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案例描述：
一、揭示课题
师：今天我们探索乘法交换律，你们猜什么叫乘法交换律呢？
生：我猜可能是“调换两个因数的位置，积不变”吧！
师：请把你的名字写到黑板上来（该生写名字“剑鹏”），现在我们就把这句话命名为“剑鹏猜想”，（板书：猜想）数学家就是这样思考问题的。
二、乘法交换律的探索
师：请大家看屏幕，同意这个猜想的同学请举手。咱们数学上的问题可不像选班干部那样，同意的人多就算通过了，而是要进行验证的。（板书：验证）同学们说，我们可以怎样进行验证呢？
生：可以举几个乘法的算式试一试。
师：对，用举例的方法。（板书：举例），下面就请同学们写出几个乘法算式，看看交换因数后得数变不变。
（师请生把例子写在黑板上）
师：请大家一起看黑板，这是一位数乘一位数，这是多位数相乘，这位同学的式子很有个性，其中一个因数还是0呢！比较这些算式，它们有什么共同的地方吗？
生：等号两边的因数都是一样的。
生：调换了因数的位置，积不变。
师：刚才我们举例验证了这个猜想。同学们在举例的过程中有没有发现交换因数的位置得数改变了的例子？只要能舉出一个这样的反例，这个猜想就不成立了。
生：（齐）没有发现。
师：看来我们的发现是成立的。数学家经过证明，发现这个猜想是正确的。同学们的这个猜想竟与数学家想到的是一样的，祝贺你们。这样，我们就可以把这个猜想总结成一条定律了。（板书：总结）
（多媒体出示：两个数相乘，交换因数的位置，积不变）
师：恭喜你，剑鹏同学，你的猜想成了大家公认的定律。
师：好，下面我们就来应用乘法交换律解决几个问题。
出示：（1）38×160=（ ）×（ ） （2）（ ）×134=（ ）×8200
（3）409×（ ）=625×（ ） （4）（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
（生一一回答，到最后一题时……）
师：这一题有多少种填法？我们能不能用一个式子就把这么多种填法表示出来呢？
生：一个因数×另一个因数=另一个因数×一个因数
生：甲数×乙数=乙数×甲数
生：a×b=b×a
师：对这位用字母表示的同学，你有什么看法？
生：我也喜欢用字母表示，因为它简洁、好记。
师：乘法交换律是数学中基本的运算定律之一，在数学运算中有广泛的用途。在小学数学里它有哪些用途呢？请同学们自学课本87页。（板书：应用）
学生汇报：
生：利用乘法交换律可以进行验算。
生：利用乘法交换律可以使一些计算方便。
师：利用乘法交换律能使计算简便，这是怎么回事呢？
生：比如，600×582可以写成582×600，这样列竖式计算更简便。
生：比如，108×123列竖式时先写123，再写108，中间的“0”这一步可以省略，也会使计算时简便些。
师：受同学们的启发，老师也想到了一个例子——33×276，（没等师讲完，生就接着说……）
生：老师，我知道了，变为276×33列竖式时只要乘两次就行了。
生：其实只要用3乘一次就行了，第二次的3去乘时的结果与第一次一样，只是位置不同。
师：你们太聪明了。
师：通过刚才的学习，大家有哪些收获呢？
生：我学到了乘法交换律的知识。
生：我还知道了我们是通过猜想、验证、总结、应用来学习乘法交换律的。
师：对，是应用了这些方法探索出来的。同学们，数学家研究数学问题的时候，就是像我们这样，从猜想开始，一步一步向前探索的。请大家看一段材料……
（多媒体播放：1842年，毕业于伦敦大学的弗南西斯格里在给地图涂颜色时发现一个有趣的现象，只要用四种颜色就可以使有着共同边界的国家涂上不同的颜色。这就是著名的“四色猜想”。弗南西斯格里提出猜想之后，立刻和他的弟弟进行验证，可是一直没有得到一个严格的证明结果。后来，许许多多的数学家不断提出新的证明，又不断地被否定掉。直到1978年，两名数学家在两台计算机上用了1200个小时才证明了这个猜想，由此总结成“四色定律”。现在这个定律被广泛应用于地图绘制的过程中。）
