与符号创造性无关。当然，我得提一下钻孔式的教学。它可以让愚笨的约翰（John）取得规定的数学学分，但也会使得头脑有创造性的威廉（William）厌恶数学！教一个人求2的平方根与教一只鸽子按一组彩色按钮，二者之间有什么本质的区别呢？当学生年幼的时候，正如我们所说，正接近于他成长期的所谓“动物”阶段，符号反射性的教学无疑是合理的——但当他接近成年的时候，就更应该强调符号的创造性。这里我想起一位数学家，他好像具有一种神秘的本领，能发现他所在大学的大学生的数学才能。但是这没有什么神秘的；他只是鼓励学生应用他们的符号创造性。这里让我插入回忆一下，我对潜在的“伟人”反复出现所说过的话。没有理由相信，这个教师的成功归结于那些具有数学才能的人都偏爱他们的学校，因为他们被录取的时候一般并不想成为数学家。它促使我们自问，有多少潜在的大数学家由于符号反射性的教学而永远逃离了数学。
现在我想考察一下数学基础。过去50年，我们见证了数学史上我们可称之为令人揪心的时刻。1900年，发现了布拉里一福蒂（ Burali-Forti）悖论，不久又出现了罗素悖论和其它悖论。后续众所周知：最著名的是罗素和怀特海的努力。他们在《数学原理》这部不朽著作中证明了，数学可以无矛盾地建立在符号化的原理和当时认为普遍有效的逻辑概念基础上。主要由布劳威尔（Brouwer）及其合作者们支持的直觉主义构想，尽管提出了一种可以排除矛盾的理论，但他们引入的高度复杂的集合论和数学，相对于19世纪发展起来的数学来说则具有很大的局限性。可以期望，由希尔伯特及其合作者们支持的形式主义以及数学证明论的发展，将使那些符合要求的部分数学至少是经典数学的证明免除矛盾。这些“基础”没有哪个取得了完全成功。罗素（Russell）和怀特海（Whitehead）的类型论需要建立在一个公理基础上。在《数学原理》第二版中，他们不得不承认，当实证主义以及后来的马林诺夫斯基（Chwistek）、维特根斯坦（Wittgenstein）、拉姆齐（Ramsey）企图清除或修改这个公理的时候，又引起了新的普遍的反对。直觉主义所称的受限制的数学只有少数支持者，虽然它的一些方法例如有限构造的方法，似乎与符号逻辑中形式系统的处理方法相似，其中的一些原则特别是存在证明的可构造性原则，获得了巨大支持。根据哥德尔和其它人的研究，实现希尔伯特规划的可能性是很值得怀疑的。
如今文化的观点并没有先进到可以取代这些理论。为了强调这点，我的标题用的是“basis”而不是“foundations”。但似乎也有可能——承认数学的文化基础不仅为进一步的研究提供指导和动力，而且将消除基础理论的隔阂，它们在自身的辩护中提出了许多神秘而模糊的哲学论证。主导各种尝试数学基础的根本观点通常是很难理解的，提出者只是在脑子里决定数学是什么，他们所要作的一切就是因此而阐述一下，大多数情形似乎都是这样——（他们）完全忽略了一个事实——由于数学的文化基础，正如他们所知，数学不可能一个世纪都是这个样子。如果主导他们事业的思想基础是他们将会成功地捕获神出鬼没的野兽，并把它关进牢不可破的笼子，那他们就过于天真了。假如文化概念告诉我们些什么，那它将首先教导我们，确立任何一个基础理论的规则是，只能尝试把我们文化中已知的该领域的特定部分包容进去。一个基础理论至多应被看成是一部有待将来修改的宪章。例如，看看如选择公理这样的原理的现状，现在看来好像并没有这样一部大家普遍接受的宪章。
我提到过“神秘主义和模糊的哲学论证”以及它们对文化基础的排除。例如，考察一下直觉主义坚持所有的数学都必须建立在自然数或者计算过程的基础之上，而后者是直觉赋予的。有些貌似有理的论证支持以下的论题：自然数应该成为数学的起点，但是难以理解的正是“直觉赋予”是什么意思，或者直觉主义者拒绝接受的连续统概念为什么不应视为是“直觉赋予”的。它使人感觉到，直觉主义者接受了引用甚广的克罗内克（Kronecker）的名言：“上帝创造了整数，人类创造了其余的一切”，只是以“直觉”代替了“上帝”。然而，假如他将“直觉”这个模糊的心理学概念代之以下面的观点：鉴于计数法是一个文化不变量，因此对每一种文化而言，自然数形成了被普遍称为“数学”的最基本的部分，因而应该作为每种基础理论的起点，那么我想他的论证就会合理许多。至于他能否找到进一步的文化支持以应对反直觉主义者们的所有异议，我承认我尚未研究这个问题。然而，他似乎不得不放弃下列硬性要求：在集合的构造中，“无论是日常语言还是任何符号语言，都只能扮演作为非数学化的辅助工具的角色。”因为不用符号，就不能构造出关于抽象数学的任何文化特征。此外，它似乎忽视了我们的语言习惯对我们的思维方式的影响，这是一个严重的反对理由。 或者考察一下这个论题，所有数学都可以从某些似乎可看成原始的或普遍的逻辑原理和方法推导出来。“原始的”或“普遍的”特征来自哪里呢？如果这些术语暗示了，这些原理就像计数法一样也有着文化不变量的基础，那么就应该指出，文化的存在是没有任何合法性的，即使是以定性的非符号化的形式。