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【中图分类号】G623.5【文献标识码】B【文章编号】1001-4128（2011）04-0148-03
教学目标
1.掌握一类基本相似图形的简单应用.
2.培养学生分解基本图形的能力，体验用特殊形式研究问题.
3.通过解题进一步巩固分类讨论、数形结合等数学思想.
教学重点和难点
重点：基本图形的证明及应用.
难点：分解基本图形寻找解题思路.
教学过程
1 导入新课
师：同学们，今天我们一起来上一堂相似三角形的复习课。先从一道宁波市中考压轴题说起，大家来看一下，这道题目文字很多，图形也很复杂。老师把这题稍微简化一下，把它的第3小题拿出来，就变成这样一道题。
（投影出示）
引例 如图，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，
它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形纸的边AB、BC、
CD、DA上.若AB= ，BC= ，试用a表示DG的长．
师：大家看看，这道题的图形看起来还是很复杂。中考考试时，时间很紧，怎样从这样一个难题中快速的理出解题思路与方法，这是非常重要的。其实在复杂的几何题中我们经常会遇到一些性质比较多的常见图形，在证题过程中起着举足轻重的作用，我们暂称它为基本图形。复杂的图形往往是由基本图形组合而成的，若通过观察、分析，快速地从复杂图形中分离出基本图形，定能将问题化繁为简，事半功倍．对于这道压轴题，大家先别急，下面我们来分析一个基本图形，相信我们掌握以后能够把此题迎刃而解!
2 讲授新知
师：先请看下面这道题。
问题：如图2，B、C、D在同一条直线上 ，AB⊥BC,
DE⊥CD, AC⊥CE。求证：△ABC∽△CDE .（投影显示）
请一位同学分析这道题的解题思路.
生1：因为AB⊥BC，DE⊥CD，所以∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，又因为AC⊥CE，可得∠ECD+∠ACB=90°，所以∠A=∠ECD，所以△ABC和△CDE相似。
师：不错，分析思路很清晰。下面老师把条件中的三个直角一般化一下，变成三个普通的三个等角。如图3，∠ABC=∠ACE=∠EDC时，△ABC与△CDE仍会相似吗？
生2：会，因为∠ACD是△ABC的外角，所以有∠ACD=∠A+∠B，而∠ACD=∠ACE+∠ECD, ∠ABC=∠ACE,所以∠A=∠ECD，这样△ABC和△CDE有两个角相等，从而相似。
师：好的，不知大家有没有听明白。老师把他的思路在黑板上简单的写一下。（教师板书主要几个步骤）
师：我们比较图2和图3，哪个图更具有一般性呢？
生：图3。
师：是的，图2其实是图3的一种特殊情形。这两个图形在我们今后的学习中会经常碰到，我们把它们作为一个基本图形，就是说“在两个等角中，再插入一个相等的角，就会有相似三角形出现”，为了沟通方便，我们给它取个名字，它可以叫什么模型呢？
生3：“等角相似模型”。
生4：我觉得可把它叫“三等角模型”，图形中有三个等角嘛，形象直观。
师：这个名字不错。这位同学你姓什么？
生4：我姓鲍。
师：好的，我建议可以取名为“鲍氏三等角模型”，简称“三等角模型”。
（学生大笑）下面我们看看“鲍氏三等角模型”有怎样的应用。
3 例题解析
师：(投影显示)[例1]如图4，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC一点，
且AE⊥ED. （1）若BC=7，DC=6，BE∶EC=3∶4，求AB的长.
请一位同学一起分析这道题目。
师：图形背景是一个直角梯形，从结论来看，要求线段AB的长
通常要先找到一个以AB为边的三角形加以分析。应找哪个三角形？
生5：△ABE。
师：从已知出发，你可知△ABE的哪些量？
生5：可知△ABE中，∠ABE=90°，BE= .