师：瞧，数学家就是这样通过猜想、验证、总结、应用来探索“四色定律”问题的。其实，数学王国里值得探索的问题还有很多很多。同学们，你们还想不想再进行探索呢？
生：（激动地）想！
师：好，刚才提出了交换两个因数的位置积不变的猜想，由此，你还能不能提出一些新的猜想呢？这些猜想能不能总结成定律呢？下面我们就前后四人一个小组来探索这些问题。
三、探索拓展
师：哪个小组先来汇报你们提出了什么猜想？猜想的内容是什么？
生：我们发现3个数相乘，交换因数的位置，它们的积也不变。
师：哪个小组和他们提出了一样的猜想？（众生举手）真是英雄所见略同啊！提出猜想之后，你们又是怎么办的呢？
生：验证。
师：你们是通过什么途径来验证的？
生：我们是举例验证的。如：3×5×8=8×5×3。
师：你们举的算式都成立吗？
生：（齐）都成立。
师：这样，我们可以对原来的乘法交换律作怎么补充？
生：两个数，三个数相乘，交换因数的位置，积不变。
生：我推想4个、5个数相乘，交换因数的位置，它们的积也不变，例如：2×3×4×5=120，3×4×5×2=120，所以2×3×4×5=3×4×5×2。 生：那我们就把“两个数相乘”改为“几个数相乘”好了。
师：你们同意吗？
生：（齐）同意。
师：还讨论了什么？
生：还讨论了乘法交换律拓展到三个数相乘，有什么应用；它可以使运算简便。
师：你能举一个例子说明吗？
生：如，25×76×4=25×4×76=100×76=7600
师：看到同学们提出的猜想都被总结成了定律，沈老师心里也痒痒的，也想提出一个“正会猜想”。（众生笑）谁知道“正会猜想”的内容是什么？
生：可能是交换被减数，减数的位置结果不变。
师：（走过去和学生握手）我俩真是想到一块去了。
师：我这猜想正确吗？
生：不正确，因为被减数、减数交换位置就不够减了。
生：结果不一样了。
师：看来“正会第一猜想”失败了，不过沈老师没有泄气，又提出第二猜想，谁知道“正会第二猜想”是什么内容？
生：大概是交换被除数、除数的位置，商不变。
师：我们真是心有灵犀一点通。那我的这个猜想能成立吗？
生：不能，因为交换它们的位置就不好算了。
师：目前，我们还不会算，等会算了我们会发现结果是不一样的。那这个猜想能总结为定律吗？
生：不能。
生：老师，我发现有的被除数和除数交换了位置商还是一样的呀！比如：8÷8=8÷8。
师：是呀！
生：这只是除法中很特殊的例子，大多数不是这样的。老师不是说过只要有一个反例，这个猜想就不成立吗？我们可以找到好多的反例。
师：有道理，谢谢你。
四、应用（略）
教学反思：
数学究竟赋予了人们什么？是知识吗？如果是的话，那它对我们今后的人生几乎没有具体的作用。是技能吗？那似乎也不够。爱因斯坦就说过，任何技术层面的知识都是可以教会的，但这不是以构成一个完整的人。数学教育的最终目的就是培养完整的人。基于以上认识，我设计了教学“探索乘法交换律”一课，反思整个过程，我觉得有以下两点体会：
一、赋予学生“知识”，更要赋予学生“方法”。
我们知道小学数学教材体系有两条线索：一条是数学知识，这是写在教材上的明线；一条是数学思想方法，这是教材编写的指导思想，是不很明确地写在教材中的，是一条暗线。前者容易理解，后者不易看明。我们在教学中常常只注重明线的把握，而忽视了对暗线的渗透，这其实无异于买椟还珠，是相当可惜的。因为在未来的社会里，教育的真正意义不在于获得一堆知识，而在于掌握学习方法、学会学习。如乘法交换律，定律本身只是一个显性知识，而在这个显性知识的背后隐藏着科学的探索的方法（猜想——验证——总结——应用）与思维策略，乃至勇于探索的精神。对于学生一生来讲，方法比知识重要百倍。因为学生走出校门之后，可能一辈子再也碰不到乘法交换律的题目，但是他要用这种方法、策略去面对纷繁复杂的人生。在本课的教学中，比较明显的折射出掌握知识已不是数学学习的最终目的，而是成了启迪数学思想方法的载体，成了探索的成果。