例如，在包含神秘元素（这些元素成为某些原始文化的相当重要的组成元素）的文化中，矛盾律是失效的。此外，认为我们的思维形式是文化不变量的信念不再保留。作为一个著名哲学家，约翰·穆勒（John S.Mill）说：“语法的原理和规则是为了使语言形式与思维的普遍形式相一致而制定的工具。”如果穆勒熟悉印欧之外的其它语系，他就不会犯如此的错误。例如，特罗布里恩岛人没有因果的思维模式；他们的语言就没有包含表达事件相互关系的方法。正如马林诺夫斯基（Malinowski）所指出的，这些人没有关于此事与彼事前后相继的概念，时间上的先后顺序是不重要的。（然而，康德的追随者们应注意到他们会数数）但我几乎没必要对此再唠叨。正如卢卡塞维茨（Lukasciewiez）和其他人所注意到的，甚至连亚里士多德也没有像后来的逻辑学家那样对排中律表达敬意！就此而论我想做的就是指出：我相信，在文化的基础上我们确立了对数理逻辑学家们正普遍接受之物的信心；即，如《数学原理》中这样的材料，其意义和有效性与其它纯形式系统是完全一样的。
下列说法可能是合理的：由数理逻辑学家构想且目前正在研究的数学基础在文化的基础上得到了极大的支持。因为就能够存在的和已经存在的不同文化、不同思维形式、以致不同的数学而言，似乎不可能认为数学如我已指出的那样，它不是人工的、也没有比其它文化特征更多的必然性或真理性。例如，数学存在性问题诉诸任何的数学信条都永远不能得到解决。的确，除了与特殊的基础理论有关外，它们没有任何的有效性。例如，关于选择集的存在性问题，对直觉主义者和对形式主义者而言是不一样的。直觉主义者可以有理由声称“象连续统这样的问题是不存在的”，假如他补上“对直觉主义者而言”——否则他就是在胡扯。由于其文化基础，数学就没有绝对的事物，只有相对的。
但是，我们不应被这些因素所误导而草草作出如下的结论：我们文化中的数学的组成成分是完全任意的。例如，它可以定义为“p蕴含q的科学”，或者公理系统的科学。尽管文化群体中的个体允许有一定程度上的变异性，但它同时易受到他的文化的控制。作为个体的数学家可以随心所欲地和公理系统打交道，但是只有当它们与他的文化中的数学现实联系在一起时，它们才能被视为习以为常。类似的纽带，虽然没有这么明显，也将数学和其它文化元素连在一起。我们不能忽视这些纽带以及将我们每个人与各自的数学兴趣连在一起的纽带，即使我们想这样做。它们可能非常公开地施加影响，正如最近，数学家们都投身于高速计算机，或者投身于发展其它新的前所未见的数学，它们都是由于我们文化中的战争需要的刺激而产生的。或者它们的影响也可以是隐蔽的，正如由文化导致了某些数学习惯并且在反应上已经达到了符号反射的水平。因此，虽然公理法可能成为建立理论的最普遍接受的模式，但是务必慎重使用；否则，所建立的理论就不是作为我们文化的数学成分一部分的数学。
但是，我该结束我的评论了。研究一下时尚和文化模式在数学中的印迹是令人感兴趣的。这些对数学家或人类学家来说可能是令人感兴趣的研究主题。可以设想，还能为该领域将来的可能课程提供一些线索。然而，我将发表一个简短的结论：
在人类的各种文化中，都发现了某些所谓“数学的”文化元素。在人类文明的早期，一种文化与另一种文化的差异如此之大，以致在一种文化中的所谓“数学”却在其它文化中几乎得不到认可。随着传播的扩大，这首先是由于探险和发明，其次是由于合适符号的应用的增加及其后来的标准化，以及在期刊中的传播，除了微小的文化差异外，如意大利注重几何，法国注重函数论，最先进文化中的数学元素逐步融合在一起，直至产生了所有文明文化共有的、本质上一致的所谓“数学”的元素。然而，这并不是固定不变的，而是经常遭到改变。并非所有的变化都标志着新素材的增加；由于有影响的文化变迁，有些变化是材料的脱离，不再被认为是数学。例如，有些所谓“分界线”的著作就难以放在数学之内或数学之外。
19世纪后半叶，数的概念扩充到超限数，大约在世纪之交产生了某些矛盾。结果，在过去的50年间，关于基础问题的研究得到了加强，并伴随着数理逻辑的巨大发展。旨在数学真理的绝对标准或者固定的数学方法而寻求令人满意的基础理论，就此而论似乎注定要失败，因为承认数学的文化基础就不得不承认其可变的和不断发展的特征。然而，象其它文化特征那样，数学并不是数学家个体完全任意的构造，因为数学家个体在表面上自由的创造中，受到他所处时代的数学现状和发展方向的制约。正是后者决定了当时什么才是“重要的”。
相应地，数学的现状和发展方向是由数学内部和外部文化力的总的综合体所决定的。在过去的50年间，引人注目的外部作用力就是主要文化正在渡过的危机。这些作用力促使大批数学家从西欧移民到美国。在诸如应用数学的某些分支的新方向的确立或者原有方向的加速发展上，由于数学思想的传播和交流，他们建立了新的联系。
