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【中图分类号】G633.7 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）20-0201-02
0.引言
本文是高中阶段物理学习中由磁场模块的一道高考题所引发的一些思考。说到此次研究的起源，是由于在课堂上物理老师讲到一道高考题，引发了同学们的争论。本文是在此基础上对这道高考题的进一步思考，并提出了三点疑问与针对计算结果的三个猜想。以下便是本文的主要内容，所有的一切从一道高考题开始。
1.高考原题
这是2009年海南省物理单科考试中的16题，原题如下：
如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从D点射出磁场。不计重力，求：⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；⑵此匀强磁场区域的最小面积。
当时标准答案的解析及构图如下：（对于第一问，本文不再多加解释，直接来看第二问的解答）
（所构建的磁场为所示图中c1，c2两条圆弧所围区域）
解析：当偏转半径为a时，上边界是确定的，即以C为圆心，做由B到D的四分之一的圆弧。而下边界的确定是根据到达D点的距离为a的是以D为圆心a为半径的圆，经过C点，故偏转的圆心都在此圆弧上，最终构建如上图形，答案S0的面积为 。
2.针对原题的几点思考
从上面的解析中可以看出，答案上是将带电粒子在磁场中偏转的半径默认为正方形区域的半径从而得到了构建最小磁场的面积而用a表示。对此本文存在疑问，为什么偏转的半径一定是a？但重点却不在这里，本文只是将答案的解析当做一种利用题干已知条件的默认。但继此之后，本文又提出如下三个问题：
1）题目中怎么可以保证解析中的答案所构建的磁场面积最小？
2）满足题干条件的磁场构造方法是否唯一？
3）磁场是否是连续的，换句话说，粒子是否只能偏转一次？偏转多次结果如何？
就这几个问题，本文做进一步阐明与论证，在这里提出了另一种满足条件的磁场构建方法，如图：（为方便绘图，本文将a设为10，图3是构图过程，图4是最终成图。）
关于这种磁场构建的解释：可以构建这样一个磁场（同样默认粒子在磁场中偏转的偏转半径为a），使得从右边射入的粒子刚进入磁场就发生偏转，但偏过一定角度后就沿切线方向匀速直线射到左下D点（而且上边界，即从最右上角射入的粒子轨迹必定为完整的四分之一圆弧），同样满足题干条件。
就此，利用数学知识计算此种模型下磁场的面积（即构建的紫色的函数线y=ƒ（x）同上半圆弧所围成的面积，记作S1，计算推理过程如下：
[说明]：要计算磁场的面积，必定要得出本文所构建磁场的边界。而上边界是规则的圆弧，但下边界轨迹却是需要计算的，它是由无数个粒子出射的边界切点组成，所以本文为计算下边界的轨迹方程，就以D点作为坐标原点，DC为X轴，DA为Y轴建立平面直角坐标系，同时为便于计算，设粒子出射的切线与正方形底边夹角为θ。
可列出如下关系式：
X=a-asinθ ……①
Y=Xtanθ ……②
……③
由①②③可推得
令反解可得X=a-acost
当X=0时，cost=1，t=0
当X=a时，
所以
由此推理计算发现，本文所构建的这个磁场所求得的面积是与原高考题标准答案中的磁场面积相同。由此可以证明的首先是构建磁场的方法是不唯一的。但是，这个新的模型也不能直接证明这个磁场的面积是最小的，这只是符合条件的一种情况而已。（这是本文对于前两个问题的回答。）
3.基于计算结果的几点猜想及验证
【猜想一】根据上面近似巧合的结果，本文提出了些特殊的想法：如果如上所求的面积大小确实是最小的，从以上计算结果可猜想，在此区域内，如果保证粒子的初末运动状态一定（说明：本文所说的初末运动状态一定是指入射及出射的粒子整体所覆盖的区域一定，而并非所有粒子的轨迹一一对应都相同，像本文中，所有的粒子都是平行从右边框射入，并且从D射出，并在左，下边框的延长线所夹区域内以整体90度角射出。下同），而且粒子只偏转一次，无论如何发生偏转，都可以保证满足条件时所构造的磁场（磁场强度相同）的最小面积相同，且为定值。（猜想1）
