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【摘要】近年来我国的债券市场发展迅猛，伴随着利率的市场化改革，我国国债发行规模和品种数量也在不断地扩大。因而对于我国国债利率期限结构的研究也日渐重要。本文主要基于NS模型的我国国债利率期限结构的研究，选取2013年1月份至5月份在国债市场上的19种国债的每日交易数据对NS模型进行拟合分析。
【关键词】NS模型 国债 利率期限结构研究
一、Nelson-Siegel模型概述
Nelson-Siegel模型本质上是一个参数拟合模型，是在1987年由Charles Nelson和Andrew Siegel提出的。在建立远期瞬时利率函数的基础上，利用其推导出即期利率的形式。相对其他模型而言，NS模型有一个特别大的好处，那就是需要进行参数估计的参数相对较少，减少了运算量以及参数间的相关性误差。所以像我国国债市场上这种债券数量不多的情况，选择运用NS模型估计利率期限结构是特别合适的。
Nelson和Siegel一起联合推导建立出一个远期瞬时利率函数的公式，即：
NS模型的即期利率公式：
这个模型拥有四个参数，包括β0、β1、β2以及τ1。f（t）表示从即刻开始计算，在时刻t所发生的即期利率。在模型中，τ1作为一个适用于公式（1）和（2）的时间常数，而β0、β1、β2是作为待估计的参数。NS模型的每一个参数都富有经济含义，使得模型具有意义而且本身也很容易被理解。
从公式（1）即远期瞬时利率公式当中，确认远期利率本质上是由三部分组成的，包括短期利率、中期利率和长期利率，而且发现远期利率也会受到β0、β1、β2这三个参数的影响。β0、β1、β2这三个参数分别对应着利率期限结构的水平的变化、斜率的变化以及曲度的变化，这与主成份分析的结果之间存在着自然的联系。短期利率是由β0和β1决定，而长期利率只由β0决定，因此在NS模型下，短期利率的波动性一般会比长期利率的波动性大，这一点是与现实相符的。
二、Nelson-Siegel模型实证分析
（一）数据选取
本文每日收益相关数据来源于和讯债券网，数据选取条件为：第一，数据为修正过的数据。第二，数据中有修正久期不为零。第三，数据中到期收益率不为负。本文选取了2013年1月到5月涉及5个月份共78天的上交所国债每日收益数据。选中的国债包括国债917、国债1014、国债1007、国债1002、国债0501、国债0308、国债0303、国债0213、07国债10、07国债01、06国债（19）、06国债（3）、05国债（12）、05国债（4）、05国债（1）、03国债（8）、03国债（3）、02国债（13）、21国债（7）等19种国债品种。
（二）参数估计
设置期限为1、2、3、4、…、20年，根据每日收益数据中全价、付息方式、年利率、剩余期限、修正久期等数据进行模拟估计，获得参数估计值，画出参数估计值的曲线（图1），并对其描述性统计量进行分析。
分别从x1、x2、x3曲线的变化可以看出，图中x2的变化强度要比x1、x3大得多，说明在样本大小为78的情况下，β2因子对模型的影响程度较大，即从曲度角度更好的反映了模型的拟合效果较好。根据表1对参数的描述性统计，直观的看到β2值的变化范围为0.0804，比β0值的0.0232以及β1值的0.0066大得多，说明其影响显著。
（三）收益曲线分析
根据获得的全局最优每日远期利率作出期限为20年的2013年1-5月份Nelson-Siegel模型利率期限结构拟合的全局最优图（见图2）。
从Nelson-Siegel模型利率期限结构拟合的全部最优图中，我们可以看到，随着期限的逐渐增加，远期利率也随之增加。下面分别从水平、斜率、曲度等三个角度来详细的分析：
1.从水平角度来看。在假设期限一定的情况下，可以看出大部分天的T时刻的即期利率值较为稳定，但有个别几天的T时刻的即期利率较低。
2.从斜率角度来看。就整体而言，远期利率都会随着期限的增加而增加，但其利率的增长速率会随着期限的增加逐渐减小。就个别而言，可以直观的看到在前20至40天内的利率增长速率相较于大部分天而言更大。