下一个50年将会带来什么，因能力所限我无法预测。斯宾格勒在他的《西方的没落》一书中断言：就群体来看，西方数学作出了“最后的、决定性的创造”，又在题为“数的意义”的第二章结尾写道：“伟大数学家的时代已经一去不复返了。我们今天的任务是保存，加工，提炼和选择——而不是充满活力的伟大创造，就如希腊晚期亚历山大数学所作的灵巧而精细的工作那样。”该书出版于1918年-32年前——他说得正确与否，留待你去判断。如今，处于数学活动中心的那些国家分成两个对立阵营的危险，似乎不可能长久持续下去而导致两种不同的数学文化的出现——尽管在其它领域，例如植物学，这种分裂似乎正在发生。然而，作为数学家我们就像植物学家、经济学家或农民一样，易受到文化力的影响，不同文化的长久分离会导致个性的变化，这不会不反映在我们的数学行为中。让我们期待，数学在50年后的世纪之交就像今天一样，仍然是一个活跃的、独特的文化力，仍然具有思想的自由传播，这是发展和活力的主要决定因素。
我想，在世纪过半之际召开的国际数学家大会上，花点时间从整体上考察一下数学应该是合适的。在各种会议和专题讨论会上发表的讲话和论文，一般关注的是数学的特殊领域或分支。本篇报告的目的，可谓跳出数学的圈子以期获得一个新视角。从抽象的哲学角度，对数学已经有了大量的研究，数学也从这些研究中受益——尽管数学家们对这些哲学的看法是比较持怀疑态度的。越来越多的数学家正致力于数学基础的研究。其中许多是男性数学家，他们因为对数学的贡献而赢得敬重。其中一些人在不同程度上把自己的理论当作教条来看待，而彼此对立的理论支持者们之间有时又会发生激烈的争论。这不免使人怀疑，难道没有一些更高明的观点，让人们更客观公正地审视此类问题。
如今，普遍认为人类正处于糟糕的状态，因为他把过多的精力投入到专业技能上，而对自身的研究却少得可怜。在文明的早期，人类研究了天文学和其它自然科学，连同这些学科隐含的数学在内。但是，对于诸如解剖学这样的学科，人类却不易保证客观。就具有隐私性的个体而言，人自身似乎被认为是不可触摸的。事实上，仅在我们这个时代，诸如心理学那样更个人化的学科得到了适当的尊重。但是，在人类整体行为的研究方面我们却没什么进步。显然可以归于以下原因：
（1）无法把群体和个体的行为区分开来；
（2）尽管普通人勉强愿意被外科医生解剖，或由精神病医生进行分析，但是诸如国家、教会、俱乐部等这些决定其价值观的群体组织却仍然被认为是不可触摸的，这是事实。
幸运的是，正如解剖学家最终可以接触死刑犯的尸体，人类学家也可以接触澳大利亚、太平洋岛、非洲和美国等地的原始部落。在过去的50年间，人类学家在人类群体行为的研究方面有了巨大的进步，因为他们使用了值得划入自然科学的无感情色彩的、客观的方法，而不是诸如历史学这样的社会研究法。也许，文化概念的发展以及文化力的研究可列为人类精神的最高成就之一。这个概念尽管受到非议，但是近几年来还是得到了长足的应用。不仅心理学家、精神病专家和社会学家应用它，而且那些意在加强海外势力的政府也已认可。各种各样的人类苦难都是起源于对文化的忽视。例如，殖民地人民的遭遇以及美洲印第安人受到的控制。
现在我提出文化这个概念，并不打算把它作为解决所有数学问题的药方。但我相信，只有承认数学的文化基础，才能对它的本质有更好的理解。此外，还可以对各种问题特别是有关数学基础的问题提供启示。我并不是说它可以解决这些问题，而是说它不仅显示出可以期待有多少种答案，而且能够指出获得这些答案的途径。此外，我们业已相信并且将之归于某种模糊的“直觉”的许多事情，在文化的基础上获得了真正的合法性。
为完整起见，首先我将大致解释一下这个概念。显然，它与以“K”来拼读的文化（Culture），或者与来自顶尖大学的学位，或者上流社会的内涵无关。文化就是由一群人，如原始部落或北美人，所具有的习惯、礼仪、信仰、用具等等可称之为文化元素的集合。一般而言，它不是固定不变的，而是因时而变，形成所谓的“文化流”。它代代相传，形成一个外表充满活力的传统体系。在控制力方面，它比希特勒之于纳粹德国更加专断；事实上，在一些原始部落，每一种行为，甚至于诸如日常的穿衣吃饭，都有规定的仪式。许多人类学家将文化视为一个有其自身发展规律的超级有机体。实际上，大部分人类学家似乎都把文化本身视为一个事物，而不必参照拥有它的群体或个体（除了某些目的之外）。
作为文明人，我们很少思考我们在多大程度上被文化所控制一一我们把自己的许多行为都视为是自然的。但是，如果你向一个普通的美国男人建议他应该戴耳环，那么当你挨打后从地上爬起来的时候，就应该考虑一下刚刚被挨打的原因。难道是因为他在以前的某个日子就已决定了，每当有人建议他戴耳环时他就要向那人的鼻子挥以一拳？当然不是。那是因为美国的文化使然。因此，他总是说，他所做的是一件很自然的事情。然而，在有些社群里，诸如纳瓦霍人、普伟布洛和亚马逊部落，男人戴耳环却是件自然的事情。实际上，我们所谓的人之天性只不过是这样一些文化特性的集合。纳瓦霍人的人之天性无疑与霍屯督人不同。 作为数学家，我们共同享有所谓“数学的”那部分文化。我们受之影响，反之我们也影响它。作为个体，我们吸收文化的一部分。通过老师、杂志、书籍、诸如今天这样的会议以及我们的同事，我们与文化接触。通过对所吸收的那部分进行综合，我们对文化的发展作出自己的贡献。