【猜想二】以及本文可以推广，当所研究的这个正方形足够小，它可以是任何闭合曲面的单位，所以本文猜想，在任意闭合曲面中，当一束粒子它们的初末运动状态一定，则在此区域中可以构建一个磁场强度确定的磁场，而且满足条件的磁场最小面积都是定值。（猜想2，这样就可以回答第三个问题，即使多次偏转，也可以归结到偏转一次的情况。）
【猜想三】原题中这个模型并非特殊模型下的特殊情况，而可以当做一种普遍的模型，当把这个模型变得很小，缩小至单位面积，可以通过改变磁场强度，使得在此小单位内同样可以“控制”粒子的初末运动状态。所以，通过区域内磁通的改变，可以实现控制粒子的走向。反之，当粒子的初末运动状态相同时，固定区域内的磁通大小是一定的（猜想3）。
以上便是本文针对这个模型的三个猜想。
为了验证如上猜想，本文先很简单的将上面的两种模型结合，即设定，让粒子一部分以第一种偏转方式偏转，而另一部分粒子以第二种方式偏转。为了方便验证，而且本人数学水平有限，本文从第二种偏转方式入手来构建磁场。使以第二种方式偏转最上方边界的粒子的出射的切线和正方形的底边成30度角，这样就可以在这个特殊条件下构建这个磁场。为了便于观看，本文分成两部分作图，如下：（可以看到，上半部分的粒子，即直线H上方的粒子均以第一种方式偏转，则面积是c1，c3及c2上半部分虚线所围成的。而下半部分的粒子以第二种方式偏转，上边界即为曲线HI。所以，两部分面积的总和即为所构建磁场的总面积。
同样，本文将（仍设a=10，具体过程同理，故略），C1和C1所围成的面积（即上半部分剪切的面积）记作S2，PIC三点围成的面积（即下半部分的磁场面积）记作S3。经计算：
结果可知，S2>S3，相减后得数相差0.038。也就是说，即满足由D点射出的条件，磁场强度一定时磁场区域的面积并非是一个定值。（说明：上面的结果虽然不同，但本文认为，之前的猜想是在初末运动状态相同的条件下成立，但是在这里边界上的粒子以两种不同的方式偏转后轨迹不同，所以可能造成出射的粒子覆盖的区域不完全相同而有些相差，但这样的构造的磁场是符合原题干条件的）但在上半部分所剪切掉的面积S1大于在下半部分所要加的面积S2，故本文可以得出结论，之前所构建的磁场面积并非是最小的，虽说新构建的这个磁场面积也非一定是最小面积，但本文确实可以给出一个更优解，即如此构建的磁场满足条件而且区域面积较原标准答案更小。
综上，本文所研究，阐述，及猜想的内容到此接近尾声了，只是提出作者的一些真实的想法，亦或是“猜想”而已。
0.引言
本文是高中阶段物理学习中由磁场模块的一道高考题所引发的一些思考。说到此次研究的起源，是由于在课堂上物理老师讲到一道高考题，引发了同学们的争论。本文是在此基础上对这道高考题的进一步思考，并提出了三点疑问与针对计算结果的三个猜想。以下便是本文的主要内容，所有的一切从一道高考题开始。
1.高考原题
这是2009年海南省物理单科考试中的16题，原题如下：
如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从D点射出磁场。不计重力，求：⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；⑵此匀强磁场区域的最小面积。
当时标准答案的解析及构图如下：（对于第一问，本文不再多加解释，直接来看第二问的解答）
（所构建的磁场为所示图中c1，c2两条圆弧所围区域）
解析：当偏转半径为a时，上边界是确定的，即以C为圆心，做由B到D的四分之一的圆弧。而下边界的确定是根据到达D点的距离为a的是以D为圆心a为半径的圆，经过C点，故偏转的圆心都在此圆弧上，最终构建如上图形，答案S0的面积为 。
2.针对原题的几点思考
从上面的解析中可以看出，答案上是将带电粒子在磁场中偏转的半径默认为正方形区域的半径从而得到了构建最小磁场的面积而用a表示。对此本文存在疑问，为什么偏转的半径一定是a？但重点却不在这里，本文只是将答案的解析当做一种利用题干已知条件的默认。但继此之后，本文又提出如下三个问题：
1）题目中怎么可以保证解析中的答案所构建的磁场面积最小？
2）满足题干条件的磁场构造方法是否唯一？
3）磁场是否是连续的，换句话说，粒子是否只能偏转一次？偏转多次结果如何？
就这几个问题，本文做进一步阐明与论证，在这里提出了另一种满足条件的磁场构建方法，如图：（为方便绘图，本文将a设为10，图3是构图过程，图4是最终成图。）
