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在初一代数教学中,列方程解实际问题是代数教学联系实际的重要课题,它对于培养学生分析问题、解决实际问题的能力具有重要意义。笔者在初一列方程解实际题教学过程中,发现了学生存在下面几个问题:
1.受小学算术解法思维定势的影响,不习惯用代数方法来分析和处理实际问题。
2.不知道怎样找相等关系,或者有时虽然找到了相等关系,但列不出方程。
3.在一个问题里含有多个未知数时,不知道该选择哪一个未知数来设元。
4.题设中和做答时常常把单位漏写。
5.解题后,对题目所提出的问题,没有做出任何反应,或对答案检验结果是否符合题意不理不睬。
为了解决学生存在以上几个问题,笔者认为在实际教学过程中,可做如下几项工作:
一、通过对比让学生认识到代数解法的优越性
在实际教学中,教师可选择典型例题分别用算术法和代数法进行分析解答,然后指出两种方法的特点,让学生比较。在对比中让学生自己认识到代数法的优越性。
例:甲乙两列火车从相距460千米的两地同时出发相向而行,甲列车每小时行70千米,乙列车每小时行60千米,问几个小时后两列车相距5千米。
用算术法解:
(1)求出两列车的速度和为每小时(70+60)千米;
(2)再求出两列车共行驶的路程(460-5)千米;
(3)根据公式求出火车行进的时间为3.5小时。
用代数法解(按列方程解实际问题的一般步骤向学生讲解):
(1)仔细审题,理解题意,弄清楚已知条件:两火车出发时的距离及它们的车速,用字母x表示两火车相距5千米时所用的时间;
(2)正确找出能表示题目全部含义的相等关系:甲走的路程+乙走的路程+5=两车出发时的距离;
(3)根据相等关系,可列出方程70x+60x+5=460,解方程,得x=3.5.
(4)写出答案(略)。
事实上,利用未知数x,将有关的量用含未知数的代数式表示出来,然后依题意列出方程,最后将未知数求出来,这是执果索因的分析法,便于思考,易于列式,而且将列方程与解方程分开进行,可以分散难点,化难为易,从而体现出代数解法的优越性。学生经过一段时间的训练,便可克服由算术解法形成的思维定势,逐渐体会到代数解法的优越性,顺利地实现从算术到代数的飞跃。
二、教会学生寻找相等关系的方法
仔细分析列方程解实际问题的一般步骤可以发现,列方程中最关键的是怎样在题目中正确“找出能够表示实际问题全部含义的相等关系”来。相等关系有两类:
一类是题目中给出的条件等量关系,这类关系对应问题中的主要量在一般情况下是变化的,属于“动态”问题;
另一类表示各种量之间内在规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中的主要量在一般情况下处于稳定状态,属于“静态”问题。
因此,寻找相等关系的一般方法有两种:
1.对于“动态”问题中的相等关系,可在发生变化的事物中来找,对于发生量变的事物,可以从“量”的方面来找,也可以从“质”的方面来找。例如应用题中的和、差、倍、分问题,等积变形问题,追及问题,相遇问题,劳力调配问题等都可以从量的方面按事物发展的顺序找到相等关系。
例:父子二人在400米的环形跑道上跑步,父亲每分钟跑240米,儿子每分钟跑200米,二人从同地同时反向出发,几分钟后父子两人相遇?
分析:这是个同时反向出发的环形道路相遇问题,这个问题中的两个量父与子都在跑步,他们二人离出发点的路程时刻都在变化着,但无论怎样变化,当父子两人首次相遇的时刻,存在着如下和相等关系:父亲跑的路程+儿子跑的路程=环形周长。
2.对于“静态”问题中的相等关系,可在事物之间的内在联系中找到相等关系。因为处在“静态”问题中的几个事物之间,必然存在着一种数量上的联系,因此要根据这种数量上的联系找到相等关系。
例:地球上水面面积约是陆地面积的2倍,地球的表面积约等于5.1亿平方公里,求地球上陆地面积是多少(精确到0.1平方公里)?
