论文部分内容阅读
随着素质教育的深入、普通高中新课程标准的实施,要求高中数学老师在教学过程中将培养学生的实际能力放在首位.这对于教师固有的教学思想提出了一定的挑战.本文探讨的是分类讨论的数学思想.学生在解题时运用这种思想方法,可以将问题化难为易、化繁为简.
一、对分类讨论思想的认识
1.分类讨论思想的原理
在数学上经常会有这种情况:一道题因为受条件的限制,答案存在多种情况.在这种情况下,就要对题中的条件进行分析,然后加以分类,再逐步分类求解,最后再进行综合得出解.这就是通常意义上的分类讨论法.分类讨论法,是一种逻辑性很强的方法,它体现了化整为零、集零为整的思想.因为分类讨论法极具综合性、探索性,能够训练学生的思维能力,所以它在数学题的解题中有广泛的应用.[1]
2.分类讨论法的要求
在使用分类讨论法时,一般需要满足两个条件:一是要保证分类不遗漏;二是要保证分类不重复.在同时满足这两个条件时,才能科学、准确地使用分类讨论的方法.
3.分类讨论思想的原则
在使用分类讨论法时,必须遵循一定的原则进行.一般来说,我们在整个中学阶段使用以下四个原则:同一性原则、互斥性原则、相称性原则、层次性原则.同一性原则,即分类时要按照同一标准;互斥性原则,即分类后的每个子项目之间互不干涉互不相容;相称性原则,即分类的部分总和应当与没有分类前的总和相同;层次性原则,即分类要分层,有一级层次和二级层次之分.
二、分类讨论思想在高中数学解题中的应用
例1若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.
解析:设函数y=ax(a>0且a≠1)和函数y=x a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是相当于函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x a的图象有两个交点.
由图象可知,当01时,因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线y=x a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.
综上,实数a的取值范围是a>1.
例2已知双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为.
解析:(1)当双曲线焦点在x轴上时,
ba=34.
∴b2a2=c2-a2a2=e2-1=916.
∴e2=2516,e=54.
(2)当双曲线焦点在y轴上时,
ba=43.
∴b2a2=c2-a2a2=e2-1=169.
∴e2=259, e=53.
综上,所求离心率的值为53或54.
通过对上述例子的分析,不难看出在利用分类讨论的思想解决问题时,一定要谨慎,因为某一部分的出错,可能会导致整个运算的错误.当然,能够运用到分类讨论法的题型还是相当多的,在这里就不一一列举了.
总之,分类讨论的思想在多个学科中都有十分广泛的应用.教师在培养学生的解题能力时,要在日常的教学过程中,慢慢地将这种方法渗透给学生,并注意让学生自己多在解题实践中进行运用.
參考文献:
[1]朴希兰. 分类讨论思想在高中数学教学中的应用[D].延边大学,2015.
[2]邵建平. 分类讨论思想在高中数学中的应用[J]. 数理化学习,2011,(10):2-3. [2017-09-15].
一、对分类讨论思想的认识
1.分类讨论思想的原理
在数学上经常会有这种情况:一道题因为受条件的限制,答案存在多种情况.在这种情况下,就要对题中的条件进行分析,然后加以分类,再逐步分类求解,最后再进行综合得出解.这就是通常意义上的分类讨论法.分类讨论法,是一种逻辑性很强的方法,它体现了化整为零、集零为整的思想.因为分类讨论法极具综合性、探索性,能够训练学生的思维能力,所以它在数学题的解题中有广泛的应用.[1]
2.分类讨论法的要求
在使用分类讨论法时,一般需要满足两个条件:一是要保证分类不遗漏;二是要保证分类不重复.在同时满足这两个条件时,才能科学、准确地使用分类讨论的方法.
3.分类讨论思想的原则
在使用分类讨论法时,必须遵循一定的原则进行.一般来说,我们在整个中学阶段使用以下四个原则:同一性原则、互斥性原则、相称性原则、层次性原则.同一性原则,即分类时要按照同一标准;互斥性原则,即分类后的每个子项目之间互不干涉互不相容;相称性原则,即分类的部分总和应当与没有分类前的总和相同;层次性原则,即分类要分层,有一级层次和二级层次之分.
二、分类讨论思想在高中数学解题中的应用
例1若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.
解析:设函数y=ax(a>0且a≠1)和函数y=x a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是相当于函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x a的图象有两个交点.
由图象可知,当01时,因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线y=x a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.
综上,实数a的取值范围是a>1.
例2已知双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为.
解析:(1)当双曲线焦点在x轴上时,
ba=34.
∴b2a2=c2-a2a2=e2-1=916.
∴e2=2516,e=54.
(2)当双曲线焦点在y轴上时,
ba=43.
∴b2a2=c2-a2a2=e2-1=169.
∴e2=259, e=53.
综上,所求离心率的值为53或54.
通过对上述例子的分析,不难看出在利用分类讨论的思想解决问题时,一定要谨慎,因为某一部分的出错,可能会导致整个运算的错误.当然,能够运用到分类讨论法的题型还是相当多的,在这里就不一一列举了.
总之,分类讨论的思想在多个学科中都有十分广泛的应用.教师在培养学生的解题能力时,要在日常的教学过程中,慢慢地将这种方法渗透给学生,并注意让学生自己多在解题实践中进行运用.
參考文献:
[1]朴希兰. 分类讨论思想在高中数学教学中的应用[D].延边大学,2015.
[2]邵建平. 分类讨论思想在高中数学中的应用[J]. 数理化学习,2011,(10):2-3. [2017-09-15].