如今，把数学看作文化元素并不时髦。人类学家已经这样做。但是，由于他们的数学知识一般而言非常有限，他们通常所做的只是对原始文化中所发现的算术种类进行零散的评注。然而，有一个例外。三年前，有一个叫怀特（L.A.White）的人类学家发表了一篇题为“数学现实之轨迹”的文章。它受到了各种数学家和哲学家表述的有关数学本质的表面上似乎相互矛盾的思想的启发。于是，哈代（G.H.Hardy）提出了一个信条：“数学现实在我们外部，我们的作用是发现它或观察它，我们所证明的并被我们夸张为我们的创造的定理仅仅是我们观察的记录。”另一方面，布里奇曼（P.W. Bridgman）提出了一种观点：“数学是人类的发明，这一点是最纯粹的真实，是稍微观察一下就能发现的事实。”这些陈述尽管表面上互不兼容，但当它们得到合适的解释时就不是这样了。就数学是我们文化的一部分而论，正如哈代（Hardy）所言，它“在我们外部。”就文化本不存在，它是人类思维的产物而论，正如布里奇曼（P.W. Bridgman）所言，数学是“人类的发明”。
作为一门知识体系，数学不是我知、你知或任何个人所知道的东西：它是我们的文化、我们集体财富的一部分。随着时间的流逝，我们可能会把我们个人对它的一些贡献遗忘掉。尽管我们会健忘，但这些贡献仍将保留在文化流之中。正如许多其它文化元素的情形一样，自从牙牙学语起我们就接受数学的教育，并从一开始给留下了我们所称的“绝对真理”的印象。其真实性的意义和类别或许就像原始人对待神灵和仪式那样。例如，埃尔米特（Hermite）似乎就是这样认为的。根据阿达玛（ Hadamard）的观点，埃尔米特说：“我们是数学的仆人而不是主人；”在致柯尼西贝格（Konigsberger）的一封信中又说道：“这些分析的概念不依赖于我们而存在，”“它们构成一个整体，只向我们显露了一部分，虽然毫无疑问它与我们通过感觉所认识的其它事物的整体有着神秘的联系。”显然，埃尔米特意识到到了他为之作出诸多贡献的文化流的强有力的影响。
在其名著“西方的没落”（Der Untergang des Abendlandes）中，斯宾格勒（O. Spengler）以很长的篇幅讨论了数学的本质及其在他的文化有机论中的重要性。受该著的影响，凯塞尔（C.J.Keyser）发表了有关数学作为文化线索的一些观点，包括对这个论题的解释和辩护：“在任何主流文化中，其数学的类型是文化整体不同特征的线索或钥匙。”数学是文化的一部分，它受到其赖于创立的文化的影响。从这点来看，我们可以期待发现二者之间的关系。然而，关于它为文化提供了一把多好的钥匙，我不发表意见；其实，它是人类学家回答的问题。因为文化支配着它的元素，特别地支配着数学，所以，对数学家来说，从这种观点去考察它们的关系似乎会更有效。
让我们花几分钟时间考察一下数学史。我承认我对此知之甚少，因为我不是历史学家。然而，我总是想到，历史学家在撰写数学史的时候，他会时常面临该包括哪些素材的问题。为了作出一个更清楚的案例，让我们假设有一个假想的人A开始撰写一部综合史，希望把所有可得到的数学史素材全都包括进去。显然，他将不得不采用一些素材而抛弃另一些素材。显而易见，他的选择标准必须依赖于哪些是构成数学的知识。如果我们所指的是给数学下定义，当然他的任务是毫无希望的。虽然已经有了很多定义，但是没有一个被接受。从数量上来看，可以期望，每一个有自尊心的数学家都会给后人留下一个数学的定义。因此，我猜想，我们假想的数学家A将不仅受到他的文化中称之为数学的影响，这些数学存在于现存的历史（以前撰写的）和被称之为“数学的”著作中；而且也受到由所谓的数学家们发表的那类东西的影响。于是，他将承认我们业已表述过的，数学是他的文化的某个部分，并由此受到影响。
例如，假设A是一个生活在1200年（500年或1500年也一样）的中国历史学家。他将收录有关筹算和解方程的大量素材；但是象历史上希腊人所理解的那样的几何学却一片空白，仅仅是因为它没有融人到他的文化中的数学里去。另一方面，如果A是一个生活在公元200年的希腊人，他的数学史就会有丰富的几何内容，但是关于代数或者甚至有关中国人使用的筹算的内容却很少。但如果A是一个当代人，他将收录几何与代数，因为它们是我们称为数学的一部分。然而，我想知道他对逻辑学会怎么办呢？