师：从已知出发，你还发现了什么？
生5：我发现图形中包含了三等角模型，可得到△ABE∽ECD。
师：行啊，马上就能学以致用，然后呢？
生5：然后利用相似三角形的性质，得到比例式 ，代入已知数据，即可求出AB的长。
师：很好，按照她的思路，我们在黑板上一起写出详细过程，大家齐声回答，老师书写。
（学生齐答，教师板演）
师：继续看第（2）小题，又该如何思考？
（投影显示）[例1] 如图4，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC一点，
且AE⊥ED. （1）若BC=7，DC=6，BE∶EC=3∶4，求AB的长.
(2)若E是BC的中点，求证：△ABE∽△AED。
生6：要证明△ABE∽△AED，从已知知道∠ABE=∠AED，所以还需要找一对角相等或者这对等角的两夹边对应成比例。我看再找一对
角不行，我选择用边来证，就是要 ，
由三等角模型得到相似可知 ，而E是BC的中点，所以CE=BE,这样 ，ABE∽△AED。
师：不错。
生7：老师，我可以用“角角”来证。
师：哦，用两角相等也可证，说来听听。
生7：因为E是中点，我联想到“倍长中线法”，延长AE交DC延长线于F点，易证
△AB≌FCE，所以∠BAE=∠CFD, AE=FE,又AE⊥ED，可得△DAF是等腰三角形，从而∠DAE=∠DFE，这样∠BAE=∠DAE.
师：漂亮。下面我们选择方法一板书一下。（教师板演）
师：下面再变一变，看大屏幕。（投影显示）
变式：如图4，梯形ABCD中，AB∥DC， ∠B=90°，AB=2,CD=6,BC=7,在线段BC是否存在一点E，使△ ABE与△ CDE相似，若存在，这样的E点有几个，并求出BE的长度；若不存在，请说明理由.
师:这是一道存在性探究题，这类题目我们可以如何思考？
生8：可以假设存在，然后把△ABE与△CDE相似作为条件，去计算出BE的长。
师：那如何求BE的长呢？
生8：若相似，则 ， ， ,解方程可得BE=3，或BE=4.
所以存在两个点，BE=3，或BE=4。
师：其他同学对他的解法认可吗？
生9：应该还有一种情况，因为只知道直角相等，直角边对应有两种可能： 或 ， ,解得BE= ,所以存在三个点.
师:这里值得我们注意,当角或边对应关系不明确时,我们要进行分类讨论,防止遗漏.
师:我们再来看一个例题.（投影显示）
[例2]如图5，等腰Rt△ABC中，D是斜边AB上一点，
∠CDE=450,DE交BC于E， BD=x，CE=y，AC=BC=1.
求y关于x的函数关系式.
（学生思考片刻）
生10：发现题中存在“三等角模型”，可得△ACD∽△DBE列出比例式，可得到y关于x的函数关系式.
师：好，你上来板演，其他同学写在练习本上。（待学生完成，再作评价纠错）
师：利用相似得到线段之间的比例式，这个比例式中有两个变量，通过变形即可得到函数关系式。下面再来看一题以二次函数为背景的解答题。大家思考一下。 (投影显示)
[例3]已知：如图6抛物线 （ >0）
上有A、B两点，它们的横坐标分别是-1，2，
且AO⊥BO，求 的值.
生11：可以构造相似三角形，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D，这样△ACO∽△ODB，而A(-1， )、B(2,4 )，所以AC= ，BD=4 列出比例式，就可求出 的值为 。
师：很好，象这样平面直角坐标系中出现类似∠AOB这样的“斜”的直角时，通常可以构造“三等角模型”来解决。还有其他解法吗？
生12：有，可以用 表示OA2、OB2、AB2，利用勾股定理OA2+OB2=AB2，计算 的值。
师：很好，请同学们课后继续思考：变式：将AO⊥BO改为△AOB是直角三角形，又该如何求a的值？
4 知识提炼
师：同一类图形问题尽管形式千差万别，然而其本质离不开一个简单的图形，这就是所谓的基本图形．今天我们认识并初步学会应用 “鲍氏三等角模型”解决一些较复杂问题，体会基本图形的魅力。一个比较复杂的几何问题，往往与一些基本图形相联系，我们在解决这类问题时，要善于发现、联想相关的基本图形，以实现复杂问题向简单问题的转化。
5 布置作业
如图，ABCD是正方形,, PE⊥PA,那么；若 ，PE⊥PA,那么；若 ，PE⊥PA,那么.
