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【摘 要】本文基于1999年1月---2012年6月的月度居民消费价格指数，建立自回归模型，对CPI的波动性进行检验，发现存在明显的ARCH效应。在此基础上建立了ARCH（3）和GARCH（1，1）模型，解释了月度CPI的波动性，并且样本区间预测结果良好。
【关键词】中国居民消费者价格指数；自回归模型；ARCH模型；预测
自1982年Engle提出条件异方差模型之后，ARCH模型及其扩展模型被广泛运用于股票市场、货币市场、外汇市场等的研究，揭示股票价格、收益率、汇率等时间序列的波动性并加以预测。居民消费价格指数CPI反映居民家庭购买代表性的消费品及服务水平价格变动情况，是衡量通货膨胀的主要指标。已有学者运用ARCH模型对通货膨胀进行研究，本文在此基础上检验我国居民消费价格指数是否存在ARCH效应，并建立相应的模型实证分析。
一、ARCH模型理论简述
1. ARCH（p）模型
首先定义时间序列：；
其中，是独立同分布的随机变量；且。
ARCH模型的基本思想是在以前信息集下，某一时刻一个干扰项的发生是服从正态分布。随时间变化的方差是过去有限项干扰项平方的线性组合（即为自回归部分）。这样就构成了自回归条件异方差模型。
2. GARCH（p，q）模型
GARCH模型是ARCH模型的扩展形式，即在ARCH模型中加入了的自回归部分。
GARCH模型更适合描述高阶的条件异方差模型，因而应用更广泛。
二、数据选取及ARCH模型实证分析
本文选取中国居民消费价格指数的月度数据，时间跨度为1999年1月——2012年6月，数据来自中国统计年鉴。本文模型均在STATA12.0中实现，预测部分使用Eviews7.0。
首先，定义时间序列和，分别对居民消费价格指数序列和其一阶差分序列进行单位根检验。由于的DF統计量为-1.576，均大于1%、5%、10%显著性水平下的临界值，因此序列是非平稳的时间序列。的DF统计量-7.293小于1%的显著性水平下的临界值，可知序列是平稳序列。
考虑对建立自回归模型。用信息准则来确定自回归模型的阶数。信息准则得出的结果表明应该选择AR（2）模型。
该模型的常数项均通过了10%的显著性检验，一阶和二阶滞后项的系数通过了1%的显著性水平下的检验。由于二阶滞后项系数仍显著不为0，需检验OLS残差平方是否存在条件异方差，即是否存在ARCH效应。多种检验结果表明存在ARCH效应，同时使用信息准则来确定阶数。
首先，对方程（1）进行条件异方差ARCH LM检验。检验结果，拒绝不存在ARCH（5）效应的原假设。其次，通过残差平方的自相关图、偏自相关图以及Q检验，均显示OLS残差平方序列存在自相关，因此扰动项存在条件异方差，即存在ARCH效应。因而需要建立ARCH（p）模型。为确定阶数p，估计残差序列的自回归阶数。信息准则的结果表明应建立ARCH（3）模型。
模型如下：
得到回归方程如下：
在均值方程中，常数项未通过显著性检验，在方差方程中，项的系数未通过显著性检验。建立更简洁的GRACH（1，1）模型，模型如下：
方差方程中ARCH和GARCH项的系数都是显著的，表明该模型比较好地拟合数据。对该方程进行ARCH LM检验。其中P值较大，接近1，不能拒绝原假设，即认为GARCH（1，1）模型的残差序列不存在ARCH效应，消除了方程（1）的残差序列的ARCH效应。
利用GARCH（1，1）模型对样本区间的月度CPI进行线性预测，得到的预测值与真实值很接近，模型预测效果良好。使用Eviews7.0对样本区间进行静态和动态预测。静态预测下，Theil不等式系数0.001656、平均绝对百分误差MAPE为0.2935，预测效果较好。动态预测下，Theil不等式系数0.02、MAPE为3.09，预测效果较静态效果差。
