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【摘 要】 经济学作为一门研究经济现象的科学。在经济学问题的分析过程中，我们发现，对于某些经济学的问题，尤其是一些局部性的问题，如果离开了数学，将永远无法解释清楚。微积分是数学学科的基础知识，也是解决许多经济问题必备的工具和语言。例如：最小平均问题、最小成本问题、订单多大时销售收入最多、优化问题中的比较静态分析、洛伦茨曲线与基尼系数、消费者剩余和生产者剩余等等，都需要我们熟练掌握并学会利用微积分进行经济问题的分析。
【关键词】 微积分；经济分析；数理分析
马克思说，一种科学只有在成功地应用了数学时，才算达到了真正完善的地步。今天经济学研究的深入，与数学的关系十分密切。甚至可以说，数学学科的所有分支，在经济学中都有应用，不仅如此，伴随着经济学的发展，对新的数学理论的需求还推动了一系列专门数学理论的发展。从微积分的方面来说，如极值映射的微积分学、微分包含理论等。本文将从边际函数与弹性、简单的经济优化两个方面分别论述微积分在经济分析中的应用，并对个别经济数学模型进一步进行解释。
一、边际与弹性在经济分析中的应用
在经济学上，将函数的导数称为边际函数。我们在现实生活中，常常会考虑这样一些问题：某一种产品生产的数量是否越多越好？在什么情况下生产者的收益达到最大化？在生产数量控制在什么水平时对社会最有利？一种产品应依据什么标准来进行定价，从而影响该商品的需求量？这一系列问题都需要通过边际函数与弹性分析来解决。
1.1边际成本问题
总成本函数C=C（Q）的导数C''（Q）称为边际成本函数，也记为MC，显然C''（Q）> 0.
在产量为Q时，生产最后一个单位的产品花费的成本C（Q）— C（Q—1）约为C''（Q），或者说，在产量为Q时，再生产一个单位的产品花费的成本C（Q+1）—C（Q）约为C''（Q）.
具体分析将通过下例进一步解释:
假设某厂生产5万台电视机的总成本为6000万元，则平均到每台的成本为1200元.当它生产第50001台时.
（1）如果这台电视机的边际成本为1200元，那么平均成本没有发生变化；
（2）如果这台电视机的成本为1150元，那么边际成本小于平均成本，在这种情况下，多生产这台电视机可以使平均成本下降；
（3）如果这台电视机的成本为1250元，那么边际成本大于平均成本，在此种情况下，多生产这台电视机会使平均成本增加.
1.2边际利润问题
总利润函数L=L(Q)的导数L''（Q）称为边际利润函数，它是企业所销售的最后一个单位产品或多销售一个单位产品得到的利润的近似值。又因为L(Q)=R（Q）—C（Q），可以得出L''（Q）= R''（Q）—C''（Q），即边际利润等于边际收入与边际成本之差。
例：某企业生产一种产品，每天的总利润L（x）元与产量x吨之间的函数关系为L（x）=250x-5x^2. （1）试求边际利润函数；（2）求x=10,25,30处的边际利润值，并解释其经济意义。
解：(1)由定义可知，边际利润函数即利润函数的导函数，
所以，边际利润函数L''（x）=(250x-5x^2)''.
L''（x）=250-10x
(2)当x=10时，边际利润L（10）=250-10*10=150元，其经济意义表示：在每天生产10吨的基础上每多生产1吨，总利润将增加150元.
当x=25时，边际利润L（25）=250-10*25=0元，其经济意义表示：在每天生产25吨时，再多生产1吨，总利润几乎没有变化.这1吨产量并没有带来利润的增加.
当x=30时，边际利润L（30）=250-10*30= -50元，其经济意义表示：在每天生产30吨时，再多生产1吨，总利润反而会减少50元，这说明并非产量越多利润越大.
显然，于企业而言，并非产量越大，所带来的利润就越大，这个例子就是很好的证明。
1.3边际、变化速度
假设总量函数P（x）可导，它的边际函数为P''（x），总量函数为P（x）=∫P''（x）dx ，其中的积分常数可以由某一点的总量函数值来确定.