二、赋予学生“技能”，更要赋予学生“智慧”。
英国大哲学家怀特海说：“尽管知识技能是智育的一个主要目标，但知识技能的价值还有另一个更模糊但更伟大、更居支配地位的成分，古人把它称为‘智慧’。没有某些知识技能基础，你不可能聪明；但是你也许轻而易举地获得了知识技能，却仍然缺乏智慧”。智慧不是简单的知识技能的累积，如果一个人记忆了许多知识、掌握了很多技能，只会重复别人的思想，却不善于自己独立思考，更不会主动探究和创造，那就还没有智慧。拥有知识掌握技能的人不等于拥有智慧，但拥有智慧的人一定拥有知识与技能，更懂得如此运用知识，获取新知识。对教学而言，“知识技能”往往关注的是现成的结论、现成的答案等，而“智慧”更关注这些结论的形成过程，关注那引人入胜的未知领域，这是知识技能与智慧的最大区别。“探索乘法交换律”的教学我努力让学生经历“猜想——验证——总结——应用”的教學探索过程。笔者认为，如果仅仅是“教学知识与掌握技能”，10多分钟就足够了。但是这样教学，学生获得的仅仅只是“知识技能”，而不“智慧”；仅仅是“知道”，而没有“感悟”。事实上，学生做了这么多年的乘法，脑子里一定会形成有关乘法交换律的猜想，这些猜想有的在潜意识层面，有的在显意识层面。这堂课一开始就让学生去猜想，然后由学生自己一步一步地完成整个探索过程。事实证明，他们探索得非常成功。
数学学习是思维的旅行。把数学探索的历程浓缩成一堂课，学生在探索的世界里蹒跚而行，这样学到的数学才是真正意义上的数学，才会在今后的生活中真正去用数学。
一、揭示课题
师：今天我们探索乘法交换律，你们猜什么叫乘法交换律呢？
生：我猜可能是“调换两个因数的位置，积不变”吧！
师：请把你的名字写到黑板上来（该生写名字“剑鹏”），现在我们就把这句话命名为“剑鹏猜想”，（板书：猜想）数学家就是这样思考问题的。
二、乘法交换律的探索
师：请大家看屏幕，同意这个猜想的同学请举手。咱们数学上的问题可不像选班干部那样，同意的人多就算通过了，而是要进行验证的。（板书：验证）同学们说，我们可以怎样进行验证呢？
生：可以举几个乘法的算式试一试。
师：对，用举例的方法。（板书：举例），下面就请同学们写出几个乘法算式，看看交换因数后得数变不变。
（师请生把例子写在黑板上）
师：请大家一起看黑板，这是一位数乘一位数，这是多位数相乘，这位同学的式子很有个性，其中一个因数还是0呢！比较这些算式，它们有什么共同的地方吗？
生：等号两边的因数都是一样的。
生：调换了因数的位置，积不变。
师：刚才我们举例验证了这个猜想。同学们在举例的过程中有没有发现交换因数的位置得数改变了的例子？只要能舉出一个这样的反例，这个猜想就不成立了。
生：（齐）没有发现。
师：看来我们的发现是成立的。数学家经过证明，发现这个猜想是正确的。同学们的这个猜想竟与数学家想到的是一样的，祝贺你们。这样，我们就可以把这个猜想总结成一条定律了。（板书：总结）
（多媒体出示：两个数相乘，交换因数的位置，积不变）
师：恭喜你，剑鹏同学，你的猜想成了大家公认的定律。
师：好，下面我们就来应用乘法交换律解决几个问题。
出示：（1）38×160=（ ）×（ ） （2）（ ）×134=（ ）×8200
（3）409×（ ）=625×（ ） （4）（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