3.从曲度角度来看。大部分天的收益曲线的曲度较为舒缓，但在前20至60天内，会发现有收益曲线的曲度较为陡峭的情况。
（四）拟合效果分析
本文将更进一步的作出局部最优的Nelson-Siegel模型利率期限结构拟合图。通过运行fitness.m以及cns1.m文件，获得局部最优每日远期利率，再通过获得的局部最优每日远期利率作出期限为20年的2013年1-5月Nelson-Siegel模型利率期限结构拟合的局部最优图（见图3）。
通过比较发现，Nelson-Siegel模型局部最优拟合图与Nelson-Siegel模型全局最优拟合图从水平、斜率以及曲度等三个角度发现局部最优拟合图与全局最优拟合图大致走向一致，存在误差，但差异性不大，说明Nelson-Siegel模型拟合程度较好。
从个体上来分析拟合情况。为了更加客观的表述NS模型的拟合效果，现选取2013年1月至4月每个月份中月初这一天作为研究对象，利用NS模型得到参数估计结果（见表2），再计算期限为20年的即期利率。
表2 NS模型参数估计结果
根据表2的参数估计结果，分别可以得到一一对应的NS模型利率期限结构根据得到的参数估计结果，分别可以得到一一对应的NS模型利率期限结构收益曲线图（见图4、图5、图6、图7）。
从图4、图7中可以看到其利率随期限的变动曲线大体上是一致的。首先，在1～10年期，即期利率会随着期限的增加而增加的很快；然而，在10～14年期，即期利率随着期限增长的增长速率发生改变，增长速率开始变缓；在14～20年期，即期利率则与期限大致上呈线性相关，与之前期限增加的速率相比较，即期利率增加的较缓慢。而从图6中可以看出其利率曲线大致上可以划分为两次变动，首先，从1～10年期，即期利率随着期限的增加而增长的较快；而在10年期以上，利率曲线则较为平坦，利率随期限的增加而缓慢增长。从图5中可以近似的把利率期限看作是一条倾斜的直线，换句话说，利率与期限可以被近似的认为是呈线性相关。 整体上来分析，分别描绘不同日期的利率曲线的四幅图都是随着期限的增加而增加，只是增加的速率不尽相同，即国债利率期限结构图呈上升的趋势。这一现象正好符合Hicks（1939）和Culbertson（1957）提出的流动性偏好理论。
根据估计的参数，同样可以计算出国债的理论价格和价格差，得出的结论是大部分国债的实际价格与理论价格所得的价格差值相对较大，即理论价格虽然接近实际价格，但差值还是很大。说明NS模型拟合出的结果基本符合事实，但是拟合程度不是特别好，存在误差情况。分析出现这一情况的原因，首先，考虑到NS模型本身的优缺性，模型无法推导出如V形、驼峰形等更为复杂的利率曲线，使得对于短期和中期的利率模型拟合的程度不够好；其次，也考虑到了在我国国债市场上，投资者比较理性。
三、总结
通过对利率期限结构的理论和模型的实证分析，得出了以下结论：随着期限的增加，国债利率期限结构的收益曲线会随之增加，呈上升趋势。这一结论与流动性偏好理论即由Hicks（1939）和Culbertson（1957）提出的相一致。然而，对于不同期限的即期利率，在它们之间也表现出很强的相关性，其特征大致表现为“同涨同跌”。
参考文献
[1]胡志强，王婷.2009.基于Nelson-Siegel模型的国债利率期限结构预测[J].经济评论.（6）：57-66.
[2]康书隆.2013.国债利率期限结构的动态变化规律研究——基于Nelson-Siegel曲线的动态建模[J].财经问题研究.（5）：45-51.
[3]白培枝.2012.基于Nelson-Siegel模型的利率期限结构研究[J].经济问题.（8）：025.
[4]文忠桥.2013.中国银行间国债市场利率期限结构实证分析—基于Nelson-Siegel模型[J].财贸研究.（3）：124-129.
[5]McCulloch J H.1971.Measuring the term structure of interest rates[J].Journal of Business，19-31.
