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在平面几何题中所要证明的线段或角有时分布的过于分散，有时分布的过于集中，给解题带来了较大的困难。这时就需要把过于集中的线段或角分散开，把过于分散的线段或角集中起来，以便查找他们之间的关系。为此可以把题中部分已知图形大小不变地变换到新的有利的位置。借以沟通已知和未知的关系，化繁为简，化难为易，从而找到解题的途径。这种把图形从一个位置移到另一个位置，而大小不变的变换是“合同变换”“平移变换”和“旋转变换”是合同变换的其中两种基本形式，下面主要研究如何利用“平移变换”和“旋转变换”来解平面几何。
一、利用“平移变换”解题
把图形F上所有的点向着同一方向移动相同距离而得到的图形F′的变换叫做平移。图形F′显然合同于图形F，平移可以把交错的条件分开，把分散的条件集中。在下面两种情况下可以尝试利用平移变换。
（一）当题中有一对或一组平行线时可以尝试利用平移转换
例1：如图1，设AT为ABC的角平分线，M为BC的中点，META交CA延长线于E，交AB于D。求证：BD=CE。
■
分析：所要证明的相等的两条线段CE和BD，分布的较为分散，既不在两个全等的三角形中，也不在同一个三角形中，BD和AC未发生任何关系。观察到途中有一组平行线ME和AT，可尝试把BD平移使平移的BD与CE发生联系。为此可把BD平移至EF处，则EF与CE分布在同一三角形中。这样就把问题化归为：证明同一三角形中的两边相等，这时只需证：∠1=∠2，则FN=CN。∵EF∥BD ，∴∠1=∠5。又AT∥EM，∴∠5=∠3，∴∠1=∠3。又知∠2=∠4且∠3=∠4，∴∠1=∠2。∵EM∥BF，M是BC的中点，∴N是FC的中点，即FN=CN，从而本题得证。
（二）当题中的已知线段有交叉，重叠时刻尝试利用平移
例2：任意三角形的三条中线所形成的三角形的面积等于原三角形面积的3/4。
已知：如图2，AD、BE、CF是ABC的三条中线，求证：由AD、BE、CF为三边所组成的三角形的面积等于△ABC面积的3/4。
■
分析：∵△ABC的面积可用三边来表示，即：△ABC=■三中线的长也可用三边来表示：即Ma=■,Mb=■，Mc=■，因此三中线所围成的三角形的面积，也可用原三角形的三边a、b、c来表示。
我们自然会想到通过计算来证明围成的三角形的面积等于△ABC面积的3/4。但这将是一种复杂的运算，不易实现，其原因就是两个三角形的位置未发生任何联系，以提供论证的方便，为使中线所围成的三角形在位置上与发生联系，我们试讲中线BE平移到FG，连接GC。若GC能够等于AD，那么△CFG便是三中线所围成的三角形了。它在位置上与有密切的联系，便于比较其大小。不难发现，连接AG、GE、EF后，有GE//AF,从而得AG//EF//DC，∴GC//AD,那么剩下的问题便是计算的面积了。
因为被EG、DF分割成三个三角形，且：S△EFG=S△AEF=1/4S△ABC；S△CEF=S△BEF=1/4S△ABC；S△CFG=S△EFG=1/4S△ABC，∴S△CFG=S△EFG+S△CEF+S△CEG=3/4S△ABC。
二、利用“旋转变换”解题
把图形F上的所有点都绕着一个定点，按逆时针方向（或顺时针）转动一个相同的角度而得到图形F′，像这样把图形F变到图形F′的变换，叫做旋转变换。图形F′显然合同于图形F。旋转变换也可以起到集中或分散条件的作用。在下面的两种情况下可尝试利用旋转变换。
（一）当问题中涉及正方形或正三角形时刻尝试利用旋转变换
例3：如图3，在△ABC中，以AB、AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，又作AH⊥BC于H，HA为延长线交EG于P，求证：EP=PG,且AP=1/2BC。
■
分析：欲证EP=PG就图形来看没有适当定理可供应用，欲证AP=1/2BC。图中的AP，BC较分散，没有发生联系，由于图中有正方形，可尝试利用旋转将△ABC绕点A顺时针旋转90度至△AEC′处，可得：EC′=BC,AC′=AC,这样AP与EC′，就有了联系。要证：AP=1/2EC′,EP=PG只要证明AP是△EGC′的中线，因为AHAB,BC绕点A旋转90度至EC′,所以EC′∥AH,即EC′∥AP,又应AC′=AC=AG,∴EP=PG,∴AP是△EC′G的中位线，则AP=1/2EC′,命题得解。