例：假设S：居民储蓄额，Y：居民收入. 已知边际储蓄倾向dS/dY=0.5-0.2Y^(-0.5), Y=25时，S = -3.15.
求储蓄函数；（2）若收入从36变为49，储蓄将如何变化？
解：（1）S=∫S''（Y）dY =∫（0.5-0.2Y^(-0.5)）dY，
=0.5Y-0.4Y^(0.5)+c
将Y=25，S=-3.5带入上式，得c=-14.
所以，储蓄函数为S=0.5Y - 0.4Y^(0.5) -14
（2）当收入Y从36变为49时，储蓄额的变化为
⊿S = S（49）— S（36）= 6.1
1.4 销售收入与需求弹性
假设某商品的需求函数为Q = f (P) ，这里Q表示商品的需求量，P为此商品的价格，如果此商品是由该企业完全垄断的，生产商的产销均衡，则该厂商的销售收入为：
R=PQ=P f (P)
R''（P）= dR/dP = d(PQ)/dP = Q + P (dQ/dP) = Q[1+(P/Q) *( dQ/dP )] = Q(1+Ep)
其中，Ep为需求价格弹性.
需求价格弹性对总收入影响的分析：
当Ep<-1 时，R''（P）<0，此时涨价会使总收入减少，降价会使总收入增加；
当-10，此时涨价会使总收入增加，降价会使总收入减少；
当Ep=-1 时，R''（P）=0，此时涨价或降价，总收入几乎无变化.由可导函数取极值的必要条件，在R（P）的驻点惟一时，单位弹性可使总收入达到最大值。
二、微积分在经济优化中的应用
让我们一起思考这样一个问题：任一种不可能无限供应，且有益于人们的商品或资源，怎样最恰当地分配到各种用途中。我们以农业生产的例子做简单分析。 用化肥作为投入品，生产的粮食作为产出品。简单起见，假设分配该化肥的土地只有两块。按照所谓“公平”的分配方法，化肥是按照土地面积的大小来分配的。但是，由于两块土地的土壤质量、灌溉条件都有所不同，作物吸收利用化肥的能力也有很大的差别，如此看来，依面积大小来分配化肥未必是最优的。要找到最优方法，首先要清楚的是，施用化肥的目的是增产粮食，所谓最优，也就是增产的粮食最多。换句话说，我们要找出一种方案，能够使两块土地上因施用化肥而增产的粮食最多。要检验一个分配方案是否是最佳方案，只需检验两块地上化肥的边际产出是否相等。如果不相等，则这个分配方案一定不是最优方案，只要对这两块土地的分配适当调整就可增加产出，一个可以进一步改进的方案自然不是最优方案。
2.1 产品组的定价
一家牧场销售牛排和牛皮。假定这两种产品是固定比例的关联产品，每头牛可提供两片牛排和一张牛排。牛排和牛皮的需求函数分别为
P1=110 - 2Q1，P2=140-Q2
其中，P1.P2分别为牛排和牛皮的价格，Q1，Q2分别为牛排和牛皮的需求量。联合总成本为 C（Q1，Q2）=Q1 ^2 + 2Q1Q2 + Q2 ^2 + 200
问：牛排和牛皮的价格各为多少时，总利润达到最大值？此时的屠宰量是多少？
解：由题意得：Q1=2 Q2 .
总利润函数为
L（Q1，Q2）=P1 Q1+ P2 Q2 - C(Q1，Q2)
=(110-2Q1)Q1 + (140-Q2)Q2 –(Q1 ^2 +2 Q1 Q2 +Q2 ^2 +200)
=110Q1 + 140Q2 – 3Q1 ^2 - 2Q1Q2 - 2Q2 ^2 -200
作拉格朗日函数
F(Q1，Q2，,λ)=L(Q1，Q2) +λ(Q1 - 2Q2)
令F1''=F2''=（Fλ）'' = 0 ，得
110-6 Q1 - 2 Q2 +λ=0
140-2 Q1 – 4Q2 - 2λ=0
Q1- 2 Q2=0
解得 Q1=20， Q2=10. 可知，此时总利润最大. 牛排和牛皮的价格分别应定为
P1=110-40=70
P2=140-10=130.
