论文部分内容阅读
概率是中学数学重要知识板块，是高考解答题中考查的热点内容之一。概率运算常用公式有（1）等可能事件的概率P（A）＝，（2）互斥事件有一个发生的概率P（A＋B）＝P（A）＋P（B），（3）相互独立事件同时发生的概率P（AB）＝P（A）P（B），（4）n次独立重复试验中A发生k次的概率Pn(k)=C Pk(1-P)n-k，在公式使用时要注意准确把握题意的内涵，正确使用公式。本文主要例谈概率与其它知识的整合问题，目的是培养学生的解题能力与创新能力。
一、概率与解析几何相整合
例1已知当椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，椭圆的面积是πab。现给定椭圆 + =1，求解下列问题：
（1）若m、n是实数，且m≤5,n≤4，求点P（m，n）落在椭圆内的概率及点P落在椭圆上的概率；
（2）若m、n是整数，且m≤5,n≤4，求点P（m，n）落在椭圆外的概率及点P落在椭圆上的概率。
解：（1）当m、n是实数，且m≤5,n≤4时，所有形如（m，n）的点覆盖的图形的面积是80；椭圆围成的区域在其内部，且面积为20π。故点P落在椭圆内部的概率为 = 。由于椭圆是条曲线，线上的点所占的面积为0，故点P落在椭圆上的概率为0。
（2）若m、n是整数，且m≤5,n≤4时，点P共有99个，其中点（0，4）、（0，－4）、（5,0）（－5,0）四点落在椭圆上，故点P落在椭圆上的概率为 ；当m>0，n>0时，点（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（4,3）、（4,4）、（3,4）、（2,4）、（1,4）共9点在椭圆外。由对称性知，当m、n是整数，且m≤5,n≤4时，共有4×9＝36个点在椭圆外，故点P落在椭圆外的概率为 = 。
二、概率与线性规划相整合
例2甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的，如果甲船停泊的时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中任意一艘都不需要等待码头空出的概率。
分析：设甲、乙两船到达码头的时刻为x与y，则0≤x≤240≤y≤24所表示的平面区域的面积为区域D的测度，事件"任意一艘都不需要等待码头空出"发生，则当且仅当甲比乙早到达4小时以上或乙比甲早到达2小时以上，即点P（x，y）满足y-x≥4或x-y≥2，如图非阴影部分的面积为区域d的测度，故P（A）＝ = =
评：本题中有两个独立的变量，即两船到达时刻组成的数对（x，y）与平面区域上的点对应，通过线性规划，把数对问题转化为直观的平面区域面积问题，巧解几何概型的概率。
题目解答中d的测度应为非阴影部分测度，结果没有问题。或者把阴影标记为上下两个三角形。
三、概率与函数、方程、不等式相整合
例3抛掷红、蓝两枚六面编号为1-6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数y=x2+mx+
n的一次项系数m和常数项n的值
（1）问这样可以得到多少个不同形式的二次函数？
（2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点恰好在x轴上的概率是多少？并说明理由。
解：（1）由于骰子是质地均匀的，故哪个面朝上的机会是匀等的，所以m与n都有6种不同的结果，则6×6＝36个不同形式的二次函数。
（2）因为二次函数图象的顶点在x轴上，所以⊿＝0，即m2-4n=0,（其中m、n都为1－6的整数）根据m与n的关系式知，当n取1－6中的完全平方数时上式才有可能成立，故n的值只有1与4，通过计算得n=1,m=2或n=4,m=4,故得到二次函数图象顶点恰好在x轴上的概率为P（A）＝ = 。
评：本题以概率问题为背影，着重考查二次函数的有关知识，题目新颖，巧妙地把概率与函数相结合。有兴趣的同学还可以计算二次函数图象与x轴无交点、有两个交点的概率。
四、概率与数列相整合
例4某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知的按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是0.5，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ， ；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ， 。记第n（nN,n≥1）次按下按钮后出现红球的概率为Pn。（1）求P2的值；（2）当nN,n≥2时，求用Pn-1表示Pn的表达式，并求Pn。