例4：如图4，分别以正方形ABCD的便AB、AD为半径画半圆，若正方形的边长为a，求阴影部分面积。
■
解：连AC、BD如图4，则绕AD中点将②逆时针旋转90度到图中③，将图中①绕AB中点顺时针旋转90度到图中④，则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等，所以图中阴影部分的面积：S△DBC=1/2S正方形ABCD=1/2a2。这里我们用旋转变换的方法改变了图中①②的位置，从而顺利的完成了计算。
（二）若问题中涉及线段中点可尝试利用中心对称变换来分散或几种题中的条件
中心对称变换实际上也是一种特殊的旋转变换，即是将图形绕对称中心旋转180度的旋转变换。
例5：如图5，设M为Rt△ABC斜边BC上的中点，PMQ=90°,P是AB上的一点，Q是AC上的一点，求证：BP2+CQ2=PQ2。
■
分析：欲证BP2+CQ2=PQ2即想到利用勾股定理，但题中的图形来看BP，CQ根本不在同一个三角形中，现设法将三条线段移至同一三角形中，可作△BMP关于点M的中心对称图形△CMP′,则：BP=P′C，又因为PM=P′Q，∠PMQ=90°，所以PQ=P′Q，这样就把BP、CQ、PQ转化到同一个△QCP′中，欲证：P′Q2=QC2+P′Q2，即要证△P′CQ直角三角形，由对称性知：∠B=∠MCP′∴AB∥CP′，∠QCP=∠A=90°，∴P′Q2=OC2+P′C2，问题得证。
综上所述，利用平移转换和旋转变换解平面几何的规律是，在题中的线段或角分布不理想时，通过平移或者旋转把部分图形大小不变地移到一个较合适的位置，使题中的条件互相沟通，发生联系，从而使问题简单化、容易化。利用平移或旋转，也为我们在解平面几何题时如何添加辅助线提供了一种很好的思路。在这里只就某些特殊的类型作了一些归纳，实际上还有一些变换如反射变换在这里没作介绍。这里介绍一些内容，其目的是起到抛砖引玉的作用，文中肯定有不足之处望批评指正。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
一、利用“平移变换”解题
把图形F上所有的点向着同一方向移动相同距离而得到的图形F′的变换叫做平移。图形F′显然合同于图形F，平移可以把交错的条件分开，把分散的条件集中。在下面两种情况下可以尝试利用平移变换。
（一）当题中有一对或一组平行线时可以尝试利用平移转换
例1：如图1，设AT为ABC的角平分线，M为BC的中点，META交CA延长线于E，交AB于D。求证：BD=CE。
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分析：所要证明的相等的两条线段CE和BD，分布的较为分散，既不在两个全等的三角形中，也不在同一个三角形中，BD和AC未发生任何关系。观察到途中有一组平行线ME和AT，可尝试把BD平移使平移的BD与CE发生联系。为此可把BD平移至EF处，则EF与CE分布在同一三角形中。这样就把问题化归为：证明同一三角形中的两边相等，这时只需证：∠1=∠2，则FN=CN。∵EF∥BD ，∴∠1=∠5。又AT∥EM，∴∠5=∠3，∴∠1=∠3。又知∠2=∠4且∠3=∠4，∴∠1=∠2。∵EM∥BF，M是BC的中点，∴N是FC的中点，即FN=CN，从而本题得证。
（二）当题中的已知线段有交叉，重叠时刻尝试利用平移
例2：任意三角形的三条中线所形成的三角形的面积等于原三角形面积的3/4。
已知：如图2，AD、BE、CF是ABC的三条中线，求证：由AD、BE、CF为三边所组成的三角形的面积等于△ABC面积的3/4。
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分析：∵△ABC的面积可用三边来表示，即：△ABC=■三中线的长也可用三边来表示：即Ma=■,Mb=■，Mc=■，因此三中线所围成的三角形的面积，也可用原三角形的三边a、b、c来表示。