三、经济数学模型个案分析
3.1 两个寡头的价格竞争
甲、乙两场生产可相互代替的两种产品，其需求函数分别为：Q1=24–4 P1+ 2 P2, Q2=24+2 P1-4 P2。其中，P1，P2 分别为两场产品的价格（万元/吨），Q1， Q2分别为两厂产品的需求量（吨）。设 两厂家的固定成本均为40万元，边际成本为0。
若两厂家相互勾结，求使得两厂家的总利润达到最大时两厂的价格、产量和利润。
解：当两厂家相互勾结，两厂形成价格联盟，产品价格均为P，两厂需求函数为 Q1=24-2P，Q2=24-2P, 两厂总利润函数为：
L（P）=PQ1+PQ2-80=2P(24-2P)-80=48P-4P^2-80
令L''（P）=48-8P=0，P=6，L''''(P)=-8<0，所以，在共谋价格为6万元/吨时，两厂的总利润最大.此时，两厂产量为Q1=Q2=12（吨），两厂利润为L1=L2=6*12-40 = 32（万元）.
四、结语
综上所述，我们知道，数学方法之所以能在经济学中起到举足轻重的作用，原因有三：第一，利用数学方法研究复杂现象，不论其推算的过程多么冗长，都不会丧失其可靠性。第二，数学方法具有客观性和严密性，当它应用于经济现象的研究时，那些我们认为理所当然，其实应加以仔细研究的概念，数学能让我们保持理性。第三，也就是贯穿全文的微积分，多变量的微积分的理论很适合于研究以复杂事物为对象的经济学。偏导数、全导数、全微分公式在经济分析中是一些最基本的手段，当这些表达一旦被赋予经济学含义，复杂的事物就变得清晰可变。
【参考文献】
[1]张金水.数理经济学[M].高等教育出版社，2011
[2]白银凤，罗蕴玲.微积分及其应用[M].高等教育出版社，2012
[3]杨小凯.数理经济学基础[M].国防工业出版社，2010
[4]邵宜航.数理经济学精要[M].科学出版社，2011
（作者单位：绥化学院数学与信息科学学院）
【关键词】 微积分；经济分析；数理分析
马克思说，一种科学只有在成功地应用了数学时，才算达到了真正完善的地步。今天经济学研究的深入，与数学的关系十分密切。甚至可以说，数学学科的所有分支，在经济学中都有应用，不仅如此，伴随着经济学的发展，对新的数学理论的需求还推动了一系列专门数学理论的发展。从微积分的方面来说，如极值映射的微积分学、微分包含理论等。本文将从边际函数与弹性、简单的经济优化两个方面分别论述微积分在经济分析中的应用，并对个别经济数学模型进一步进行解释。
一、边际与弹性在经济分析中的应用
在经济学上，将函数的导数称为边际函数。我们在现实生活中，常常会考虑这样一些问题：某一种产品生产的数量是否越多越好？在什么情况下生产者的收益达到最大化？在生产数量控制在什么水平时对社会最有利？一种产品应依据什么标准来进行定价，从而影响该商品的需求量？这一系列问题都需要通过边际函数与弹性分析来解决。
1.1边际成本问题
总成本函数C=C（Q）的导数C''（Q）称为边际成本函数，也记为MC，显然C''（Q）> 0.
在产量为Q时，生产最后一个单位的产品花费的成本C（Q）— C（Q—1）约为C''（Q），或者说，在产量为Q时，再生产一个单位的产品花费的成本C（Q+1）—C（Q）约为C''（Q）.
具体分析将通过下例进一步解释:
假设某厂生产5万台电视机的总成本为6000万元，则平均到每台的成本为1200元.当它生产第50001台时.
