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作者介绍:江苏省四星级重点高中,连云港市首批名校高级教师,江苏省“333 工程”培养对象,多次荣获“优秀教师”、“优秀教育工作者”、“教学先进个人”、“十佳班主任”、“优秀班主任”等荣誉称号,多次辅导学生在数学奥赛中获全国或全省一等奖。
新信息题已成为高考试题改革的一个新亮点,其通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境,主题考查考生独立提取信息、加工信息的能力,要求考生在阅读理解的基础上,紧扣条件,抓住关键的信息,实现信息的转化,达到灵活理解题目的目的。
类型一:隔离直线
已知函数f(x)和g(x), 若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域的任意实数x,分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则成直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”。
导思一:隔离直线“隔”在何处?如何寻求“隔”点?
根据“隔离直线”的定义,其定义域内的任意实数x,f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b同时恒成立,结合函数的图像,曲线f(x)和g(x)上的点完全分布在直线y=kx+b的两侧。因此,根据题意来理解,如果两个函数图像存在公共点,则公共点就应成为解题的关键。
导思二:如何突破此类创新题?
根据题意,函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,问题即为两个恒成立问题,所以只要找出隔离直线,剩下的只有利用导数解决恒成立的相关问题了。
导思三:如何利用导数解决恒成立问题?
如果问题中给出了两个函数间的大小关系确定,即恒成立时,可一步到位——采用作差构造新函数,然后再采用导数法(前提是用导数法便于判断新函数的单调性)证明。
思路一:解出公共点,设过该点的直线方程,根据满足题意的条件求出直线方程。
例1设函数f(x)= x2,g(x)=elnx 试探究f(x)与g(x)是否存在“隔离直线”?若存在,求出“隔离直线”的方程;若不存在,请说明理由。
分析:求出函数f(x)与g(x)图像的公共点,并设出过该公共点的直线的点斜式方程,根据题意将问题归结为不等式恒成立问题,利用单调性(导数法判定)求解并证明。
评注:寻求隔离直线的关键是,首先找出两函数的公共点,可以采用构造函数法及利用函数的单调性求函数的零点,得出公共点;其次将过公共点的直线设成点斜式,代入已知条件,能同时使两个不等式恒成立的直线,即为所求隔离直线。
思路二:求出过两曲线公共点处的切线,则该切线即为“隔离直线”
例2设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0).
(Ⅰ)若f(1)=g(1),f '(1)=g '(1),求F(x)= f(x) -g(x)求的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,是否存在常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由。
分析:求出两函数图像的公共点,并求出在该公共点处两函数的切线,如果两函数存在隔离直线,则该切线即为所求。
所以h(x)=ln x+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以ln x+x≤2x-1恒成立。
故存在这样的k和m,且k=2,m= -1。
评注:如果两函数存在隔离直线,其思考步骤为:①求出两函数图像的公共点;
②求出过公共点处曲线的切线;③证明该切线即为隔离直线。
类型二:相依切线
对于函数图像上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图像上存在点M(x0,y0)其中x0∈(x1,x2)使得点M处的切线l∥AB,则称AB存在“相依切线”。特别地,当x0= 时,又称AB存在“中值相依切线”
导思一:如何理解直线的“相依切线”?
直线的“相依切线”,只是一种新名词、新定义的概念,如果抛弃“新”的概念,只从实质上理解,问题则转化为我们熟悉的求曲线的切线问题。
导思二:如何解决直线的“相依切线”问题?
求出直线AB的斜率,利用导数求出A、B两点间曲线的斜率,;令两斜率相等,建立等量关系,将问题归结为方程是否存在根的问题。
例3已知函数f(x)=lnx- ax2+bx(a>0)且导数f '(1)=0.
(Ⅰ)试用含有a的式子表示b,并求f(x)单调区间;
(Ⅱ)试问:在函数f(x)上是否存在两点A、B使得它存在“中值相依直线”?若存在,求出的A、B坐标;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅱ)令直线AB的斜率等于曲线在A、B中点x0处切线的斜率,利用导数法判定该方程是否有解。
解:(I)f(x)的定义域为(0,+∞),∵f '(x)=,f '(1)=1-a+b将=0,得b=a -1.
将其代入f '(x)= 得f '(x)=
当f '(x)>0时,>0 由x>0,得(ax+1)(x-1)<0.
又a>0,∴0 当f '(x)<0时,< 0,由x>0 得(ax+1)(x-1)>0, 又a>0,∴x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
(II)在函数f(x)上不存在两点A、B使得它存在“中值相依切线”.