评：用数列中的递推思想，构造等比数列法求概率问题，体现了数列与概率知识的网络交汇性，综合性，有利于学生解题能力与创新能力的培养。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、概率与解析几何相整合
例1已知当椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，椭圆的面积是πab。现给定椭圆 + =1，求解下列问题：
（1）若m、n是实数，且m≤5,n≤4，求点P（m，n）落在椭圆内的概率及点P落在椭圆上的概率；
（2）若m、n是整数，且m≤5,n≤4，求点P（m，n）落在椭圆外的概率及点P落在椭圆上的概率。
解：（1）当m、n是实数，且m≤5,n≤4时，所有形如（m，n）的点覆盖的图形的面积是80；椭圆围成的区域在其内部，且面积为20π。故点P落在椭圆内部的概率为 = 。由于椭圆是条曲线，线上的点所占的面积为0，故点P落在椭圆上的概率为0。
（2）若m、n是整数，且m≤5,n≤4时，点P共有99个，其中点（0，4）、（0，－4）、（5,0）（－5,0）四点落在椭圆上，故点P落在椭圆上的概率为 ；当m>0，n>0时，点（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（4,3）、（4,4）、（3,4）、（2,4）、（1,4）共9点在椭圆外。由对称性知，当m、n是整数，且m≤5,n≤4时，共有4×9＝36个点在椭圆外，故点P落在椭圆外的概率为 = 。
二、概率与线性规划相整合
例2甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的，如果甲船停泊的时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中任意一艘都不需要等待码头空出的概率。
分析：设甲、乙两船到达码头的时刻为x与y，则0≤x≤240≤y≤24所表示的平面区域的面积为区域D的测度，事件"任意一艘都不需要等待码头空出"发生，则当且仅当甲比乙早到达4小时以上或乙比甲早到达2小时以上，即点P（x，y）满足y-x≥4或x-y≥2，如图非阴影部分的面积为区域d的测度，故P（A）＝ = =
评：本题中有两个独立的变量，即两船到达时刻组成的数对（x，y）与平面区域上的点对应，通过线性规划，把数对问题转化为直观的平面区域面积问题，巧解几何概型的概率。
题目解答中d的测度应为非阴影部分测度，结果没有问题。或者把阴影标记为上下两个三角形。
三、概率与函数、方程、不等式相整合
例3抛掷红、蓝两枚六面编号为1-6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数y=x2+mx+
n的一次项系数m和常数项n的值
（1）问这样可以得到多少个不同形式的二次函数？
（2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点恰好在x轴上的概率是多少？并说明理由。
解：（1）由于骰子是质地均匀的，故哪个面朝上的机会是匀等的，所以m与n都有6种不同的结果，则6×6＝36个不同形式的二次函数。
（2）因为二次函数图象的顶点在x轴上，所以⊿＝0，即m2-4n=0,（其中m、n都为1－6的整数）根据m与n的关系式知，当n取1－6中的完全平方数时上式才有可能成立，故n的值只有1与4，通过计算得n=1,m=2或n=4,m=4,故得到二次函数图象顶点恰好在x轴上的概率为P（A）＝ = 。
评：本题以概率问题为背影，着重考查二次函数的有关知识，题目新颖，巧妙地把概率与函数相结合。有兴趣的同学还可以计算二次函数图象与x轴无交点、有两个交点的概率。
四、概率与数列相整合
例4某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知的按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是0.5，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ， ；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ， 。记第n（nN,n≥1）次按下按钮后出现红球的概率为Pn。（1）求P2的值；（2）当nN,n≥2时，求用Pn-1表示Pn的表达式，并求Pn。
评：用数列中的递推思想，构造等比数列法求概率问题，体现了数列与概率知识的网络交汇性，综合性，有利于学生解题能力与创新能力的培养。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”