（1）如果这台电视机的边际成本为1200元，那么平均成本没有发生变化；
（2）如果这台电视机的成本为1150元，那么边际成本小于平均成本，在这种情况下，多生产这台电视机可以使平均成本下降；
（3）如果这台电视机的成本为1250元，那么边际成本大于平均成本，在此种情况下，多生产这台电视机会使平均成本增加.
1.2边际利润问题
总利润函数L=L(Q)的导数L''（Q）称为边际利润函数，它是企业所销售的最后一个单位产品或多销售一个单位产品得到的利润的近似值。又因为L(Q)=R（Q）—C（Q），可以得出L''（Q）= R''（Q）—C''（Q），即边际利润等于边际收入与边际成本之差。
例：某企业生产一种产品，每天的总利润L（x）元与产量x吨之间的函数关系为L（x）=250x-5x^2. （1）试求边际利润函数；（2）求x=10,25,30处的边际利润值，并解释其经济意义。
解：(1)由定义可知，边际利润函数即利润函数的导函数，
所以，边际利润函数L''（x）=(250x-5x^2)''.
L''（x）=250-10x
(2)当x=10时，边际利润L（10）=250-10*10=150元，其经济意义表示：在每天生产10吨的基础上每多生产1吨，总利润将增加150元.
当x=25时，边际利润L（25）=250-10*25=0元，其经济意义表示：在每天生产25吨时，再多生产1吨，总利润几乎没有变化.这1吨产量并没有带来利润的增加.
当x=30时，边际利润L（30）=250-10*30= -50元，其经济意义表示：在每天生产30吨时，再多生产1吨，总利润反而会减少50元，这说明并非产量越多利润越大.
显然，于企业而言，并非产量越大，所带来的利润就越大，这个例子就是很好的证明。
1.3边际、变化速度
假设总量函数P（x）可导，它的边际函数为P''（x），总量函数为P（x）=∫P''（x）dx ，其中的积分常数可以由某一点的总量函数值来确定.
例：假设S：居民储蓄额，Y：居民收入. 已知边际储蓄倾向dS/dY=0.5-0.2Y^(-0.5), Y=25时，S = -3.15.
求储蓄函数；（2）若收入从36变为49，储蓄将如何变化？
解：（1）S=∫S''（Y）dY =∫（0.5-0.2Y^(-0.5)）dY，
=0.5Y-0.4Y^(0.5)+c
将Y=25，S=-3.5带入上式，得c=-14.
所以，储蓄函数为S=0.5Y - 0.4Y^(0.5) -14
（2）当收入Y从36变为49时，储蓄额的变化为
⊿S = S（49）— S（36）= 6.1
1.4 销售收入与需求弹性
假设某商品的需求函数为Q = f (P) ，这里Q表示商品的需求量，P为此商品的价格，如果此商品是由该企业完全垄断的，生产商的产销均衡，则该厂商的销售收入为：
R=PQ=P f (P)
R''（P）= dR/dP = d(PQ)/dP = Q + P (dQ/dP) = Q[1+(P/Q) *( dQ/dP )] = Q(1+Ep)
其中，Ep为需求价格弹性.