（生一一回答，到最后一题时……）
师：这一题有多少种填法？我们能不能用一个式子就把这么多种填法表示出来呢？
生：一个因数×另一个因数=另一个因数×一个因数
生：甲数×乙数=乙数×甲数
生：a×b=b×a
师：对这位用字母表示的同学，你有什么看法？
生：我也喜欢用字母表示，因为它简洁、好记。
师：乘法交换律是数学中基本的运算定律之一，在数学运算中有广泛的用途。在小学数学里它有哪些用途呢？请同学们自学课本87页。（板书：应用）
学生汇报：
生：利用乘法交换律可以进行验算。
生：利用乘法交换律可以使一些计算方便。
师：利用乘法交换律能使计算简便，这是怎么回事呢？
生：比如，600×582可以写成582×600，这样列竖式计算更简便。
生：比如，108×123列竖式时先写123，再写108，中间的“0”这一步可以省略，也会使计算时简便些。
师：受同学们的启发，老师也想到了一个例子——33×276，（没等师讲完，生就接着说……）
生：老师，我知道了，变为276×33列竖式时只要乘两次就行了。
生：其实只要用3乘一次就行了，第二次的3去乘时的结果与第一次一样，只是位置不同。
师：你们太聪明了。
师：通过刚才的学习，大家有哪些收获呢？
生：我学到了乘法交换律的知识。
生：我还知道了我们是通过猜想、验证、总结、应用来学习乘法交换律的。
师：对，是应用了这些方法探索出来的。同学们，数学家研究数学问题的时候，就是像我们这样，从猜想开始，一步一步向前探索的。请大家看一段材料……
（多媒体播放：1842年，毕业于伦敦大学的弗南西斯格里在给地图涂颜色时发现一个有趣的现象，只要用四种颜色就可以使有着共同边界的国家涂上不同的颜色。这就是著名的“四色猜想”。弗南西斯格里提出猜想之后，立刻和他的弟弟进行验证，可是一直没有得到一个严格的证明结果。后来，许许多多的数学家不断提出新的证明，又不断地被否定掉。直到1978年，两名数学家在两台计算机上用了1200个小时才证明了这个猜想，由此总结成“四色定律”。现在这个定律被广泛应用于地图绘制的过程中。）
师：瞧，数学家就是这样通过猜想、验证、总结、应用来探索“四色定律”问题的。其实，数学王国里值得探索的问题还有很多很多。同学们，你们还想不想再进行探索呢？
生：（激动地）想！
师：好，刚才提出了交换两个因数的位置积不变的猜想，由此，你还能不能提出一些新的猜想呢？这些猜想能不能总结成定律呢？下面我们就前后四人一个小组来探索这些问题。
三、探索拓展
师：哪个小组先来汇报你们提出了什么猜想？猜想的内容是什么？
生：我们发现3个数相乘，交换因数的位置，它们的积也不变。
师：哪个小组和他们提出了一样的猜想？（众生举手）真是英雄所见略同啊！提出猜想之后，你们又是怎么办的呢？
生：验证。
师：你们是通过什么途径来验证的？
生：我们是举例验证的。如：3×5×8=8×5×3。
师：你们举的算式都成立吗？
生：（齐）都成立。
师：这样，我们可以对原来的乘法交换律作怎么补充？
生：两个数，三个数相乘，交换因数的位置，积不变。
生：我推想4个、5个数相乘，交换因数的位置，它们的积也不变，例如：2×3×4×5=120，3×4×5×2=120，所以2×3×4×5=3×4×5×2。 生：那我们就把“两个数相乘”改为“几个数相乘”好了。
师：你们同意吗？
生：（齐）同意。
师：还讨论了什么？
生：还讨论了乘法交换律拓展到三个数相乘，有什么应用；它可以使运算简便。
师：你能举一个例子说明吗？
生：如，25×76×4=25×4×76=100×76=7600
师：看到同学们提出的猜想都被总结成了定律，沈老师心里也痒痒的，也想提出一个“正会猜想”。（众生笑）谁知道“正会猜想”的内容是什么？
生：可能是交换被减数，减数的位置结果不变。
