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【摘 要】通过实例分析事件相互独立与两两独立的本质，展现事件相互独立与两两独立的关系，对学生正确理解并适用事件相互独立具有重要指导作用。
【Abstract】By analyzing the essence of mutual independence and pairwise independence of event through examples， this paper shows the relationship between the mutual independence and the pairwise independence of event， which plays an important guiding role for students to correctly understand and apply the independence of events.
【关键词】随机事件；相互独立；两两独立
【Keywords】 random events； mutual independence； pairwise independence
【中图分类号】O211 【文献标志码】A 【文章编号】1673-1069（2019）04-0181-02
1 引言
随机事件相互独立与两两独立是概率论中非常重要的概念。对这两个概念的理解，容易出现一些困惑。例如，事件相互独立是不是事件之间发生没有影响？事件相互独立的本质是什么？多个事件相互独立与两两独立有区别吗？等等。本文将通过具体实例对这些问题进行探究。
2 事件相互独立的本质
定义1：设A和B是任意两个随机事件，如果有P（AB）= P（A） P（B），则称事件A和B相互独立，简称独立。否则就称不独立或相依[1]。
关于事件独立性判断，一般都以直觉判断为先导。例如，在可靠性理论中，人们总会假设系统各个元件的工作是相互独立的；又如，一枚骰子掷两次，则每次出现6点的结果是相互独立的；再如，彩票问题中，每次摇奖的过程也是相互独立的。这些独立性可以直接凭直观就可以判断。情况复杂则辅以定义1方法进行缜密计算。
直觉上，人们通常会认为：事件A与B相互独立，是指事件A发生或不发生对B发生或不发生没有影响。但这种直觉是否正确？如何刻画独立的这种“没有影响”？通过下面实例进行分析。
例1 ：掷一枚硬币2次，观察正反面情况，样本空间为：
{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}
以A记“第一次出现正面”，以B记“第二次出现正面”。显然，事件A和B独立。但A、B发生与否相互没有影响吗？
从事件关系看：B发生，有A│B={（正，正）} ；B没发生，有A│ ={（正，反）}。同样，A发生，有B│A ={（正，正）}，A没发生，有B│ ={（反，正）}。可见，B发生与否对A都产生了影响，A发生与否也都对B产生了影响。因此，人们认为的“事件之间发生与否没有影响”并不是“事件相互独立”的本质特征。
从概率角度来看：无论B发生与否，都有P（A│B）=P（A│ ）；无论A发生与否，都有P（B│A）= P（B/ ）。这才是事件独立的本质，即“事件A与B发生相互不影响”等价于“P（A│B）=P（A）”。因此，事件相互独立并非指事件结果相互不影响，而是指“事件在发生可能性（概率）上相互没有影响”。
3 事件相互独立和样本空间的关系
在不同的样本空间，随机事件相互独立性的表现可能完全不同，看下面实例。
例2： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，以A记“抽到K”，以B记“抽到黑桃”，AB为“抽到黑桃K”。则：
P（A）=4/52=1/13，P（B）=13/52=1/4，P（AB）=1/52
可见P（AB）=P（A）P（B），故事件A、B独立。
但若将例2改为“从一副含有大小王的扑克牌中任取一张”，A和B仍如上所记，则P（A）=4/54，P（B）=13/54，P（AB）=1/54，这里P（AB）≠P（A）P（B），说明事件A、B不独立。因此，在判断事件是否独立时，一定要明确这些事件所在的样本空间。
例3： 有三个小孩的家庭中，由性别构成的样本空间有8种等可能情况，以b表示男孩，以g表示女孩，则样本空间为：
Ω={bbb， bbg， bgb， gbb， bgg， gbg， ggb， ggg}
以A记“家中男女孩都有”，以B记“家中至多一个男孩”，则AB即表示“家中只有一个男孩”。则P（A）=6/8，P（B）=4/8，P（AB）=3/8。显然，P（AB）= P（A）P（B），所以，A与B相互独立。
但例3中，若家庭有两个小孩，样本空间只含有4种等可能情况，即Ω={bb， bg， gb， gg}。A和B仍如上所记，则P（A）=2/4，P（B）=3/4，P（AB）=2/4。显然P（AB）≠P（A）P（B），所以，此时事件A与B相互不独立。
因此，在判断事件是否独立时，一定要明确这些事件所在的样本空间。
4 多个事件相互独立与两两独立的区别
定义2：设任意三个事件A、B、C，如果有：