需求价格弹性对总收入影响的分析：
当Ep<-1 时，R''（P）<0，此时涨价会使总收入减少，降价会使总收入增加；
当-1
当Ep=-1 时，R''（P）=0，此时涨价或降价，总收入几乎无变化.由可导函数取极值的必要条件，在R（P）的驻点惟一时，单位弹性可使总收入达到最大值。
二、微积分在经济优化中的应用
让我们一起思考这样一个问题：任一种不可能无限供应，且有益于人们的商品或资源，怎样最恰当地分配到各种用途中。我们以农业生产的例子做简单分析。 用化肥作为投入品，生产的粮食作为产出品。简单起见，假设分配该化肥的土地只有两块。按照所谓“公平”的分配方法，化肥是按照土地面积的大小来分配的。但是，由于两块土地的土壤质量、灌溉条件都有所不同，作物吸收利用化肥的能力也有很大的差别，如此看来，依面积大小来分配化肥未必是最优的。要找到最优方法，首先要清楚的是，施用化肥的目的是增产粮食，所谓最优，也就是增产的粮食最多。换句话说，我们要找出一种方案，能够使两块土地上因施用化肥而增产的粮食最多。要检验一个分配方案是否是最佳方案，只需检验两块地上化肥的边际产出是否相等。如果不相等，则这个分配方案一定不是最优方案，只要对这两块土地的分配适当调整就可增加产出，一个可以进一步改进的方案自然不是最优方案。
2.1 产品组的定价
一家牧场销售牛排和牛皮。假定这两种产品是固定比例的关联产品，每头牛可提供两片牛排和一张牛排。牛排和牛皮的需求函数分别为
P1=110 - 2Q1，P2=140-Q2
其中，P1.P2分别为牛排和牛皮的价格，Q1，Q2分别为牛排和牛皮的需求量。联合总成本为 C（Q1，Q2）=Q1 ^2 + 2Q1Q2 + Q2 ^2 + 200
问：牛排和牛皮的价格各为多少时，总利润达到最大值？此时的屠宰量是多少？
解：由题意得：Q1=2 Q2 .
总利润函数为
L（Q1，Q2）=P1 Q1+ P2 Q2 - C(Q1，Q2)
=(110-2Q1)Q1 + (140-Q2)Q2 –(Q1 ^2 +2 Q1 Q2 +Q2 ^2 +200)
=110Q1 + 140Q2 – 3Q1 ^2 - 2Q1Q2 - 2Q2 ^2 -200
作拉格朗日函数
F(Q1，Q2，,λ)=L(Q1，Q2) +λ(Q1 - 2Q2)
令F1''=F2''=（Fλ）'' = 0 ，得
110-6 Q1 - 2 Q2 +λ=0
140-2 Q1 – 4Q2 - 2λ=0
Q1- 2 Q2=0
解得 Q1=20， Q2=10. 可知，此时总利润最大. 牛排和牛皮的价格分别应定为
P1=110-40=70
P2=140-10=130.
三、经济数学模型个案分析
3.1 两个寡头的价格竞争
甲、乙两场生产可相互代替的两种产品，其需求函数分别为：Q1=24–4 P1+ 2 P2, Q2=24+2 P1-4 P2。其中，P1，P2 分别为两场产品的价格（万元/吨），Q1， Q2分别为两厂产品的需求量（吨）。设 两厂家的固定成本均为40万元，边际成本为0。
若两厂家相互勾结，求使得两厂家的总利润达到最大时两厂的价格、产量和利润。
解：当两厂家相互勾结，两厂形成价格联盟，产品价格均为P，两厂需求函数为 Q1=24-2P，Q2=24-2P, 两厂总利润函数为：
L（P）=PQ1+PQ2-80=2P(24-2P)-80=48P-4P^2-80
令L''（P）=48-8P=0，P=6，L''''(P)=-8<0，所以，在共谋价格为6万元/吨时，两厂的总利润最大.此时，两厂产量为Q1=Q2=12（吨），两厂利润为L1=L2=6*12-40 = 32（万元）.
四、结语
综上所述，我们知道，数学方法之所以能在经济学中起到举足轻重的作用，原因有三：第一，利用数学方法研究复杂现象，不论其推算的过程多么冗长，都不会丧失其可靠性。第二，数学方法具有客观性和严密性，当它应用于经济现象的研究时，那些我们认为理所当然，其实应加以仔细研究的概念，数学能让我们保持理性。第三，也就是贯穿全文的微积分，多变量的微积分的理论很适合于研究以复杂事物为对象的经济学。偏导数、全导数、全微分公式在经济分析中是一些最基本的手段，当这些表达一旦被赋予经济学含义，复杂的事物就变得清晰可变。
【参考文献】
[1]张金水.数理经济学[M].高等教育出版社，2011
[2]白银凤，罗蕴玲.微积分及其应用[M].高等教育出版社，2012
[3]杨小凯.数理经济学基础[M].国防工业出版社，2010
[4]邵宜航.数理经济学精要[M].科学出版社，2011
（作者单位：绥化学院数学与信息科学学院）