作者简介：章惠（1992-），女，安徽安庆人，安徽大学经济学院，金融硕士，研究方向：国际金融风险管理；刘英（1992-），女，宁夏银川人，任职于开源证券西安锦业三路营业部。
【关键词】NS模型 国债 利率期限结构研究
一、Nelson-Siegel模型概述
Nelson-Siegel模型本质上是一个参数拟合模型，是在1987年由Charles Nelson和Andrew Siegel提出的。在建立远期瞬时利率函数的基础上，利用其推导出即期利率的形式。相对其他模型而言，NS模型有一个特别大的好处，那就是需要进行参数估计的参数相对较少，减少了运算量以及参数间的相关性误差。所以像我国国债市场上这种债券数量不多的情况，选择运用NS模型估计利率期限结构是特别合适的。
Nelson和Siegel一起联合推导建立出一个远期瞬时利率函数的公式，即：
NS模型的即期利率公式：
这个模型拥有四个参数，包括β0、β1、β2以及τ1。f（t）表示从即刻开始计算，在时刻t所发生的即期利率。在模型中，τ1作为一个适用于公式（1）和（2）的时间常数，而β0、β1、β2是作为待估计的参数。NS模型的每一个参数都富有经济含义，使得模型具有意义而且本身也很容易被理解。
从公式（1）即远期瞬时利率公式当中，确认远期利率本质上是由三部分组成的，包括短期利率、中期利率和长期利率，而且发现远期利率也会受到β0、β1、β2这三个参数的影响。β0、β1、β2这三个参数分别对应着利率期限结构的水平的变化、斜率的变化以及曲度的变化，这与主成份分析的结果之间存在着自然的联系。短期利率是由β0和β1决定，而长期利率只由β0决定，因此在NS模型下，短期利率的波动性一般会比长期利率的波动性大，这一点是与现实相符的。
二、Nelson-Siegel模型实证分析
（一）数据选取
本文每日收益相关数据来源于和讯债券网，数据选取条件为：第一，数据为修正过的数据。第二，数据中有修正久期不为零。第三，数据中到期收益率不为负。本文选取了2013年1月到5月涉及5个月份共78天的上交所国债每日收益数据。选中的国债包括国债917、国债1014、国债1007、国债1002、国债0501、国债0308、国债0303、国债0213、07国债10、07国债01、06国债（19）、06国债（3）、05国债（12）、05国债（4）、05国债（1）、03国债（8）、03国债（3）、02国债（13）、21国债（7）等19种国债品种。
（二）参数估计
设置期限为1、2、3、4、…、20年，根据每日收益数据中全价、付息方式、年利率、剩余期限、修正久期等数据进行模拟估计，获得参数估计值，画出参数估计值的曲线（图1），并对其描述性统计量进行分析。
分别从x1、x2、x3曲线的变化可以看出，图中x2的变化强度要比x1、x3大得多，说明在样本大小为78的情况下，β2因子对模型的影响程度较大，即从曲度角度更好的反映了模型的拟合效果较好。根据表1对参数的描述性统计，直观的看到β2值的变化范围为0.0804，比β0值的0.0232以及β1值的0.0066大得多，说明其影响显著。
（三）收益曲线分析
根据获得的全局最优每日远期利率作出期限为20年的2013年1-5月份Nelson-Siegel模型利率期限结构拟合的全局最优图（见图2）。
从Nelson-Siegel模型利率期限结构拟合的全部最优图中，我们可以看到，随着期限的逐渐增加，远期利率也随之增加。下面分别从水平、斜率、曲度等三个角度来详细的分析：
1.从水平角度来看。在假设期限一定的情况下，可以看出大部分天的T时刻的即期利率值较为稳定，但有个别几天的T时刻的即期利率较低。
2.从斜率角度来看。就整体而言，远期利率都会随着期限的增加而增加，但其利率的增长速率会随着期限的增加逐渐减小。就个别而言，可以直观的看到在前20至40天内的利率增长速率相较于大部分天而言更大。
3.从曲度角度来看。大部分天的收益曲线的曲度较为舒缓，但在前20至60天内，会发现有收益曲线的曲度较为陡峭的情况。
（四）拟合效果分析