尽管希腊人依赖于逻辑演绎，尽管诸如莱布尼茨（Leibniz）和帕斯卡（Pascal）这样的数学家为其贡献了很多时间，这是事实，但是这门学科在数学史中并没有什么地位。作为一个尝试，我拜读了本世纪两位很著名的历史学家博尔（Ball）和卡约黎（Cajori）的著作，它们都写于1900年前不久。在博尔的著作第一版（1888）的索引中，根本没有提到“逻辑”；但在第四版（1908）中，在“符号逻辑与数理逻辑”条目下有一条单独的引文，经证实这是关于乔治·布尔（ GeorgeBoole）的一个偶然注记的引证，其大意是他“是符号逻辑或数理逻辑的创始人之一”。于是符号逻辑被勉强挤在线下是因为布尔是一个数学家！在卡约黎的著作第一版（1893）的索引中，在“逻辑”条目下有四个引文，都是文中的偶然注记。在第二版（1919）中，这些引文没有再出现，在“逻辑”条目下的索引只有三个引文（其中两个也是“符号逻辑”条目下仅有的引文），它们也仅在文中的简短注记中出现。然而，通过对正文的检查发现，在“数理逻辑”的标题下差不多有四页的内容，尽管这个学科在索引中没有任何引文，在“逻辑”和“符号逻辑”条目下也没有被引。（尽管在索引中没有任何引文，但是到了1919年，这个学科的重要性似乎足以使之进入数学史的素材！） 我怀疑在关于过去50年的数学史中，类似的情形是否很普遍。我所熟悉的关于这一时期的唯一一部这样的数学史，是贝尔（Bell）的“数学的进化”。翻到该著的索引，我发现关于“逻辑”的引文多得我不想去数它们。特别地，关于他所称的“数理逻辑”的进化，贝尔至少花了25页的篇幅。是否有这样一种可能，这门学科在1900年尽管有了皮亚诺（Peano）及其同事的开创性工作，但还没有被视为我们文化的一部分，而现在其地位已如此之高以致任何一个关于数学的公正定义都必须扩展到足以把它纳入进去。
虽然数学史倾向于传记体的方式，但是现在一般也会注意到文化力的影响。例如，博尔在关于文艺复兴时期的数学这一章的开头，就指出了印刷机的引入带来的影响。在最近出版的的历史著作，即在已经提及的贝尔的著作和斯特洛依克（Struik）的两卷本的优秀小册子中，证据尤其明显。例如，斯特洛依克在序言中就表达了这样的遗憾：由于受篇幅所限，没有充分涉及数学在某个时期达到成熟或者被扼杀时的文化与社会的整体环境。他继续说道：“数学受到了农业、商业和制造业，军事、工程与哲学，物理学与天文学的影响。（在本书中），只指出了流体力学对函数论的影响，康德哲学和测量对几何学的影响，电磁学对微分方程的影响，笛卡尔哲学对力学的影响，经院哲学对微积分的影响。但是，只有把所有这些决定因素都考虑进去，才能理解数学这门课程及其内容。”在该书第三章，斯特洛依克对希腊数学的兴起提出了富有启发性的解释，他把希腊数学与当时的文化环境联系起来。我希望将来的数学史同样能更多关注作为文化元素的数学，更加强调它与根植其中的文化二者之间的联系。
在讨论一般的文化概念时，我尚未提到文化变迁的两个主要过程，即进化与传播。所谓传播，是指由于人类群体的某种接触而导致的一种文化特征从一种文化向另一种文化的转移。例如，随着诺曼底人（对英格兰）的军事征服，法国人的语言和习俗被传播到盎格鲁·撒克逊人的文化中。至于我们所称的文化进步有多少是由进化所致，有多少是由传播所致，或有多少是二者结合所致，通常是难以确定的，因为这两个过程高度融合在一起。例如，考察一下计数法。人类学家称之为一种普遍的特征一而我在与数学家交谈的时候，宁愿称之为文化不变量一在每一种文化中至少可以找到它的初级形态。数基可能是10，12，20，25，60，所有这些都很普遍，显然是由其它（变量）文化元素所决定的——但是，正如直觉主义者所言，计数法本质上是一个不变量。如果我们考察更先进的文化，某个时候就出现了零的概念。正如人类学家克罗伯（A.L.Kroeber）所指出的，零的概念至少产生于三种人类文明，如：新巴比伦人（使用60进制）、玛雅人（使用20进制）、印度人（十进制起源于他们）。在他的人类学中，他称（零的概念的产生）为“文明的里程碑”。极端传播论者试图把它们联系起来，但尚未成功。待他们成功之时，我们就可以推测，在任何的文化中终究都可以产生出零的概念。
在这里，中国与日本的数学是令人感兴趣的。显然，正如三上义夫（Mikami）和其它人所指出的，中国人从印度人那里学到了零的概念。至少早在公元1世纪，他们之间就有接触，这是通过传播而引入的一个例子。但是，即使没有这样的接触，零也可能在中国数学中产生出来，主要是因为他们已经使用了算筹。从另外一个立场来看，中国数学也是令人感兴趣的。其发展似乎更多是由其在自身文化的内部的进化而导致的，而传播的影响甚微。数世纪以来，它是沿着狭隘的算术和代数方向发展的，而没有如希腊人所发展的几何学的迹象。17和18世纪的日本数学家可以欣喜地求解高达3000或4000次的方程，那时中国数学已经通过传播过程进入日本。这或许为那些认为不从传播中受益的文化终将停滞不前的人提供了某种证据。有人会想：假如巴比伦人的零和位值制方法被融入到希腊数学中，那将发生什么一难道这意味着希腊数学将会转向代数？它被传人中国当然没有产生什么效果，只是对已有的计算倾向稍有推动。
普遍承认，希腊数学不仅是产生小亚细亚地区文化的进化和传播的自然产物，而且是与希腊文化的其它元素相伴出现的。希腊文化不仅有助于在希腊产生的那种数学，而且也可能阻碍了希腊数学与巴比伦人的计数法的融合。因为正如某些人认为的那样，即使某些希腊学者知道了巴比伦人的计数法，他们也并不清楚它的价值。
