对于二次函数有零点即函数有实根的问题是高考的常考题型之一,通常的做法是利用数形结合思想,综合考虑二次函数的开口方向、Δ、对称轴以及区间端点的函数值等.因为需要考虑的条件比较多,解题的时候很容易漏掉条件,从而导致结果出错.另外此解法有很大的局限性,一般只适用于二次函数,对于三次及更高次函数甚至对于超越函数等其他函数情形便不适用.为此我们给出一种新的利用零点定理的解法,使之简便易行且适用范围更广泛,对一般的连续可导的函数情形都可以解决.
　　【例】 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
　　解:①a=0时,f(x)=2x-3,显然在[-1,1]上无零点;
　　②a≠0时,考虑y=f(x)在开区间(-1,1)内有零点的情形.
　　∵f′(x)=4ax+2,令f′(x)=0,则得x=-12a.即f(x)有一个极值点,从而至多有2个零点.利用零点定理.
　　(1)若有1个零点,如下图:
　　即f(-1)f(1)<01　　(2)若有2个零点,如下图:
　　即f(-1)f(-12a)<0,f(-12)f(1)<0,-1<-12a<1
　　a<-3-72或a>5.
　　③再考虑区间端点和极值点处刚好为零点的情形:
　　若f(-1)=0,则a=5;若f(1)=0,则a=1;若f(-12)=0,-1<-12a<1,则a=-3-72.
　　综合①②③可知:a≥1或a≤-3-72.
　　此解法具有一般性,可解决高次函数和超越函数有零点的情形.
　　变式一:已知a是实数,若函数f(x)=x3+ax2-a2x-3在区间[-1,1]有零点,求a的取值范围.
　　解:f′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)•(3x-a).
　　令f′(x)=0,则x1=-a,x2=a3,即函数有两个极值点,所以至多有3个零点.
　　①有1个零点时,如下图:
　　即f(-1)f(1)<0a>-1+172或a<-1-172.
　　②有2个零点时,如下图:
　　即a>0,f(-1)f(-a)<0,f(-a)f(1)<0,-1<-a<1
　　或a>0,f(-1)f(a3)<0,f(a3)f(1)<0,-1　　-1-172<a<-3815.
　　或如下图:
　　即a>0,f(-1)f(a3)<0,f(a3)f(1)<0,-1　　无解;
　　或a<0,f(-1)f(-a)<0,f(-a)f(1)<0,-1<-a<1
　　无解.
　　③有3个零点时,如下图:
　　即a>0,f(-1)f(-a)<0,f(-a)f(a3)<0,f(a3)f(1)<0,-1<-a<1,-1　　无解;
　　或a<0,f(-1)f(a3)<0,f(-a)f(a3)<0,f(-a)f(1)<0,-1<-a<1,-1　　无解.
　　④再考虑极值点以及区间端点处为零点的情形:
　　f(-a)=0,-1≤-a≤1无解;
　　f(a3)=0,-1≤a3≤1
　　a=-3815;
　　f(-1)=0a=-1-172或-1+172;f(1)=0无解.
　　综合可知:a≥-1+172或a≤-3815.
　　变式二:已知a是实数,若函数f(x)=lnx+ax-6(a≠0)在区间[1,e]上有零点,求a的取值范围.
　　解:f′(x)=1x+a,令f′(x)=0则x=-1a,即有1个极值点,所以函数至多有2个零点.
　　①有1个零点时,
　　f(1)f(e)<05e　　②有2个零点时,
　　f(1)f(-1a)<1,f(-1a)f(e)<0,1<-1a　　③再考虑极值点和区间端点处为零点的情形:
　　f(-1a)=0,1≤-1a≤e
　　无解;f(1)=0a=6;f(e)=0a=5e.
　　综合可知:5e≤a≤6.
　　(责任编辑 金 铃)