本文将更进一步的作出局部最优的Nelson-Siegel模型利率期限结构拟合图。通过运行fitness.m以及cns1.m文件，获得局部最优每日远期利率，再通过获得的局部最优每日远期利率作出期限为20年的2013年1-5月Nelson-Siegel模型利率期限结构拟合的局部最优图（见图3）。
通过比较发现，Nelson-Siegel模型局部最优拟合图与Nelson-Siegel模型全局最优拟合图从水平、斜率以及曲度等三个角度发现局部最优拟合图与全局最优拟合图大致走向一致，存在误差，但差异性不大，说明Nelson-Siegel模型拟合程度较好。
从个体上来分析拟合情况。为了更加客观的表述NS模型的拟合效果，现选取2013年1月至4月每个月份中月初这一天作为研究对象，利用NS模型得到参数估计结果（见表2），再计算期限为20年的即期利率。
表2 NS模型参数估计结果
根据表2的参数估计结果，分别可以得到一一对应的NS模型利率期限结构根据得到的参数估计结果，分别可以得到一一对应的NS模型利率期限结构收益曲线图（见图4、图5、图6、图7）。
从图4、图7中可以看到其利率随期限的变动曲线大体上是一致的。首先，在1～10年期，即期利率会随着期限的增加而增加的很快；然而，在10～14年期，即期利率随着期限增长的增长速率发生改变，增长速率开始变缓；在14～20年期，即期利率则与期限大致上呈线性相关，与之前期限增加的速率相比较，即期利率增加的较缓慢。而从图6中可以看出其利率曲线大致上可以划分为两次变动，首先，从1～10年期，即期利率随着期限的增加而增长的较快；而在10年期以上，利率曲线则较为平坦，利率随期限的增加而缓慢增长。从图5中可以近似的把利率期限看作是一条倾斜的直线，换句话说，利率与期限可以被近似的认为是呈线性相关。 整体上来分析，分别描绘不同日期的利率曲线的四幅图都是随着期限的增加而增加，只是增加的速率不尽相同，即国债利率期限结构图呈上升的趋势。这一现象正好符合Hicks（1939）和Culbertson（1957）提出的流动性偏好理论。
根据估计的参数，同样可以计算出国债的理论价格和价格差，得出的结论是大部分国债的实际价格与理论价格所得的价格差值相对较大，即理论价格虽然接近实际价格，但差值还是很大。说明NS模型拟合出的结果基本符合事实，但是拟合程度不是特别好，存在误差情况。分析出现这一情况的原因，首先，考虑到NS模型本身的优缺性，模型无法推导出如V形、驼峰形等更为复杂的利率曲线，使得对于短期和中期的利率模型拟合的程度不够好；其次，也考虑到了在我国国债市场上，投资者比较理性。
三、总结
通过对利率期限结构的理论和模型的实证分析，得出了以下结论：随着期限的增加，国债利率期限结构的收益曲线会随之增加，呈上升趋势。这一结论与流动性偏好理论即由Hicks（1939）和Culbertson（1957）提出的相一致。然而，对于不同期限的即期利率，在它们之间也表现出很强的相关性，其特征大致表现为“同涨同跌”。
参考文献
[1]胡志强，王婷.2009.基于Nelson-Siegel模型的国债利率期限结构预测[J].经济评论.（6）：57-66.
[2]康书隆.2013.国债利率期限结构的动态变化规律研究——基于Nelson-Siegel曲线的动态建模[J].财经问题研究.（5）：45-51.
[3]白培枝.2012.基于Nelson-Siegel模型的利率期限结构研究[J].经济问题.（8）：025.
[4]文忠桥.2013.中国银行间国债市场利率期限结构实证分析—基于Nelson-Siegel模型[J].财贸研究.（3）：124-129.
[5]McCulloch J H.1971.Measuring the term structure of interest rates[J].Journal of Business，19-31.
作者简介：章惠（1992-），女，安徽安庆人，安徽大学经济学院，金融硕士，研究方向：国际金融风险管理；刘英（1992-），女，宁夏银川人，任职于开源证券西安锦业三路营业部。