P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），则称A、B、C 两两独立。若还有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），称A、B、C相互独立。
定义2给出了三个事件相互独立要满足的四个条件，且事件相互独立并不等价于事件两两独立。由事件相互独立可推出两两独立，但由事件两兩独立不能保证相互独立。这点学生理解稍有困难，下面两个实例可答疑解惑。 例4： 从3、4、5、60中随机选出一数，以A记“该数是3的倍数”，以B记“该数是4的倍数”，以C记“该数是5的倍数”。则有：P（A）=P（B）=P（C）=2/4=1/2，且P（AB）=P（AC）= P（BC）=1/4，P（ABC）=1/4。
显然，P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），故事件A、B、C两两独立。但P（ABC）=1/4≠1/8=P（A）P（B）P（C），所以事件A、B、C相互不独立。
该例说明，三个事件两两独立，并不能保证P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一定成立。
例5： 从1、2、3、4、5、6、7、8中随机抽选一数，以A记{1，2，3，4}，以B记{1，3，4，5}，以C记{1，6，7，8}。則有：
P（A）=P（B）=P（C）=4/8=1/2；
P（AB）=2/8=1/4，P（AC）=1/8，P（BC）=1/8；且P（ABC）=1/8
显然有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），但P（AC）≠P（A）P（C），P（BC）≠P（B）P（C）。
该例说明，即使P（ABC）=P（A）P（B）P（C），也不能保证事件两两独立。
基于以上的分析，便不难理解“三个以上事件相互独立，要保证其中任意部分的事件都要相互独立”的下述定义：
定义3：设n个事件A1，A2 ，……，An，对任意的1≤i P（AiAj）=P（Ai）p（Aj）P（AiAjjAk）=P（Ai）p（Aj）P（Ak） P（AiAjj…Ak）=P（Ai）p（Aj）…P（An），则称此n 个事件 A1，A2 ，……，An相互独立。
定义3中的等式共有：C +C +…+C +…+C =2n-n-1 个。
由定义3可知，n个事件相互独立，则其中任意一部分内的事件仍相互独立，且任意一部分与另一部分也相互独立。自然的，n个事件相互独立，则其中任意两个事件必然两两独立。而n个事件若相互独立，则必须要保证定义3中的2n-n-1个等式同时成立，只要有一个等式不成立，n个事件就不相互独立。
【参考文献】
【1】茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：髙等教育出版社，2011
【Abstract】By analyzing the essence of mutual independence and pairwise independence of event through examples， this paper shows the relationship between the mutual independence and the pairwise independence of event， which plays an important guiding role for students to correctly understand and apply the independence of events.
【关键词】随机事件；相互独立；两两独立
【Keywords】 random events； mutual independence； pairwise independence
【中图分类号】O211 【文献标志码】A 【文章编号】1673-1069（2019）04-0181-02
1 引言
随机事件相互独立与两两独立是概率论中非常重要的概念。对这两个概念的理解，容易出现一些困惑。例如，事件相互独立是不是事件之间发生没有影响？事件相互独立的本质是什么？多个事件相互独立与两两独立有区别吗？等等。本文将通过具体实例对这些问题进行探究。
2 事件相互独立的本质
定义1：设A和B是任意两个随机事件，如果有P（AB）= P（A） P（B），则称事件A和B相互独立，简称独立。否则就称不独立或相依[1]。
关于事件独立性判断，一般都以直觉判断为先导。例如，在可靠性理论中，人们总会假设系统各个元件的工作是相互独立的；又如，一枚骰子掷两次，则每次出现6点的结果是相互独立的；再如，彩票问题中，每次摇奖的过程也是相互独立的。这些独立性可以直接凭直观就可以判断。情况复杂则辅以定义1方法进行缜密计算。
直觉上，人们通常会认为：事件A与B相互独立，是指事件A发生或不发生对B发生或不发生没有影响。但这种直觉是否正确？如何刻画独立的这种“没有影响”？通过下面实例进行分析。
例1 ：掷一枚硬币2次，观察正反面情况，样本空间为：
{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}