我们熟悉印度一阿拉伯数学文化的传播方式，它通过非洲到达西班牙，再进入西欧文化。经历了停滞不前的时代之后，解析几何、微积分诞生了，数学的洪流滚滚而来。这一时期数学文化的发展是一个令人着迷的课题，有待文化史学家去研究。对大量“巨人”突然登场所作的简单化的解释，事实上已被所有人类学家所抛弃。造就“伟人”的必要条件是具备合适的文化环境，包括机遇、外部动力和原料。谁会怀疑希腊潜藏着伟大的代数学家？然而，虽然希腊具备了机遇和外部动力，但其文化原料中却并没有合适的符号机制。人类学家拉尔夫·林顿（Ralph Linton）评论道：“数学天才只能从其文化中的数学知识业已到达之处继续前进。因此，假如爱因斯坦出生在一个计数不超过3的原始部落，那么即使他终身应用数学也不可能使他超越基于手指和脚趾的十进制制。”此外，证据也强烈支持所述条件的充分性：就是说，合适的文化环境必然造就出伟人。如果你的哲学依赖于自由意志的臆断，那么你就可能接受这一点。因为你的意志当然没有比表述意志的机会更自由；今晚你可能去月球走一遭，但你做不到。这间房子里有可能正坐着伟大的布兰科颅相学家。但是，如果果真如此，那么他们就注定永远都将默默无闻，也不会有什么发展，因为布兰科颅相学至今还不是我们的文化元素。
斯宾格勒这样写道：“我们没有去这里或去那里的自由，但是有做必然之事或什么都不做的自由。具有历史必然性的事件将由个人或其对手所完成。”事实上，当文化或文化元素发展到准备要作重要变革的时候，后者可能在多个地点出现。一个经典的例子就是生物进化论，它先由斯宾塞（Spencer）所预言。即使不是由达尔文（Darwin）来宣布，也将会由华莱士（Wallace）或之后不久由其它人来宣布。其它大多数情形也和本例一样。在数学中你可以回想出许多这样的例子。事后，通过本领域有关人物的蛛丝马迹，人们可以回顾并描绘该理论的进化。 为什么今天这么多人会献身于数学；为什么数学在过去的50年硕果累累？由我们的前辈、大学、协会、基金会、图书馆等等奠定的数学基础工作提供了独特的机遇、动力和文化原料。此外，进化和传播的过程也极大加快了。在近来的活动中，这两者中的后者起了更大的作用。因为众所周知，在过去50年中，不同的数学分支之间出现了许多出人意料的融合。在过去的30年间，影响数学发展的一个最不寻常的文化因素就是，德国、波兰及其它国家的杰出数学家移民到了美国。对数学不同分支感兴趣的人集中到了一起，为了他们的共同利益来探讨如何把这些分支融合在一起。新的分支往往都产生于这样的会议。过去50年间的数学文化史将古希腊、中国和西欧的数学融合在一起。这令人信服地说明，没有哪个分支可以永远孤立地发展下去而不最终达到一种静止状态。
对数学的传播来说，或许没有任何一种工具比期刊更重要。如果研究的结果没有充分的机会发表和合适的传播，数学的进步就会遭到严重的阻碍。任何借期刊阻止国际交流的做法，例如对使用不广的语言加以限制，无疑是反数学的行为。因为今天的数学是国际性的，这已是老生常谈。
这促使我们考察一下符号。因为所谓数学的国际性特征，在很大程度上归结于业已实现的符号标准化，由此也促进了传播。如果没有符号工具用来彼此交流思想，并把我们的成果传给后代，就绝不会有数学这样的事物。事实上，也根本不会有任何的文化。因为，除了几种简单工具的可能例外，文化是以符号的使用为基础的。有一个很好的例子支持这个论点。通过使用符号的方式，人类与其它动物区分开来。人类具有我们所称的符号创造性；也就是，选择符号来代表物体或思想，建立它们之间的关系，并且把它们当作自然物体来使用。就我们所知，没有别的动物有这种能力，虽然许多动物会表现出我们可称之为符号反射性的行为。这样，可以教会一只狗听到“躺下”的指令就躺下。当然，对巴甫洛夫的狗来说，铃声就代表食物。某通俗杂志的最近一期，就描述了一个心理学家教会鸽子通过按下一组彩色按钮来获取食物。所有这些都是符号反射性的例子一动物不会创造符号。
数学作为我们文化的一部分，如此特别地依赖于符号以及符号之间的相互关系，因此它可能是人类之外的动物最不能理解的。然而，我们许多原本属于符号创造性的数学行为却退化到了符号反射性的水平。显然，这是由我们的神经系统建立的一种省力工具。主要正因为如此，我相信，有相当数量的被误认为好的数学教学都是属于符号反射性的，而与符号创造性无关。当然，我得提一下钻孔式的教学。它可以让愚笨的约翰（John）取得规定的数学学分，但也会使得头脑有创造性的威廉（William）厌恶数学！教一个人求2的平方根与教一只鸽子按一组彩色按钮，二者之间有什么本质的区别呢？当学生年幼的时候，正如我们所说，正接近于他成长期的所谓“动物”阶段，符号反射性的教学无疑是合理的——但当他接近成年的时候，就更应该强调符号的创造性。这里我想起一位数学家，他好像具有一种神秘的本领，能发现他所在大学的大学生的数学才能。但是这没有什么神秘的；他只是鼓励学生应用他们的符号创造性。这里让我插入回忆一下，我对潜在的“伟人”反复出现所说过的话。没有理由相信，这个教师的成功归结于那些具有数学才能的人都偏爱他们的学校，因为他们被录取的时候一般并不想成为数学家。它促使我们自问，有多少潜在的大数学家由于符号反射性的教学而永远逃离了数学。