2、 如图,折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5 ，且CE:FC=3:4.
（1）求证：ΔAFB∽ΔFEC；
（2）求矩形ABCD的周长。
3、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E．
(1)△ABP和△DPE是否相似?请说明理由；
(2)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
(3)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形?如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
(4)请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形?如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由．
反思报告：
1.这是一节初三相似三角形复习课，为什么选择探讨基本图形这样的一个课题呢？在平时的教学实践中发现许多比较复杂的问题，往往与一些基本图形相联系，我们在解决这类问题时，需要善于发现、联想相关的基本图形，以实现复杂问题向简单问题的转化，基本图形在解题中的作用不言而喻是相当重要的。而大多学生只会分析一些简单的，常见的一些图形，不会分析、解剖复杂解答题，跟谈不上构造基本图形解决问题。因此我觉得很有必要上一堂关于基本图形的复习提高课。
2. 引入是一个课时教学设计的重要组成部分，引入是否科学、恰当，直接关系着教学能否成功，课堂气氛是否活跃。这节课以宁波市中考压轴题引入，激发学生的兴趣，体会学习基本图形“三等角模型”的必要性。
3. 基本图形的证明及应用，是本节课学习的重点。采用由浅入深、由易到难，做到精选精讲，通过三个例题逐步让学生掌握基本图形的运用。其中例1是直角梯形中三个直角相等，得到相似三角形，然后进行一系列计算、证明；例2以等腰直角三角形为背景，求两条线段之间关系，以求函数解析式的形式呈现问题，难度较大；例3更是要学生自己构造“三等角模型”解决问题，要求较高。解题分析时，以问题串形式引导学生如何思考，综合法分析法交替进行，解剖复杂题目，做到讲清讲透。
4.数学方法、思想贯穿整个课堂。从“三直角”到“三等角”体现特殊到一般的思想方法；例1变式相似三角形对应边的不确定引起的分类讨论，例3直角三角形那条边是斜边不确定引起的分类讨论；例2、例3运用数形结合思想等。
5. 教学过程设计中，体现了让学生展示解决问题的思维过程，激发学生主动去接触问题，从而达到解决问题的目的. 重视学生学习过程中的自我评价和生生间的相互评价，关注学生对解题思路回顾能力的培养.并以较多变式拓展，将学生带入深入探究的境界。课堂中拉近师生间的感情，使学生产生积极的学习情感，如“数学模型”命名，提升学生的成就感，学生回答面广，适时鼓励学生积极思考。
6.不足之处:课堂容量大,导致课堂结束时没有解决开始提出的压轴题问题,有悖设计初衷,很是遗憾,也反映课堂掌控能力有待提高；
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
教学目标
1.掌握一类基本相似图形的简单应用.
2.培养学生分解基本图形的能力，体验用特殊形式研究问题.
3.通过解题进一步巩固分类讨论、数形结合等数学思想.
教学重点和难点
重点：基本图形的证明及应用.
难点：分解基本图形寻找解题思路.
教学过程
1 导入新课
师：同学们，今天我们一起来上一堂相似三角形的复习课。先从一道宁波市中考压轴题说起，大家来看一下，这道题目文字很多，图形也很复杂。老师把这题稍微简化一下，把它的第3小题拿出来，就变成这样一道题。
（投影出示）
引例 如图，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，
它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形纸的边AB、BC、
CD、DA上.若AB= ，BC= ，试用a表示DG的长．
师：大家看看，这道题的图形看起来还是很复杂。中考考试时，时间很紧，怎样从这样一个难题中快速的理出解题思路与方法，这是非常重要的。其实在复杂的几何题中我们经常会遇到一些性质比较多的常见图形，在证题过程中起着举足轻重的作用，我们暂称它为基本图形。复杂的图形往往是由基本图形组合而成的，若通过观察、分析，快速地从复杂图形中分离出基本图形，定能将问题化繁为简，事半功倍．对于这道压轴题，大家先别急，下面我们来分析一个基本图形，相信我们掌握以后能够把此题迎刃而解!