关于这种磁场构建的解释：可以构建这样一个磁场（同样默认粒子在磁场中偏转的偏转半径为a），使得从右边射入的粒子刚进入磁场就发生偏转，但偏过一定角度后就沿切线方向匀速直线射到左下D点（而且上边界，即从最右上角射入的粒子轨迹必定为完整的四分之一圆弧），同样满足题干条件。
就此，利用数学知识计算此种模型下磁场的面积（即构建的紫色的函数线y=ƒ（x）同上半圆弧所围成的面积，记作S1，计算推理过程如下：
[说明]：要计算磁场的面积，必定要得出本文所构建磁场的边界。而上边界是规则的圆弧，但下边界轨迹却是需要计算的，它是由无数个粒子出射的边界切点组成，所以本文为计算下边界的轨迹方程，就以D点作为坐标原点，DC为X轴，DA为Y轴建立平面直角坐标系，同时为便于计算，设粒子出射的切线与正方形底边夹角为θ。
可列出如下关系式：
X=a-asinθ ……①
Y=Xtanθ ……②
……③
由①②③可推得
令反解可得X=a-acost
当X=0时，cost=1，t=0
当X=a时，
所以
由此推理计算发现，本文所构建的这个磁场所求得的面积是与原高考题标准答案中的磁场面积相同。由此可以证明的首先是构建磁场的方法是不唯一的。但是，这个新的模型也不能直接证明这个磁场的面积是最小的，这只是符合条件的一种情况而已。（这是本文对于前两个问题的回答。）
3.基于计算结果的几点猜想及验证
【猜想一】根据上面近似巧合的结果，本文提出了些特殊的想法：如果如上所求的面积大小确实是最小的，从以上计算结果可猜想，在此区域内，如果保证粒子的初末运动状态一定（说明：本文所说的初末运动状态一定是指入射及出射的粒子整体所覆盖的区域一定，而并非所有粒子的轨迹一一对应都相同，像本文中，所有的粒子都是平行从右边框射入，并且从D射出，并在左，下边框的延长线所夹区域内以整体90度角射出。下同），而且粒子只偏转一次，无论如何发生偏转，都可以保证满足条件时所构造的磁场（磁场强度相同）的最小面积相同，且为定值。（猜想1）
【猜想二】以及本文可以推广，当所研究的这个正方形足够小，它可以是任何闭合曲面的单位，所以本文猜想，在任意闭合曲面中，当一束粒子它们的初末运动状态一定，则在此区域中可以构建一个磁场强度确定的磁场，而且满足条件的磁场最小面积都是定值。（猜想2，这样就可以回答第三个问题，即使多次偏转，也可以归结到偏转一次的情况。）
【猜想三】原题中这个模型并非特殊模型下的特殊情况，而可以当做一种普遍的模型，当把这个模型变得很小，缩小至单位面积，可以通过改变磁场强度，使得在此小单位内同样可以“控制”粒子的初末运动状态。所以，通过区域内磁通的改变，可以实现控制粒子的走向。反之，当粒子的初末运动状态相同时，固定区域内的磁通大小是一定的（猜想3）。
以上便是本文针对这个模型的三个猜想。
为了验证如上猜想，本文先很简单的将上面的两种模型结合，即设定，让粒子一部分以第一种偏转方式偏转，而另一部分粒子以第二种方式偏转。为了方便验证，而且本人数学水平有限，本文从第二种偏转方式入手来构建磁场。使以第二种方式偏转最上方边界的粒子的出射的切线和正方形的底边成30度角，这样就可以在这个特殊条件下构建这个磁场。为了便于观看，本文分成两部分作图，如下：（可以看到，上半部分的粒子，即直线H上方的粒子均以第一种方式偏转，则面积是c1，c3及c2上半部分虚线所围成的。而下半部分的粒子以第二种方式偏转，上边界即为曲线HI。所以，两部分面积的总和即为所构建磁场的总面积。
同样，本文将（仍设a=10，具体过程同理，故略），C1和C1所围成的面积（即上半部分剪切的面积）记作S2，PIC三点围成的面积（即下半部分的磁场面积）记作S3。经计算：
结果可知，S2>S3，相减后得数相差0.038。也就是说，即满足由D点射出的条件，磁场强度一定时磁场区域的面积并非是一个定值。（说明：上面的结果虽然不同，但本文认为，之前的猜想是在初末运动状态相同的条件下成立，但是在这里边界上的粒子以两种不同的方式偏转后轨迹不同，所以可能造成出射的粒子覆盖的区域不完全相同而有些相差，但这样的构造的磁场是符合原题干条件的）但在上半部分所剪切掉的面积S1大于在下半部分所要加的面积S2，故本文可以得出结论，之前所构建的磁场面积并非是最小的，虽说新构建的这个磁场面积也非一定是最小面积，但本文确实可以给出一个更优解，即如此构建的磁场满足条件而且区域面积较原标准答案更小。
综上，本文所研究，阐述，及猜想的内容到此接近尾声了，只是提出作者的一些真实的想法，亦或是“猜想”而已。