现在我想考察一下数学基础。过去50年，我们见证了数学史上我们可称之为令人揪心的时刻。1900年，发现了布拉里一福蒂（ Burali-Forti）悖论，不久又出现了罗素悖论和其它悖论。后续众所周知：最著名的是罗素和怀特海的努力。他们在《数学原理》这部不朽著作中证明了，数学可以无矛盾地建立在符号化的原理和当时认为普遍有效的逻辑概念基础上。主要由布劳威尔（Brouwer）及其合作者们支持的直觉主义构想，尽管提出了一种可以排除矛盾的理论，但他们引入的高度复杂的集合论和数学，相对于19世纪发展起来的数学来说则具有很大的局限性。可以期望，由希尔伯特及其合作者们支持的形式主义以及数学证明论的发展，将使那些符合要求的部分数学至少是经典数学的证明免除矛盾。这些“基础”没有哪个取得了完全成功。罗素（Russell）和怀特海（Whitehead）的类型论需要建立在一个公理基础上。在《数学原理》第二版中，他们不得不承认，当实证主义以及后来的马林诺夫斯基（Chwistek）、维特根斯坦（Wittgenstein）、拉姆齐（Ramsey）企图清除或修改这个公理的时候，又引起了新的普遍的反对。直觉主义所称的受限制的数学只有少数支持者，虽然它的一些方法例如有限构造的方法，似乎与符号逻辑中形式系统的处理方法相似，其中的一些原则特别是存在证明的可构造性原则，获得了巨大支持。根据哥德尔和其它人的研究，实现希尔伯特规划的可能性是很值得怀疑的。
如今文化的观点并没有先进到可以取代这些理论。为了强调这点，我的标题用的是“basis”而不是“foundations”。但似乎也有可能——承认数学的文化基础不仅为进一步的研究提供指导和动力，而且将消除基础理论的隔阂，它们在自身的辩护中提出了许多神秘而模糊的哲学论证。主导各种尝试数学基础的根本观点通常是很难理解的，提出者只是在脑子里决定数学是什么，他们所要作的一切就是因此而阐述一下，大多数情形似乎都是这样——（他们）完全忽略了一个事实——由于数学的文化基础，正如他们所知，数学不可能一个世纪都是这个样子。如果主导他们事业的思想基础是他们将会成功地捕获神出鬼没的野兽，并把它关进牢不可破的笼子，那他们就过于天真了。假如文化概念告诉我们些什么，那它将首先教导我们，确立任何一个基础理论的规则是，只能尝试把我们文化中已知的该领域的特定部分包容进去。一个基础理论至多应被看成是一部有待将来修改的宪章。例如，看看如选择公理这样的原理的现状，现在看来好像并没有这样一部大家普遍接受的宪章。
我提到过“神秘主义和模糊的哲学论证”以及它们对文化基础的排除。例如，考察一下直觉主义坚持所有的数学都必须建立在自然数或者计算过程的基础之上，而后者是直觉赋予的。有些貌似有理的论证支持以下的论题：自然数应该成为数学的起点，但是难以理解的正是“直觉赋予”是什么意思，或者直觉主义者拒绝接受的连续统概念为什么不应视为是“直觉赋予”的。它使人感觉到，直觉主义者接受了引用甚广的克罗内克（Kronecker）的名言：“上帝创造了整数，人类创造了其余的一切”，只是以“直觉”代替了“上帝”。然而，假如他将“直觉”这个模糊的心理学概念代之以下面的观点：鉴于计数法是一个文化不变量，因此对每一种文化而言，自然数形成了被普遍称为“数学”的最基本的部分，因而应该作为每种基础理论的起点，那么我想他的论证就会合理许多。至于他能否找到进一步的文化支持以应对反直觉主义者们的所有异议，我承认我尚未研究这个问题。然而，他似乎不得不放弃下列硬性要求：在集合的构造中，“无论是日常语言还是任何符号语言，都只能扮演作为非数学化的辅助工具的角色。”因为不用符号，就不能构造出关于抽象数学的任何文化特征。此外，它似乎忽视了我们的语言习惯对我们的思维方式的影响，这是一个严重的反对理由。 或者考察一下这个论题，所有数学都可以从某些似乎可看成原始的或普遍的逻辑原理和方法推导出来。“原始的”或“普遍的”特征来自哪里呢？如果这些术语暗示了，这些原理就像计数法一样也有着文化不变量的基础，那么就应该指出，文化的存在是没有任何合法性的，即使是以定性的非符号化的形式。例如，在包含神秘元素（这些元素成为某些原始文化的相当重要的组成元素）的文化中，矛盾律是失效的。此外，认为我们的思维形式是文化不变量的信念不再保留。作为一个著名哲学家，约翰·穆勒（John S.Mill）说：“语法的原理和规则是为了使语言形式与思维的普遍形式相一致而制定的工具。”如果穆勒熟悉印欧之外的其它语系，他就不会犯如此的错误。例如，特罗布里恩岛人没有因果的思维模式；他们的语言就没有包含表达事件相互关系的方法。正如马林诺夫斯基（Malinowski）所指出的，这些人没有关于此事与彼事前后相继的概念，时间上的先后顺序是不重要的。（然而，康德的追随者们应注意到他们会数数）但我几乎没必要对此再唠叨。正如卢卡塞维茨（Lukasciewiez）和其他人所注意到的，甚至连亚里士多德也没有像后来的逻辑学家那样对排中律表达敬意！就此而论我想做的就是指出：我相信，在文化的基础上我们确立了对数理逻辑学家们正普遍接受之物的信心；即，如《数学原理》中这样的材料，其意义和有效性与其它纯形式系统是完全一样的。