我们自然会想到通过计算来证明围成的三角形的面积等于△ABC面积的3/4。但这将是一种复杂的运算，不易实现，其原因就是两个三角形的位置未发生任何联系，以提供论证的方便，为使中线所围成的三角形在位置上与发生联系，我们试讲中线BE平移到FG，连接GC。若GC能够等于AD，那么△CFG便是三中线所围成的三角形了。它在位置上与有密切的联系，便于比较其大小。不难发现，连接AG、GE、EF后，有GE//AF,从而得AG//EF//DC，∴GC//AD,那么剩下的问题便是计算的面积了。
因为被EG、DF分割成三个三角形，且：S△EFG=S△AEF=1/4S△ABC；S△CEF=S△BEF=1/4S△ABC；S△CFG=S△EFG=1/4S△ABC，∴S△CFG=S△EFG+S△CEF+S△CEG=3/4S△ABC。
二、利用“旋转变换”解题
把图形F上的所有点都绕着一个定点，按逆时针方向（或顺时针）转动一个相同的角度而得到图形F′，像这样把图形F变到图形F′的变换，叫做旋转变换。图形F′显然合同于图形F。旋转变换也可以起到集中或分散条件的作用。在下面的两种情况下可尝试利用旋转变换。
（一）当问题中涉及正方形或正三角形时刻尝试利用旋转变换
例3：如图3，在△ABC中，以AB、AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，又作AH⊥BC于H，HA为延长线交EG于P，求证：EP=PG,且AP=1/2BC。
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分析：欲证EP=PG就图形来看没有适当定理可供应用，欲证AP=1/2BC。图中的AP，BC较分散，没有发生联系，由于图中有正方形，可尝试利用旋转将△ABC绕点A顺时针旋转90度至△AEC′处，可得：EC′=BC,AC′=AC,这样AP与EC′，就有了联系。要证：AP=1/2EC′,EP=PG只要证明AP是△EGC′的中线，因为AHAB,BC绕点A旋转90度至EC′,所以EC′∥AH,即EC′∥AP,又应AC′=AC=AG,∴EP=PG,∴AP是△EC′G的中位线，则AP=1/2EC′,命题得解。
例4：如图4，分别以正方形ABCD的便AB、AD为半径画半圆，若正方形的边长为a，求阴影部分面积。
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解：连AC、BD如图4，则绕AD中点将②逆时针旋转90度到图中③，将图中①绕AB中点顺时针旋转90度到图中④，则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等，所以图中阴影部分的面积：S△DBC=1/2S正方形ABCD=1/2a2。这里我们用旋转变换的方法改变了图中①②的位置，从而顺利的完成了计算。
（二）若问题中涉及线段中点可尝试利用中心对称变换来分散或几种题中的条件
中心对称变换实际上也是一种特殊的旋转变换，即是将图形绕对称中心旋转180度的旋转变换。
例5：如图5，设M为Rt△ABC斜边BC上的中点，PMQ=90°,P是AB上的一点，Q是AC上的一点，求证：BP2+CQ2=PQ2。
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分析：欲证BP2+CQ2=PQ2即想到利用勾股定理，但题中的图形来看BP，CQ根本不在同一个三角形中，现设法将三条线段移至同一三角形中，可作△BMP关于点M的中心对称图形△CMP′,则：BP=P′C，又因为PM=P′Q，∠PMQ=90°，所以PQ=P′Q，这样就把BP、CQ、PQ转化到同一个△QCP′中，欲证：P′Q2=QC2+P′Q2，即要证△P′CQ直角三角形，由对称性知：∠B=∠MCP′∴AB∥CP′，∠QCP=∠A=90°，∴P′Q2=OC2+P′C2，问题得证。
综上所述，利用平移转换和旋转变换解平面几何的规律是，在题中的线段或角分布不理想时，通过平移或者旋转把部分图形大小不变地移到一个较合适的位置，使题中的条件互相沟通，发生联系，从而使问题简单化、容易化。利用平移或旋转，也为我们在解平面几何题时如何添加辅助线提供了一种很好的思路。在这里只就某些特殊的类型作了一些归纳，实际上还有一些变换如反射变换在这里没作介绍。这里介绍一些内容，其目的是起到抛砖引玉的作用，文中肯定有不足之处望批评指正。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”