分析:这个问题中涉及三个量:水面面积、陆地面积和地球表面积。我们可以认为它们是静止不变的,它们之间很明显地存在着一种“静态”的相等关系:陆地面积+水面面积=地球表面积。
三、教给学生解实际问题常用的三种分析方法
1.代数式法。在正确分析题意的基础上,将题目中的数量及各数量之间的关系,用代数式依次表示出来,再根据各代数式之间的内在联系,找到相等关系,列出方程。此法多用于工程问题、按比例分配问题等。
2.图示法。对于一些较直观的问题,可将题目中的条件及它们之间的关系,用简单明了的示意图表示出来。然后根据图示中有关数量的内在联系,找到相等关系,列出方程。此法多运用于行程问题、劳力调配问题等。
3.表格法。将题目中的有关数量及其关系填在事先设计好的表格内,然后再根据表格逐层分析,找到各量之间的内在联系,从而找到相等关系,列出方程。此法多用于溶液浓度问题、工程问题等。
四、通过典型例题引导学生逐步掌握设未知数的技巧
设未知数,是列方程解实际问题的第一步。在一个具体问题里,如果含有多个未知数而又只允许设一个未知数时,到底该选哪个未知数来设元,初学者往往难以掌握。教师应利用一些典型例题教会学生设元的方法。一般来讲,设未知数有两种方法:
1.直接设元法。即题目里问什么,就设什么做未知数。这样设之后,只要能求出所列方程的解,就可以直接求得题目所问。在多数情况下,实际问题都可以用直接设元法来解。
2.间接设元法。有些问题中,若采用直接设元法,则不易列出方程。这时可考虑采取间接设元法,即通过间接的桥梁作用,来达到求解的目的。例如,按比例分配问题,和、差、倍分问题,整数的组成问题等均可用间接设元法。
数学实际问题的教学,是理论与实践联系的具体表现。在教学过程中,要注意整个教学的发展过程,培养学生的数学创新意识,使之能够运用所学的知识解决生产和日常生活中的实际问题。
1.受小学算术解法思维定势的影响,不习惯用代数方法来分析和处理实际问题。
2.不知道怎样找相等关系,或者有时虽然找到了相等关系,但列不出方程。
3.在一个问题里含有多个未知数时,不知道该选择哪一个未知数来设元。
4.题设中和做答时常常把单位漏写。
5.解题后,对题目所提出的问题,没有做出任何反应,或对答案检验结果是否符合题意不理不睬。
为了解决学生存在以上几个问题,笔者认为在实际教学过程中,可做如下几项工作:
一、通过对比让学生认识到代数解法的优越性
在实际教学中,教师可选择典型例题分别用算术法和代数法进行分析解答,然后指出两种方法的特点,让学生比较。在对比中让学生自己认识到代数法的优越性。
例:甲乙两列火车从相距460千米的两地同时出发相向而行,甲列车每小时行70千米,乙列车每小时行60千米,问几个小时后两列车相距5千米。
用算术法解:
(1)求出两列车的速度和为每小时(70+60)千米;
(2)再求出两列车共行驶的路程(460-5)千米;
(3)根据公式求出火车行进的时间为3.5小时。
用代数法解(按列方程解实际问题的一般步骤向学生讲解):
(1)仔细审题,理解题意,弄清楚已知条件:两火车出发时的距离及它们的车速,用字母x表示两火车相距5千米时所用的时间;
(2)正确找出能表示题目全部含义的相等关系:甲走的路程+乙走的路程+5=两车出发时的距离;
(3)根据相等关系,可列出方程70x+60x+5=460,解方程,得x=3.5.
