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[摘 要] 高斯图形算法的基本思路是根据二维正态分布公式生成一个高斯矩阵，求新图形中的每一点时，将高斯矩阵的中心对准旧图形的这一点，并将所有点根据高斯矩阵上对应的点加权平均，在减小图形尺寸的场合经常使用二维高斯图形算法。在进行欠采样的时候，通常在采样之前对图形进行低通滤波处理，这样就可以保证在采样图形中不会出现虚假的高频信息。二维高斯图形算法有很好的特性，如没有明显的边界，这样就不会在滤波图形中形成震荡。本文基于随机向量仿真方法，对之进行了初步研究。
[关键词] 随机向量 二维 图形算法 高斯矩阵 仿真方法
从理论上来讲，二维高斯图形中每点的分布都不为零，这也就是说每个像素的计算都需要包含整幅图形。在实际应用中，在计算高斯函数的离散近似时，在大概3σ距离之外的像素都可以看作不起作用，这些像素的计算也就可以忽略。通常，图形处理程序只需要计算(6σ+1)×(6σ+1)的矩阵就可以保证相关像素影响。除了圆形对称之外，高斯模糊也可以在二维图形上对两个独立的一维空间分别进行计算，这叫作线性可分。这也就是说，使用二维矩阵变换得到的效果也可以通过在水平方向进行一维高斯矩阵变换加上竖直方向的一维高斯矩阵变换得到。从计算的角度来看，这是一项有用的特性，因为这样只需要O(n×M×N)+O(m×M×N)次计算，而不可分的矩阵则需要O(m×n×M×N)次计算，其中M,N是需要进行滤波的图形的维数，m、n是滤波器的维数。
1、随机向量概述
在计算机某些实际问题中，往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述试验的结果。
1.1二维随机向量的定义
设E是一个随机试验,样本空间是Ω={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在Ω上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
1.2二维随机变量的联合分布函数的定义
设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x和y，二元函数：
则称f(x)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数f(x)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率。
2、高斯分布
高斯分布，也称正态分布，又称常态分布。对于随机变量X，其概率密度函数如图所示。称其分布为高斯分布或正态分布，记为N（μ，σ2），其中为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。
对不同的a表现为p(x)的图形左右平移；对不同的σ（固定a）p(x)的图形将随σ的减小而变高和变窄。当有确定值时，p(x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。μ正态分布最早由棣莫佛于1730年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于1812年研究极限定理时也被引入；高斯（Gauss）则于1809年在研究误差理论时也导出了它。高斯分布的函数图象是一条位于x轴上方呈钟形的曲线，称为高斯分布曲线，简称高斯曲线。对一幅图形进行多次连续高斯模糊的效果与一次更大的高斯模糊可以产生同样的效果，大的高斯模糊的半径是所用多个高斯模糊半径平方和的平方根。例如，使用半径分别为6和8的两次高斯模糊变换得到的效果等同于一次半径为10的高斯模糊效果，
根据这个关系，使用多个连续较小的高斯模糊处理不会比单个高斯较大处理时间要少。
2.1多元高斯分布的几何特征
d维高斯分布的空间形状是一个d维的椭球体，其常数密度轮廓线是由公式(2)所确定的椭球面：
当维数等于2时，可以用图形来表示概率密度和等密度轮廓线。
2.2 多元高斯分布的性质
（1）概率密度函数由均值向量和协方差矩阵完全描述。
（2）高斯随机向量的各个分量不相关，各分量相互独立。
（3）高斯随机向量的线性变换定理：
3、高斯随机向量的算法研究
3.1均匀分布随机数产生算法
4、测试样例
4.1协方差已知的随机向量产生
5、结论
基于Matlab实现了相关代码，实验表明该算法快速且高效，生成 个二维高斯样点仅需要5.01秒（AMD4000+处理器，2G内存，XP操作系统）。
参 考 文 献
[1] Christopher M.Bishop Pattern Recognition and Machine Learning[M].Springer,2006.