下列说法可能是合理的：由数理逻辑学家构想且目前正在研究的数学基础在文化的基础上得到了极大的支持。因为就能够存在的和已经存在的不同文化、不同思维形式、以致不同的数学而言，似乎不可能认为数学如我已指出的那样，它不是人工的、也没有比其它文化特征更多的必然性或真理性。例如，数学存在性问题诉诸任何的数学信条都永远不能得到解决。的确，除了与特殊的基础理论有关外，它们没有任何的有效性。例如，关于选择集的存在性问题，对直觉主义者和对形式主义者而言是不一样的。直觉主义者可以有理由声称“象连续统这样的问题是不存在的”，假如他补上“对直觉主义者而言”——否则他就是在胡扯。由于其文化基础，数学就没有绝对的事物，只有相对的。
但是，我们不应被这些因素所误导而草草作出如下的结论：我们文化中的数学的组成成分是完全任意的。例如，它可以定义为“p蕴含q的科学”，或者公理系统的科学。尽管文化群体中的个体允许有一定程度上的变异性，但它同时易受到他的文化的控制。作为个体的数学家可以随心所欲地和公理系统打交道，但是只有当它们与他的文化中的数学现实联系在一起时，它们才能被视为习以为常。类似的纽带，虽然没有这么明显，也将数学和其它文化元素连在一起。我们不能忽视这些纽带以及将我们每个人与各自的数学兴趣连在一起的纽带，即使我们想这样做。它们可能非常公开地施加影响，正如最近，数学家们都投身于高速计算机，或者投身于发展其它新的前所未见的数学，它们都是由于我们文化中的战争需要的刺激而产生的。或者它们的影响也可以是隐蔽的，正如由文化导致了某些数学习惯并且在反应上已经达到了符号反射的水平。因此，虽然公理法可能成为建立理论的最普遍接受的模式，但是务必慎重使用；否则，所建立的理论就不是作为我们文化的数学成分一部分的数学。
但是，我该结束我的评论了。研究一下时尚和文化模式在数学中的印迹是令人感兴趣的。这些对数学家或人类学家来说可能是令人感兴趣的研究主题。可以设想，还能为该领域将来的可能课程提供一些线索。然而，我将发表一个简短的结论：
在人类的各种文化中，都发现了某些所谓“数学的”文化元素。在人类文明的早期，一种文化与另一种文化的差异如此之大，以致在一种文化中的所谓“数学”却在其它文化中几乎得不到认可。随着传播的扩大，这首先是由于探险和发明，其次是由于合适符号的应用的增加及其后来的标准化，以及在期刊中的传播，除了微小的文化差异外，如意大利注重几何，法国注重函数论，最先进文化中的数学元素逐步融合在一起，直至产生了所有文明文化共有的、本质上一致的所谓“数学”的元素。然而，这并不是固定不变的，而是经常遭到改变。并非所有的变化都标志着新素材的增加；由于有影响的文化变迁，有些变化是材料的脱离，不再被认为是数学。例如，有些所谓“分界线”的著作就难以放在数学之内或数学之外。
19世纪后半叶，数的概念扩充到超限数，大约在世纪之交产生了某些矛盾。结果，在过去的50年间，关于基础问题的研究得到了加强，并伴随着数理逻辑的巨大发展。旨在数学真理的绝对标准或者固定的数学方法而寻求令人满意的基础理论，就此而论似乎注定要失败，因为承认数学的文化基础就不得不承认其可变的和不断发展的特征。然而，象其它文化特征那样，数学并不是数学家个体完全任意的构造，因为数学家个体在表面上自由的创造中，受到他所处时代的数学现状和发展方向的制约。正是后者决定了当时什么才是“重要的”。
相应地，数学的现状和发展方向是由数学内部和外部文化力的总的综合体所决定的。在过去的50年间，引人注目的外部作用力就是主要文化正在渡过的危机。这些作用力促使大批数学家从西欧移民到美国。在诸如应用数学的某些分支的新方向的确立或者原有方向的加速发展上，由于数学思想的传播和交流，他们建立了新的联系。
下一个50年将会带来什么，因能力所限我无法预测。斯宾格勒在他的《西方的没落》一书中断言：就群体来看，西方数学作出了“最后的、决定性的创造”，又在题为“数的意义”的第二章结尾写道：“伟大数学家的时代已经一去不复返了。我们今天的任务是保存，加工，提炼和选择——而不是充满活力的伟大创造，就如希腊晚期亚历山大数学所作的灵巧而精细的工作那样。”该书出版于1918年-32年前——他说得正确与否，留待你去判断。如今，处于数学活动中心的那些国家分成两个对立阵营的危险，似乎不可能长久持续下去而导致两种不同的数学文化的出现——尽管在其它领域，例如植物学，这种分裂似乎正在发生。然而，作为数学家我们就像植物学家、经济学家或农民一样，易受到文化力的影响，不同文化的长久分离会导致个性的变化，这不会不反映在我们的数学行为中。让我们期待，数学在50年后的世纪之交就像今天一样，仍然是一个活跃的、独特的文化力，仍然具有思想的自由传播，这是发展和活力的主要决定因素。