师：（走过去和学生握手）我俩真是想到一块去了。
师：我这猜想正确吗？
生：不正确，因为被减数、减数交换位置就不够减了。
生：结果不一样了。
师：看来“正会第一猜想”失败了，不过沈老师没有泄气，又提出第二猜想，谁知道“正会第二猜想”是什么内容？
生：大概是交换被除数、除数的位置，商不变。
师：我们真是心有灵犀一点通。那我的这个猜想能成立吗？
生：不能，因为交换它们的位置就不好算了。
师：目前，我们还不会算，等会算了我们会发现结果是不一样的。那这个猜想能总结为定律吗？
生：不能。
生：老师，我发现有的被除数和除数交换了位置商还是一样的呀！比如：8÷8=8÷8。
师：是呀！
生：这只是除法中很特殊的例子，大多数不是这样的。老师不是说过只要有一个反例，这个猜想就不成立吗？我们可以找到好多的反例。
师：有道理，谢谢你。
四、应用（略）
教学反思：
数学究竟赋予了人们什么？是知识吗？如果是的话，那它对我们今后的人生几乎没有具体的作用。是技能吗？那似乎也不够。爱因斯坦就说过，任何技术层面的知识都是可以教会的，但这不是以构成一个完整的人。数学教育的最终目的就是培养完整的人。基于以上认识，我设计了教学“探索乘法交换律”一课，反思整个过程，我觉得有以下两点体会：
一、赋予学生“知识”，更要赋予学生“方法”。
我们知道小学数学教材体系有两条线索：一条是数学知识，这是写在教材上的明线；一条是数学思想方法，这是教材编写的指导思想，是不很明确地写在教材中的，是一条暗线。前者容易理解，后者不易看明。我们在教学中常常只注重明线的把握，而忽视了对暗线的渗透，这其实无异于买椟还珠，是相当可惜的。因为在未来的社会里，教育的真正意义不在于获得一堆知识，而在于掌握学习方法、学会学习。如乘法交换律，定律本身只是一个显性知识，而在这个显性知识的背后隐藏着科学的探索的方法（猜想——验证——总结——应用）与思维策略，乃至勇于探索的精神。对于学生一生来讲，方法比知识重要百倍。因为学生走出校门之后，可能一辈子再也碰不到乘法交换律的题目，但是他要用这种方法、策略去面对纷繁复杂的人生。在本课的教学中，比较明显的折射出掌握知识已不是数学学习的最终目的，而是成了启迪数学思想方法的载体，成了探索的成果。
二、赋予学生“技能”，更要赋予学生“智慧”。
英国大哲学家怀特海说：“尽管知识技能是智育的一个主要目标，但知识技能的价值还有另一个更模糊但更伟大、更居支配地位的成分，古人把它称为‘智慧’。没有某些知识技能基础，你不可能聪明；但是你也许轻而易举地获得了知识技能，却仍然缺乏智慧”。智慧不是简单的知识技能的累积，如果一个人记忆了许多知识、掌握了很多技能，只会重复别人的思想，却不善于自己独立思考，更不会主动探究和创造，那就还没有智慧。拥有知识掌握技能的人不等于拥有智慧，但拥有智慧的人一定拥有知识与技能，更懂得如此运用知识，获取新知识。对教学而言，“知识技能”往往关注的是现成的结论、现成的答案等，而“智慧”更关注这些结论的形成过程，关注那引人入胜的未知领域，这是知识技能与智慧的最大区别。“探索乘法交换律”的教学我努力让学生经历“猜想——验证——总结——应用”的教學探索过程。笔者认为，如果仅仅是“教学知识与掌握技能”，10多分钟就足够了。但是这样教学，学生获得的仅仅只是“知识技能”，而不“智慧”；仅仅是“知道”，而没有“感悟”。事实上，学生做了这么多年的乘法，脑子里一定会形成有关乘法交换律的猜想，这些猜想有的在潜意识层面，有的在显意识层面。这堂课一开始就让学生去猜想，然后由学生自己一步一步地完成整个探索过程。事实证明，他们探索得非常成功。
数学学习是思维的旅行。把数学探索的历程浓缩成一堂课，学生在探索的世界里蹒跚而行，这样学到的数学才是真正意义上的数学，才会在今后的生活中真正去用数学。