性质1过抛物线[y2=2px(p>0)]的对称轴上一点[Aa,0a>0]的直线与抛物线相交于[M、N]两点，则这两点的纵坐标之积为定值[-2ap]．
　　证明设直线[MN]的方程为[x=my+a,M(x1,y1),][N(x2,y2),]由[x=my+a,y2=2px]消去[x]，
　　可得[y2-2mpy-2ap][=0] ,
　　从而有[y1+y2=2mp,y1y2=-2ap,] [(∗)]
　　即这两点的纵坐标之积为定值[-2ap]．
　　性质2过抛物线[y2=2px(p>0)]的对称轴上一点[Aa,0a>0]的直线与抛物线相交于[M、N]两点，抛物线在[M、N]两点处的切线相交于点[Q]，则点[Q]在定直线[l: x=-a]上.
　　证明抛物线在[M、N]两点处的切线分别为
　　[yy1=p(x+x1)],[yy2=p(x+x2)],
　　与[(∗)]联立解得[x=-a,y=mp]，
　　即[Q]点在定直线[l:x=-a]上.
　　性质3过抛物线[y2=2px(p>0)]的对称轴上一点[Aa,0a>0]的直线与抛物线相交于[M、N]两点，自[M、N]向直线[l:x=-a]作垂线，垂足分别为[M1、N1],则[M、O、N1]三点共线．
　　
　　证明由[(∗)]知[y1+y2=2mp,y1y2=-2ap],
　　[N1]([-a],[y2]), [y21=2px1]，
　　[kOM=y1x1=2py1=2py2y1y2=2py2-2ap=y2-a=kON1],
　　所以直线[MN1]经过原点[O]，即[M、O、N1]三点共线．
　　性质4过原点的直线与抛物线[y2=2px(p>0)]相交于点[M]，与直线[l:x=-a][(a>0)]相交于点[N1]，自[N1]作[x]轴的平行线[NN1]与抛物线相交于点[N],则直线[MN]过定点[A(a,0)]．
　　
　　证明设直线[OM]为[y=kx(k≠0)]，
　　联立[y=kx,y2=2px]，
　　解得[x=2pk2],[y=2pk,] 即[M(2pk2,2pk)].
　　联立[y=kx,x=-a]，得[N1(-a,-ak)]，
　　故[N(a2k22p,-ak)]，[AM=(2pk2-a,2pk)]，
　　[AN=(a2k22p-a,-ak)]，
　　[(2pk2-a)×(-ak)-(a2k22p-a)×2pk=-2apk+a2k-a2k+2apk=0,]
　　故[AM]∥[AN],[A、M、N]三点共线，
　　即直线[MN]过定点[A]．
　　性质5过抛物线[y2=2px(p>0)]的对称轴上一点[A(-a,0)(a>0)]的直线与抛物线相交于[M、N]两点，点[N]关于[x]轴的对称点为[N1]，则[MN1]直线过定点[Q(a,0)]．
　　
　　证明设直线[MN]的方程为[x=my-a]，
　　[M(x1,y1),N(x2,y2)]，则有[N1(x2,-y2)]，
　　联立[x=my-a]，[y2=2px(p>0)]，
　　消去[x]可得[y2-2mpy+2ap=0]，
　　从而有[y1+y2=2mp,y1y2=2ap.]
　　[QM=(x1-a,y1),QN1=(x2-a,-y2)]，
　　[(x1-a)×(-y2)-(x2-a)×y1=-x1y2-x2y1+ay2+ay1=-y212py2-y222py1+ay2+ay1]
　　[=(y1+y2)(-y1y22p+a)=(y1+y2)(-2ap2p+a)=0]，
　　故[QM]∥[QN1],[M、Q、N1]三点共线，
　　即直线[MN1]过定点[Q]．
　　性质6过抛物线[y2=2px(p>0)]的对称轴上一点[A(-a,0)(a>0)]作抛物线的切线，则切点的横坐标为[a]．
　　证明设直线[AB]的方程为
　　[x=my-a]，切点[B(xB,yB)]，
　　联立[x=my-a]，[y2=2px(p>0)]，
　　消去[x]可得[y2-2mpy+2ap=0]，
　　由[Δ=4m2p2-8ap=0]得[m2=2ap]，
　　代入方程得[y1=y2=mp]，
　　即[yB=mp]，[xB=y2B2p=a]，即切点的横坐标为[a].
　　性质7过抛物线[y2=2px(p>0)]的对称轴上一点[Aa,0a>0]的直线与抛物线相交于[M、N]两点，点[Q]是直线[l:x=-a]上任意一点，则直线[QM、QA、QN]的斜率成等差数列．
　　证明由[(∗)]知[y1+y2=2mp,y1y2=-2ap],[Q(-a,n)],
　　
　　直线[QM]的斜率[kQM]=[y1-nx1+a] ,
　　直线[QN]的斜率[kQN]=[y2-nx2+a],
　　直线[QA]的斜率[kQA]=[0-na+a=-n2a].
　　[kQM]+[kQN]=[y1-nx1+a]+[y2-nx2+a]
　　[=y1-ny212p+a+y2-ny222p+a=2p(y1-ny21-y1y2+y2-ny22-y1y2)]
　　[=2p×n(y1-y2)y1y2(y1-y2)=2p×ny1y2=2p×n-2ap]
　　[=-na],
　　所以[kQM]+[kQN]=[2kQA]，
　　即直线[QM、QA、QN]的斜率成等差数列．