椭圆是圆锥曲线这一章节中最重要的内容之一，由于对其概念、性质理解不够透彻，同学们解题过程中容易产生错误，以下对一些常见错误进行剖析，帮助大家更准确地理解椭圆的概念、性质，走出解题误区.
　　对椭圆的第一定义理解不深，忽视定义中的限制条件
　　例1 若平面内动点P到两定点[F1（-3，0）、F2（3，0）]的距离之和为6，则动点P的轨迹为（ ）
　　A. 椭圆 B. 圆
　　C. 一条线段 D. 以上答案都不对
　　错解 根据椭圆的定义可以判断出动点P的轨迹为椭圆，选A.
　　解析 错解中忽视了椭圆第一定义中的限制条件：点P到两定点[F1（-3，0），F2（3，0）]的距离之和[2a>F1F2]，因为题中[PF1+PF2=6=F1F2]，所以点P的轨迹是线段[F1F2]，选C.
　　点拨 若[PF1+PF2=2a]，[F1F2=2c]，当[2a>2c]时，P点的轨迹是椭圆，当[2a=2c]时，P点的轨迹是线段[F1F2]，当[2a<2c]时，P点的轨迹不存在.
　　[对椭圆的两种标准方程混淆不清，忽视焦点位置的讨论]
　　例2 若椭圆C：[x2k+8+y29=1]的离心率[e=12]，求实数[k]的值.
　　错解 由题意得[a2=k+8，b2=9，]
　　[∴c2=a2-b2=k-1]，
　　由[e=12]得[k-1k+8=12]，
　　即[k=4.]
　　解析 从题目中的标准方程无法判断焦点是在[x]轴上还是在[y]轴上，所以必须分类讨论.
　　当焦点在[x]轴上时，
　　[a2=k+8，b2=9]，由[k-1k+8=12?k=4]，
　　当焦点在[y]轴上时，
　　[a2=9，b2=k+8]由[1-k9=12?k=-54]，
　　即[k=4]或[-54].
　　点拨 对于椭圆C：[x2m2+y2n2=1（m>0，n>0，m≠n）]，当[m>n]时，焦点在[x]轴上，当[m　　[处理与椭圆相关的最值问题时，忽视对变量范围的讨论]
　　例3 已知椭圆C：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率为[22]，若点[N（0，3）]到椭圆上的点的最远距离为[52]，求椭圆[C]的方程.
　　错解1 由[e=ca=22]知[a2=2b2=2c2]，
　　可设椭圆方程为：[x22b2+y2b2=1]，
　　结合图形观察知：椭圆的下顶点[（0，-b）]到[N（0，3）]的距离最远，
　　即[b+3=52]，
　　[∴b=52-3]，
　　[∴]椭圆[C]的方程是：
　　[x2118-602+y259-302=1].
　　错解2 由[e=ca=22，]知[a2=2b2=2c2]，
　　可设椭圆方程是：[x22b2+y2b2=1].
　　设[H（x，y）]为椭圆上任意一点，即[x2+2y2=2b2]，
　　[∴HN2=x2+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18]，
　　[∴y=-3]时，
　　[HNmax=2b2+18]=[52]，
　　[∴b=4]，
　　此时，椭圆方程为：[x232+y216=1].
　　解析 错解1中，椭圆上到[N（0，3）]的距离最远的点无法通过观察图象断定就是点[（0，-b）]，必须通过严格计算得出；错解2中，对[HN2=-（y+3）2+2b2+18]中的变量[y]没有注意有隐含限制条件：[-b≤y≤b]，所以必须讨论-3是否在区间[[-b，b]]上，正解如下：
　　若[b≥3]，则[y=-3]时，[HNmax=2b2+18=52]，
　　[∴b=4]，椭圆方程是：[x232+y216=1]，
　　若[0　　[HNmax=b+3=52]，
　　[∴b=52-3>3]，矛盾，舍去.
　　综上：椭圆C的方程是：[x232+y216=1].
　　点拨 处理与椭圆有关的最值问题时，不能结合图形想当然地得出结论，必须通过定量计算得出正确答案，在计算中还要特别注意变量隐含的限制条件，注意分类讨论.
　　[分析椭圆与二次曲线的交点问题时，忽视变量范围的限制]
　　例4 已知椭圆：[3x2+2y2=3]与圆：（x+1）2+y2=k（k>0）恒有交点，求实数[k]的取值范围.
　　错解 由[3x2+2y2=3，（x+1）2+y2=k]消去[y]得：x2-4x+2k-8=0
　　[∴k>0，Δ=16-4（2k-8）≥0?0　　即[k]的取值范围是[（0，6]].
　　解析 [Δ≥0]只能保证方程x2-4x+2k-8=0有解，而不能保证原方程组有解，因为原方程组中，椭圆方程隐含条件-1≤x≤1，而x2-4x+2k-8=0中看不到这个限制条件，消去[y]后，应等价于“方程x2-4x+2k-8=0在[x∈[-1，1]]有解”，可设[f（x）=x2-4x+2k-8，]所以[f（x）]的对称轴为[x=2]，要使方程[x2-4x+2k-8=0]在[x∈[-1，1]]有解，结合图形只需：[f（-1）≥0，f（1）≤0?k≥32，k≤112?32≤k≤112]，
　　[∴]实数[k]的取值范围是[[32，112]]. 　　点拨 椭圆[x2m2]+[y2n2]=1（m>0，n>0，m≠n）中有：-m≤x≤m，
　　-n≤y≤n，要特别注意椭圆方程中隐含的变量的限制范围，消元后的方程要与原方程组等价.