假设存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设0< x1< x2 ,则
综上所述,在函数f(x)上不存在两点A、B使得它存在“中值相依切线”。
评注:将问题化归到 时,很难进一步求解,此时可以利用整体思想,即设 ,就可以将问题简化为方程 是否有解。此类设法是解题,特别是解含参数较多问题的一个技巧,在解题时能灵活应用,往往可起到化陌生为熟悉、化复杂为简单的效果。而判断方程 是否有解,可构造函数,利用导数的工具,根据函数单调性加以判定。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
新信息题已成为高考试题改革的一个新亮点,其通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境,主题考查考生独立提取信息、加工信息的能力,要求考生在阅读理解的基础上,紧扣条件,抓住关键的信息,实现信息的转化,达到灵活理解题目的目的。
类型一:隔离直线
已知函数f(x)和g(x), 若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域的任意实数x,分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则成直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”。
导思一:隔离直线“隔”在何处?如何寻求“隔”点?
根据“隔离直线”的定义,其定义域内的任意实数x,f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b同时恒成立,结合函数的图像,曲线f(x)和g(x)上的点完全分布在直线y=kx+b的两侧。因此,根据题意来理解,如果两个函数图像存在公共点,则公共点就应成为解题的关键。
导思二:如何突破此类创新题?
根据题意,函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,问题即为两个恒成立问题,所以只要找出隔离直线,剩下的只有利用导数解决恒成立的相关问题了。
导思三:如何利用导数解决恒成立问题?
如果问题中给出了两个函数间的大小关系确定,即恒成立时,可一步到位——采用作差构造新函数,然后再采用导数法(前提是用导数法便于判断新函数的单调性)证明。
思路一:解出公共点,设过该点的直线方程,根据满足题意的条件求出直线方程。
例1设函数f(x)= x2,g(x)=elnx 试探究f(x)与g(x)是否存在“隔离直线”?若存在,求出“隔离直线”的方程;若不存在,请说明理由。
分析:求出函数f(x)与g(x)图像的公共点,并设出过该公共点的直线的点斜式方程,根据题意将问题归结为不等式恒成立问题,利用单调性(导数法判定)求解并证明。
评注:寻求隔离直线的关键是,首先找出两函数的公共点,可以采用构造函数法及利用函数的单调性求函数的零点,得出公共点;其次将过公共点的直线设成点斜式,代入已知条件,能同时使两个不等式恒成立的直线,即为所求隔离直线。
思路二:求出过两曲线公共点处的切线,则该切线即为“隔离直线”
例2设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0).
(Ⅰ)若f(1)=g(1),f '(1)=g '(1),求F(x)= f(x) -g(x)求的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,是否存在常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由。
分析:求出两函数图像的公共点,并求出在该公共点处两函数的切线,如果两函数存在隔离直线,则该切线即为所求。
所以h(x)=ln x+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以ln x+x≤2x-1恒成立。
故存在这样的k和m,且k=2,m= -1。
评注:如果两函数存在隔离直线,其思考步骤为:①求出两函数图像的公共点;
②求出过公共点处曲线的切线;③证明该切线即为隔离直线。
类型二:相依切线
对于函数图像上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图像上存在点M(x0,y0)其中x0∈(x1,x2)使得点M处的切线l∥AB,则称AB存在“相依切线”。特别地,当x0= 时,又称AB存在“中值相依切线”
导思一:如何理解直线的“相依切线”?
直线的“相依切线”,只是一种新名词、新定义的概念,如果抛弃“新”的概念,只从实质上理解,问题则转化为我们熟悉的求曲线的切线问题。
导思二:如何解决直线的“相依切线”问题?
求出直线AB的斜率,利用导数求出A、B两点间曲线的斜率,;令两斜率相等,建立等量关系,将问题归结为方程是否存在根的问题。
例3已知函数f(x)=lnx- ax2+bx(a>0)且导数f '(1)=0.
(Ⅰ)试用含有a的式子表示b,并求f(x)单调区间;
(Ⅱ)试问:在函数f(x)上是否存在两点A、B使得它存在“中值相依直线”?若存在,求出的A、B坐标;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅱ)令直线AB的斜率等于曲线在A、B中点x0处切线的斜率,利用导数法判定该方程是否有解。
解:(I)f(x)的定义域为(0,+∞),∵f '(x)=,f '(1)=1-a+b将=0,得b=a -1.
将其代入f '(x)= 得f '(x)=
当f '(x)>0时,>0 由x>0,得(ax+1)(x-1)<0.
又a>0,∴0
(II)在函数f(x)上不存在两点A、B使得它存在“中值相依切线”.
假设存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设0< x1< x2 ,则
综上所述,在函数f(x)上不存在两点A、B使得它存在“中值相依切线”。
评注:将问题化归到 时,很难进一步求解,此时可以利用整体思想,即设 ,就可以将问题简化为方程 是否有解。此类设法是解题,特别是解含参数较多问题的一个技巧,在解题时能灵活应用,往往可起到化陌生为熟悉、化复杂为简单的效果。而判断方程 是否有解,可构造函数,利用导数的工具,根据函数单调性加以判定。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文