以A记“第一次出现正面”，以B记“第二次出现正面”。显然，事件A和B独立。但A、B发生与否相互没有影响吗？
从事件关系看：B发生，有A│B={（正，正）} ；B没发生，有A│ ={（正，反）}。同样，A发生，有B│A ={（正，正）}，A没发生，有B│ ={（反，正）}。可见，B发生与否对A都产生了影响，A发生与否也都对B产生了影响。因此，人们认为的“事件之间发生与否没有影响”并不是“事件相互独立”的本质特征。
从概率角度来看：无论B发生与否，都有P（A│B）=P（A│ ）；无论A发生与否，都有P（B│A）= P（B/ ）。这才是事件独立的本质，即“事件A与B发生相互不影响”等价于“P（A│B）=P（A）”。因此，事件相互独立并非指事件结果相互不影响，而是指“事件在发生可能性（概率）上相互没有影响”。
3 事件相互独立和样本空间的关系
在不同的样本空间，随机事件相互独立性的表现可能完全不同，看下面实例。
例2： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，以A记“抽到K”，以B记“抽到黑桃”，AB为“抽到黑桃K”。则：
P（A）=4/52=1/13，P（B）=13/52=1/4，P（AB）=1/52
可见P（AB）=P（A）P（B），故事件A、B独立。
但若将例2改为“从一副含有大小王的扑克牌中任取一张”，A和B仍如上所记，则P（A）=4/54，P（B）=13/54，P（AB）=1/54，这里P（AB）≠P（A）P（B），说明事件A、B不独立。因此，在判断事件是否独立时，一定要明确这些事件所在的样本空间。
例3： 有三个小孩的家庭中，由性别构成的样本空间有8种等可能情况，以b表示男孩，以g表示女孩，则样本空间为：
Ω={bbb， bbg， bgb， gbb， bgg， gbg， ggb， ggg}
以A记“家中男女孩都有”，以B记“家中至多一个男孩”，则AB即表示“家中只有一个男孩”。则P（A）=6/8，P（B）=4/8，P（AB）=3/8。显然，P（AB）= P（A）P（B），所以，A与B相互独立。
但例3中，若家庭有两个小孩，样本空间只含有4种等可能情况，即Ω={bb， bg， gb， gg}。A和B仍如上所记，则P（A）=2/4，P（B）=3/4，P（AB）=2/4。显然P（AB）≠P（A）P（B），所以，此时事件A与B相互不独立。
因此，在判断事件是否独立时，一定要明确这些事件所在的样本空间。
4 多个事件相互独立与两两独立的区别
定义2：设任意三个事件A、B、C，如果有：
P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），则称A、B、C 两两独立。若还有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），称A、B、C相互独立。
定义2给出了三个事件相互独立要满足的四个条件，且事件相互独立并不等价于事件两两独立。由事件相互独立可推出两两独立，但由事件两兩独立不能保证相互独立。这点学生理解稍有困难，下面两个实例可答疑解惑。 例4： 从3、4、5、60中随机选出一数，以A记“该数是3的倍数”，以B记“该数是4的倍数”，以C记“该数是5的倍数”。则有：P（A）=P（B）=P（C）=2/4=1/2，且P（AB）=P（AC）= P（BC）=1/4，P（ABC）=1/4。
显然，P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），故事件A、B、C两两独立。但P（ABC）=1/4≠1/8=P（A）P（B）P（C），所以事件A、B、C相互不独立。
该例说明，三个事件两两独立，并不能保证P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一定成立。
例5： 从1、2、3、4、5、6、7、8中随机抽选一数，以A记{1，2，3，4}，以B记{1，3，4，5}，以C记{1，6，7，8}。則有：
P（A）=P（B）=P（C）=4/8=1/2；
P（AB）=2/8=1/4，P（AC）=1/8，P（BC）=1/8；且P（ABC）=1/8
显然有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），但P（AC）≠P（A）P（C），P（BC）≠P（B）P（C）。
该例说明，即使P（ABC）=P（A）P（B）P（C），也不能保证事件两两独立。
基于以上的分析，便不难理解“三个以上事件相互独立，要保证其中任意部分的事件都要相互独立”的下述定义：
定义3：设n个事件A1，A2 ，……，An，对任意的1≤i
定义3中的等式共有：C +C +…+C +…+C =2n-n-1 个。
由定义3可知，n个事件相互独立，则其中任意一部分内的事件仍相互独立，且任意一部分与另一部分也相互独立。自然的，n个事件相互独立，则其中任意两个事件必然两两独立。而n个事件若相互独立，则必须要保证定义3中的2n-n-1个等式同时成立，只要有一个等式不成立，n个事件就不相互独立。
【参考文献】
【1】茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：髙等教育出版社，2011