　　[在讨论直线与椭圆的位置关系中，忽视对判别式的讨论]
　　例5 已知椭圆C：[x24+y23=1]，经过点[P（2，2）]能否作直线[m]，使得[m]与所给椭圆交于两个不同的点[Q1]和[Q2]，且[P]为[Q1Q2]的中点？这样的直线[m]如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
　　错解1 假设直线[m]存在，则由题意知[m]不垂直[x]轴，可设[m]的方程为：[y-2=k（x-2）]，
　　设[Q1]，[Q2]的坐标分别为[（x1，y1），（x2，y2）].
　　由[y-2=k（x-2）x24+y23=1]
　　消去[y]得：
　　[（4k2+3）x2+16k（1-k）x+16k2-32k+4=0].
　　由韦达定理知：[x1+x2=16k（k-1）4k2+3]，
　　又[Q1Q2]的中点[P]为[（2，2）]，可得
　　[x1+x22=8k（k-1）4k2+3=2]，
　　解得[k=-34]，
　　[∴y-2=-34（x-2）]，即[3x+4y-14=0].
　　错解2 假设直线[m]存在，则由题意知[m]不垂直[x]轴，可设[m]的方程为[y-2=k（x-2）]，
　　设[Q1]，[Q2]的坐标分别为[（x1，y1），（x2，y2）].
　　则[x214+y213=1，x224+y223=1]，
　　两式相减得：[3（x1+x2）?（x1-x2）+4（y1+y2）?（y1-y2）=0].
　　[∵][Q1Q2]的中点为[P][（2，2）]，
　　[∴x1+x2=y1+y2=4]，
　　[∴y1-y2x1-x2=-34]，即[k=-34]，
　　[∴]直线方程为：[y-2=-34（x-2）]，
　　即[3x+4y-14=0].
　　解析 画出椭圆图形，可知P在椭圆外，显然满足条件的直线[m]不存在. 从数的角度看：
　　[3x+4y-14=0，x24+y23=1，]
　　消去[y]得：[21x2-84x+148=0]，
　　[∵Δ=-5376<0]，
　　即直线[m]与椭圆没有交点，所以不存在满足条件的直线[m].
　　点拨 当题目中出现“直线与椭圆交于不同的两点”这一条件时，不管是用“韦达定理”，还是用“代入相减法”解题，都不要忘了检验“[Δ>0]”.
　　[对椭圆的第二定义理解不深刻，照搬公式出错]
　　例6 动点M与定点F（3，0）的距离和它到定直线[l][∶][x=9]的距离的比为1[∶]2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
　　错解 由椭圆的第二定义知，F（3，0）为椭圆的一个焦点，[x=8]为对应的准线，
　　[∴c=3，a2c=9，?a2=27，b2=18.]
　　[∴]点M的轨迹方程是：[x227+y218=1]，轨迹是椭圆.
　　解析 由椭圆的第二定义知F与[l]是椭圆的焦点和对应的准线，但是题中的椭圆的中心不一定在原点，所以[c=3]且[a2c=9]是错误的，正解如下：
　　[a2c-c=9-3=6，ca=12，?c=2，a=4.]
　　[∴]结合图形可知椭圆的中心为（1.0）.
　　[∴]点M的轨迹方程是[（x-1）216+y212=1]，轨迹是椭圆.
　　点拨 在椭圆的中心位置无法确定时，不能直接套用焦点坐标和准线公式.
　　[忽视椭圆定义的几何性质及平面几何知识在解题中的应用，陷入繁杂的代数计算中]
　　例7 已知定点[A（4，0）]，点[B（2，2）]是椭圆[x225+y29=1]内部的一点，M是椭圆上一动点，求[MA+MB]的取值范围.
　　错解 欲使[MA+MB]最大或最小，考虑到动点M在椭圆上，[A（4，0）]为椭圆的右焦点，结合图形，当M是左顶点时，[MA]最大，[MA+MB]的最大值是[9+53；]当M是右顶点时，[MA]最小，[MA+MB]的最小值是[1+13].
　　解析 当M为左顶点时，[MA]最大，[MA+MB]不一定最大；当N为右顶点时，[MA]最小，[MA+MB]不一定最小.
　　正解应设左焦点为F1，
　　由[a2=25]知[MF1+MF2=10]，
　　因此[MA+MB]=[10+MB-MF1]，问题转化为求椭圆上一点到B，F1两点距离之差的最大值与最小值，连B，F1并延长交椭圆于两点，其一使[MB-MF1]最大，另一个使[MB-MF1]最小，则[MA+MB]的最大值为[10+210]，最小值为[10-210].
　　同学们在解椭圆相关试题时，一定要注意定义、变量范围、判别式及焦点位置等条件限制，从而有效规避错误解答.