摘要高中数学解题过程实际是一个思维转化过程,往往难以一步到位,思路受阻是不可预测的。本文就教学实践中,如何运用思维的转化来突破思维障碍谈谈一些常见的做法。
　　关键词数学 习题教学 思维转换
　　中图分类号:G63文献标识码:A
　　
　　数学思想方法是数学能力的精髓,是数学知识为社会服务的必要条件。习题教学可以激发学生潜在的数学思维能力,是提高学生的数学思想方法的主渠道。数学解题过程实际是一个思维转化过程,往往难以一步到位,思路受阻是不可预测的。笔者在多年的教学实践中总结出运用思维的转化来突破思维障碍,取得了一定的效果,着重从以下几方面考虑。
　　
　　1 转化主元思想
　　
　　在高中数学习题中,某些特殊的题目中含有多个变元问题。当学生遇到这种多元问题无从下手时,首先考虑到学生的认知过程的潜移变化,用类似的熟悉的问题,引导学生将它与新问题进行比较,从中寻找出两者之间的联系和差别之处,用掌握的方法和结论,去探索新问题的解决思路。
　　案例1:已知(且为常熟)当在区间[1,2]内任意取值时,的值恒为正,求的取值范围。
　　分析与解答:本题的变元较多,条件与结论没有直截了当,元与元之间的关系错综复杂,初看时不知从何下手。如果令。则原函数式即可变为。原函数立即转化为形如形式的一次函数了。再回头看的区间由于,∴分析到这里,原问题就转变为“关于的一次函数在区间上的值恒定,求的范围”了。
　　对此问题绝大多数同学就相对熟悉,解之也就手到擒来了。
　　
　　2 思维渗透思想
　　
　　从心理学角度考虑,人们的认识问题与分析问题的能力总是从简单到复杂,从特殊到一般。因此,当我们面对一个复杂的数学问题感到棘手时,不应该在同一道上走到黑,应采取迂回曲折的思路来解决。这种思维就是发散思维,先用以退为进的策略,从复杂的问题回到最原始、最简单的起点,抓住问题的核心展开新的研究探索,从而寻求解题的灵感。理顺解题的思路,进而通过对原问题进行分解转化,将它分解成许多相对比较简单的问题,进行逐一解决,把思维连成一体,实现复杂问题的解决。
　　案例2:设,求证:
　　分析与解答:直接证明原不等式难以下手,思维出现短暂的停滞。如果我们从原命题的结构出发,进行变形一下看一看。
　　原命题的左边==
　　待证式右边==。
　　通过比较可得出三组如果能证明一组成立,那么其余两组也一定成立。待证式也就不难证明了,可以看出,证明显然此命题要比原命题要简单得多,这样我们就达到了化复杂为简单的目的了。
　　证明:,∴,,
　　∴,∴,同理,。再根据同向不等式的性质三式两边对应相乘就可得到:
　　
　　3 特殊思维思想
　　
　　因为普遍性涵盖特殊性,而特殊性建立在普遍性之中。因此,普遍性成立特殊性就不言证;而特殊性能见证普遍性的结论正误。所以,在特定的条件下,有些证明定值命题内定值不是显性条件,一般感到无从下手时,我们不妨先用特值法求出定值,再去证明这个定值问题的正确性。从特值到定值就是从特殊性到普遍性的规律。
　　案例3:已知抛物线,弦过焦点,设||,的面积为,求证:为定值。
　　分析:由于定值没有给出直接证明不可能,我们假设弦垂直轴,那么,||==,因此,=。因此本题只需证=即可。
　　略证:设直线的斜率为,则有方程为,结合抛物线方程得||=,原点到直线的距离为,因此,从而得到=得证。
　　
　　4 数形结合思想
　　
　　在高中数学中数和形是一对不可分割的统一体,许多问题从“数”的角度直接去求解,往往感到山重水复,关系难以理顺。但如果能从“形”的角度入手,就能勾画出问题的几何性质,从几何图形入手,借助于函数图形的性质,以形象直观思维取代抽象思维,使复杂的方程、不等式及(下转第42页)(上接第32页)函数关系直观化、形象化。从本质上揭示隐含条件,使得解题的思路变得越来越灵活。
　　案例4:求函数的最值.
　　分析与解答:设,,
　　则,且,所给的函数化为,它与椭圆的第一限象部分有公共点,∴,即相切于第一限象时有最大值,联立方程则∴。
　　
　　总之,数学中的思维转换是解数学问题的重要的方法。在高中数学各环节的教学中,思维转换决定了解题的方向,因此,在习题教学过程中,教师要有意识地培养学生的思维转换能力,这对于学生养成发散思维能力与科学的解题习惯是大有裨益的。只要我们学会运用正确的思维方法,发扬勇于探究的精神,就一定能领略到曲径通幽的意境,享受无限风光在险峰的乐趣。