[2] David J.C.Mackay著，肖明波译.信息论、推理与学习算法[M].高等教育出版社2006.7.
[3] Cleve Moler.Numerical Computing with MATLAB[M].SIAM,2008.7:Chapter 9.■
[关键词] 随机向量 二维 图形算法 高斯矩阵 仿真方法
从理论上来讲，二维高斯图形中每点的分布都不为零，这也就是说每个像素的计算都需要包含整幅图形。在实际应用中，在计算高斯函数的离散近似时，在大概3σ距离之外的像素都可以看作不起作用，这些像素的计算也就可以忽略。通常，图形处理程序只需要计算(6σ+1)×(6σ+1)的矩阵就可以保证相关像素影响。除了圆形对称之外，高斯模糊也可以在二维图形上对两个独立的一维空间分别进行计算，这叫作线性可分。这也就是说，使用二维矩阵变换得到的效果也可以通过在水平方向进行一维高斯矩阵变换加上竖直方向的一维高斯矩阵变换得到。从计算的角度来看，这是一项有用的特性，因为这样只需要O(n×M×N)+O(m×M×N)次计算，而不可分的矩阵则需要O(m×n×M×N)次计算，其中M,N是需要进行滤波的图形的维数，m、n是滤波器的维数。
1、随机向量概述
在计算机某些实际问题中，往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述试验的结果。
1.1二维随机向量的定义
设E是一个随机试验,样本空间是Ω={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在Ω上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
1.2二维随机变量的联合分布函数的定义
设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x和y，二元函数：
则称f(x)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数f(x)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率。
2、高斯分布
高斯分布，也称正态分布，又称常态分布。对于随机变量X，其概率密度函数如图所示。称其分布为高斯分布或正态分布，记为N（μ，σ2），其中为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。
对不同的a表现为p(x)的图形左右平移；对不同的σ（固定a）p(x)的图形将随σ的减小而变高和变窄。当有确定值时，p(x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。μ正态分布最早由棣莫佛于1730年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于1812年研究极限定理时也被引入；高斯（Gauss）则于1809年在研究误差理论时也导出了它。高斯分布的函数图象是一条位于x轴上方呈钟形的曲线，称为高斯分布曲线，简称高斯曲线。对一幅图形进行多次连续高斯模糊的效果与一次更大的高斯模糊可以产生同样的效果，大的高斯模糊的半径是所用多个高斯模糊半径平方和的平方根。例如，使用半径分别为6和8的两次高斯模糊变换得到的效果等同于一次半径为10的高斯模糊效果，
根据这个关系，使用多个连续较小的高斯模糊处理不会比单个高斯较大处理时间要少。
2.1多元高斯分布的几何特征
d维高斯分布的空间形状是一个d维的椭球体，其常数密度轮廓线是由公式(2)所确定的椭球面：
当维数等于2时，可以用图形来表示概率密度和等密度轮廓线。
2.2 多元高斯分布的性质
（1）概率密度函数由均值向量和协方差矩阵完全描述。
（2）高斯随机向量的各个分量不相关，各分量相互独立。
（3）高斯随机向量的线性变换定理：
3、高斯随机向量的算法研究
3.1均匀分布随机数产生算法
4、测试样例
4.1协方差已知的随机向量产生
5、结论
基于Matlab实现了相关代码，实验表明该算法快速且高效，生成 个二维高斯样点仅需要5.01秒（AMD4000+处理器，2G内存，XP操作系统）。
参 考 文 献
[1] Christopher M.Bishop Pattern Recognition and Machine Learning[M].Springer,2006.
[2] David J.C.Mackay著，肖明波译.信息论、推理与学习算法[M].高等教育出版社2006.7.
[3] Cleve Moler.Numerical Computing with MATLAB[M].SIAM,2008.7:Chapter 9.■