在以上的ARCH（3）和GARCH（1，1）模型中，均假设扰动项服从正态分布。但是月度居民消费价格指数可能不满足该条件。对比CPI的核密度图与正态分布图，CPI的核密度图可能存在厚尾（尤其在分布的左端）、偏峰分布。故对扰动项的正态性进行统计检验，J-B检验、偏度检验和峰度检验的结果表明拒绝“扰动项服从正态分布的原假设”。
因此，假设扰动项服从t分布，重新估计GARCH（1，1）模型。
得到均值方程
方差方程
比较ARCH（3）、GARCH（1，1）以及GARCH（1，1）t的回归结果，发现所得系数与OLS估计下得到的方程（1）的系数不同。对GARCH（1，1）模型的条件方差进行预测，得到条件方差的时间趋势图。该图表明月度CPI的条件方差经常波动，且波动幅度较大。如果仅使用OLS估计，该方法假定方差为常数，即不会随着时间变动，故无法得到方差变动的信息。ARCH和GARCH模型较好的描述了时间序列的扰动项的方差会受到过去的时间序列及其方差的影响的情况。
三、结论及启示
实证结果表明，我国居民消费价格指数存在条件异方差现象。经过信息准则确定了GARCH（1，1）模型，模型的区间预测数据拟合较好、静态预测效果良好，对条件方差的预测表明ARCH 模型适合于居民消费价格指数这类时间序列数据的分析。
本文的不足之处在于未进行样本外预测。因为CPI是经济运行状况的指标之一，根据所建立的模型对未来CPI指标预测有助于及时追踪CPI的变化，反映经济运行的情况。
参考文献：
[1]高铁梅.计量经济学分析方法与建模[M].北京：清华大学出版社，2005.
[2]周瑞芳.居民消费价格指数的ARCH模型及实证分析[J].科技信息，2008（23）：15-16.
[3]杨卫涛.基于ARCH模型的河南省居民消费价格指数实证分析[J].河南工业大学学报（社会科学版），2011（6）.
[4]张玉春.中国股市收益的ARCH模型与实证分析[J].首都经济贸易大学学报，2006（1）.
【关键词】中国居民消费者价格指数；自回归模型；ARCH模型；预测
自1982年Engle提出条件异方差模型之后，ARCH模型及其扩展模型被广泛运用于股票市场、货币市场、外汇市场等的研究，揭示股票价格、收益率、汇率等时间序列的波动性并加以预测。居民消费价格指数CPI反映居民家庭购买代表性的消费品及服务水平价格变动情况，是衡量通货膨胀的主要指标。已有学者运用ARCH模型对通货膨胀进行研究，本文在此基础上检验我国居民消费价格指数是否存在ARCH效应，并建立相应的模型实证分析。
一、ARCH模型理论简述
1. ARCH（p）模型
首先定义时间序列：；
其中，是独立同分布的随机变量；且。
ARCH模型的基本思想是在以前信息集下，某一时刻一个干扰项的发生是服从正态分布。随时间变化的方差是过去有限项干扰项平方的线性组合（即为自回归部分）。这样就构成了自回归条件异方差模型。
2. GARCH（p，q）模型
GARCH模型是ARCH模型的扩展形式，即在ARCH模型中加入了的自回归部分。
GARCH模型更适合描述高阶的条件异方差模型，因而应用更广泛。
二、数据选取及ARCH模型实证分析
本文选取中国居民消费价格指数的月度数据，时间跨度为1999年1月——2012年6月，数据来自中国统计年鉴。本文模型均在STATA12.0中实现，预测部分使用Eviews7.0。
首先，定义时间序列和，分别对居民消费价格指数序列和其一阶差分序列进行单位根检验。由于的DF統计量为-1.576，均大于1%、5%、10%显著性水平下的临界值，因此序列是非平稳的时间序列。的DF统计量-7.293小于1%的显著性水平下的临界值，可知序列是平稳序列。