(4)写出答案(略)。
事实上,利用未知数x,将有关的量用含未知数的代数式表示出来,然后依题意列出方程,最后将未知数求出来,这是执果索因的分析法,便于思考,易于列式,而且将列方程与解方程分开进行,可以分散难点,化难为易,从而体现出代数解法的优越性。学生经过一段时间的训练,便可克服由算术解法形成的思维定势,逐渐体会到代数解法的优越性,顺利地实现从算术到代数的飞跃。
二、教会学生寻找相等关系的方法
仔细分析列方程解实际问题的一般步骤可以发现,列方程中最关键的是怎样在题目中正确“找出能够表示实际问题全部含义的相等关系”来。相等关系有两类:
一类是题目中给出的条件等量关系,这类关系对应问题中的主要量在一般情况下是变化的,属于“动态”问题;
另一类表示各种量之间内在规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中的主要量在一般情况下处于稳定状态,属于“静态”问题。
因此,寻找相等关系的一般方法有两种:
1.对于“动态”问题中的相等关系,可在发生变化的事物中来找,对于发生量变的事物,可以从“量”的方面来找,也可以从“质”的方面来找。例如应用题中的和、差、倍、分问题,等积变形问题,追及问题,相遇问题,劳力调配问题等都可以从量的方面按事物发展的顺序找到相等关系。
例:父子二人在400米的环形跑道上跑步,父亲每分钟跑240米,儿子每分钟跑200米,二人从同地同时反向出发,几分钟后父子两人相遇?
分析:这是个同时反向出发的环形道路相遇问题,这个问题中的两个量父与子都在跑步,他们二人离出发点的路程时刻都在变化着,但无论怎样变化,当父子两人首次相遇的时刻,存在着如下和相等关系:父亲跑的路程+儿子跑的路程=环形周长。
2.对于“静态”问题中的相等关系,可在事物之间的内在联系中找到相等关系。因为处在“静态”问题中的几个事物之间,必然存在着一种数量上的联系,因此要根据这种数量上的联系找到相等关系。
例:地球上水面面积约是陆地面积的2倍,地球的表面积约等于5.1亿平方公里,求地球上陆地面积是多少(精确到0.1平方公里)?
分析:这个问题中涉及三个量:水面面积、陆地面积和地球表面积。我们可以认为它们是静止不变的,它们之间很明显地存在着一种“静态”的相等关系:陆地面积+水面面积=地球表面积。
三、教给学生解实际问题常用的三种分析方法
1.代数式法。在正确分析题意的基础上,将题目中的数量及各数量之间的关系,用代数式依次表示出来,再根据各代数式之间的内在联系,找到相等关系,列出方程。此法多用于工程问题、按比例分配问题等。
2.图示法。对于一些较直观的问题,可将题目中的条件及它们之间的关系,用简单明了的示意图表示出来。然后根据图示中有关数量的内在联系,找到相等关系,列出方程。此法多运用于行程问题、劳力调配问题等。
3.表格法。将题目中的有关数量及其关系填在事先设计好的表格内,然后再根据表格逐层分析,找到各量之间的内在联系,从而找到相等关系,列出方程。此法多用于溶液浓度问题、工程问题等。
四、通过典型例题引导学生逐步掌握设未知数的技巧
设未知数,是列方程解实际问题的第一步。在一个具体问题里,如果含有多个未知数而又只允许设一个未知数时,到底该选哪个未知数来设元,初学者往往难以掌握。教师应利用一些典型例题教会学生设元的方法。一般来讲,设未知数有两种方法:
1.直接设元法。即题目里问什么,就设什么做未知数。这样设之后,只要能求出所列方程的解,就可以直接求得题目所问。在多数情况下,实际问题都可以用直接设元法来解。
2.间接设元法。有些问题中,若采用直接设元法,则不易列出方程。这时可考虑采取间接设元法,即通过间接的桥梁作用,来达到求解的目的。例如,按比例分配问题,和、差、倍分问题,整数的组成问题等均可用间接设元法。
数学实际问题的教学,是理论与实践联系的具体表现。在教学过程中,要注意整个教学的发展过程,培养学生的数学创新意识,使之能够运用所学的知识解决生产和日常生活中的实际问题。