考虑对建立自回归模型。用信息准则来确定自回归模型的阶数。信息准则得出的结果表明应该选择AR（2）模型。
该模型的常数项均通过了10%的显著性检验，一阶和二阶滞后项的系数通过了1%的显著性水平下的检验。由于二阶滞后项系数仍显著不为0，需检验OLS残差平方是否存在条件异方差，即是否存在ARCH效应。多种检验结果表明存在ARCH效应，同时使用信息准则来确定阶数。
首先，对方程（1）进行条件异方差ARCH LM检验。检验结果，拒绝不存在ARCH（5）效应的原假设。其次，通过残差平方的自相关图、偏自相关图以及Q检验，均显示OLS残差平方序列存在自相关，因此扰动项存在条件异方差，即存在ARCH效应。因而需要建立ARCH（p）模型。为确定阶数p，估计残差序列的自回归阶数。信息准则的结果表明应建立ARCH（3）模型。
模型如下：
得到回归方程如下：
在均值方程中，常数项未通过显著性检验，在方差方程中，项的系数未通过显著性检验。建立更简洁的GRACH（1，1）模型，模型如下：
方差方程中ARCH和GARCH项的系数都是显著的，表明该模型比较好地拟合数据。对该方程进行ARCH LM检验。其中P值较大，接近1，不能拒绝原假设，即认为GARCH（1，1）模型的残差序列不存在ARCH效应，消除了方程（1）的残差序列的ARCH效应。
利用GARCH（1，1）模型对样本区间的月度CPI进行线性预测，得到的预测值与真实值很接近，模型预测效果良好。使用Eviews7.0对样本区间进行静态和动态预测。静态预测下，Theil不等式系数0.001656、平均绝对百分误差MAPE为0.2935，预测效果较好。动态预测下，Theil不等式系数0.02、MAPE为3.09，预测效果较静态效果差。
在以上的ARCH（3）和GARCH（1，1）模型中，均假设扰动项服从正态分布。但是月度居民消费价格指数可能不满足该条件。对比CPI的核密度图与正态分布图，CPI的核密度图可能存在厚尾（尤其在分布的左端）、偏峰分布。故对扰动项的正态性进行统计检验，J-B检验、偏度检验和峰度检验的结果表明拒绝“扰动项服从正态分布的原假设”。
因此，假设扰动项服从t分布，重新估计GARCH（1，1）模型。
得到均值方程
方差方程
比较ARCH（3）、GARCH（1，1）以及GARCH（1，1）t的回归结果，发现所得系数与OLS估计下得到的方程（1）的系数不同。对GARCH（1，1）模型的条件方差进行预测，得到条件方差的时间趋势图。该图表明月度CPI的条件方差经常波动，且波动幅度较大。如果仅使用OLS估计，该方法假定方差为常数，即不会随着时间变动，故无法得到方差变动的信息。ARCH和GARCH模型较好的描述了时间序列的扰动项的方差会受到过去的时间序列及其方差的影响的情况。
三、结论及启示
实证结果表明，我国居民消费价格指数存在条件异方差现象。经过信息准则确定了GARCH（1，1）模型，模型的区间预测数据拟合较好、静态预测效果良好，对条件方差的预测表明ARCH 模型适合于居民消费价格指数这类时间序列数据的分析。
本文的不足之处在于未进行样本外预测。因为CPI是经济运行状况的指标之一，根据所建立的模型对未来CPI指标预测有助于及时追踪CPI的变化，反映经济运行的情况。
参考文献：
[1]高铁梅.计量经济学分析方法与建模[M].北京：清华大学出版社，2005.
[2]周瑞芳.居民消费价格指数的ARCH模型及实证分析[J].科技信息，2008（23）：15-16.
[3]杨卫涛.基于ARCH模型的河南省居民消费价格指数实证分析[J].河南工业大学学报（社会科学版），2011（6）.
[4]张玉春.中国股市收益的ARCH模型与实证分析[J].首都经济贸易大学学报，2006（1）.