2 讲授新知
师：先请看下面这道题。
问题：如图2，B、C、D在同一条直线上 ，AB⊥BC,
DE⊥CD, AC⊥CE。求证：△ABC∽△CDE .（投影显示）
请一位同学分析这道题的解题思路.
生1：因为AB⊥BC，DE⊥CD，所以∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，又因为AC⊥CE，可得∠ECD+∠ACB=90°，所以∠A=∠ECD，所以△ABC和△CDE相似。
师：不错，分析思路很清晰。下面老师把条件中的三个直角一般化一下，变成三个普通的三个等角。如图3，∠ABC=∠ACE=∠EDC时，△ABC与△CDE仍会相似吗？
生2：会，因为∠ACD是△ABC的外角，所以有∠ACD=∠A+∠B，而∠ACD=∠ACE+∠ECD, ∠ABC=∠ACE,所以∠A=∠ECD，这样△ABC和△CDE有两个角相等，从而相似。
师：好的，不知大家有没有听明白。老师把他的思路在黑板上简单的写一下。（教师板书主要几个步骤）
师：我们比较图2和图3，哪个图更具有一般性呢？
生：图3。
师：是的，图2其实是图3的一种特殊情形。这两个图形在我们今后的学习中会经常碰到，我们把它们作为一个基本图形，就是说“在两个等角中，再插入一个相等的角，就会有相似三角形出现”，为了沟通方便，我们给它取个名字，它可以叫什么模型呢？
生3：“等角相似模型”。
生4：我觉得可把它叫“三等角模型”，图形中有三个等角嘛，形象直观。
师：这个名字不错。这位同学你姓什么？
生4：我姓鲍。
师：好的，我建议可以取名为“鲍氏三等角模型”，简称“三等角模型”。
（学生大笑）下面我们看看“鲍氏三等角模型”有怎样的应用。
3 例题解析
师：(投影显示)[例1]如图4，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC一点，
且AE⊥ED. （1）若BC=7，DC=6，BE∶EC=3∶4，求AB的长.
请一位同学一起分析这道题目。
师：图形背景是一个直角梯形，从结论来看，要求线段AB的长
通常要先找到一个以AB为边的三角形加以分析。应找哪个三角形？
生5：△ABE。
师：从已知出发，你可知△ABE的哪些量？
生5：可知△ABE中，∠ABE=90°，BE= .
师：从已知出发，你还发现了什么？
生5：我发现图形中包含了三等角模型，可得到△ABE∽ECD。
师：行啊，马上就能学以致用，然后呢？
生5：然后利用相似三角形的性质，得到比例式 ，代入已知数据，即可求出AB的长。
师：很好，按照她的思路，我们在黑板上一起写出详细过程，大家齐声回答，老师书写。
（学生齐答，教师板演）
师：继续看第（2）小题，又该如何思考？
（投影显示）[例1] 如图4，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC一点，
且AE⊥ED. （1）若BC=7，DC=6，BE∶EC=3∶4，求AB的长.
(2)若E是BC的中点，求证：△ABE∽△AED。
生6：要证明△ABE∽△AED，从已知知道∠ABE=∠AED，所以还需要找一对角相等或者这对等角的两夹边对应成比例。我看再找一对
角不行，我选择用边来证，就是要 ，
由三等角模型得到相似可知 ，而E是BC的中点，所以CE=BE,这样 ，ABE∽△AED。
师：不错。
生7：老师，我可以用“角角”来证。
师：哦，用两角相等也可证，说来听听。
生7：因为E是中点，我联想到“倍长中线法”，延长AE交DC延长线于F点，易证
△AB≌FCE，所以∠BAE=∠CFD, AE=FE,又AE⊥ED，可得△DAF是等腰三角形，从而∠DAE=∠DFE，这样∠BAE=∠DAE.
师：漂亮。下面我们选择方法一板书一下。（教师板演）
师：下面再变一变，看大屏幕。（投影显示）
变式：如图4，梯形ABCD中，AB∥DC， ∠B=90°，AB=2,CD=6,BC=7,在线段BC是否存在一点E，使△ ABE与△ CDE相似，若存在，这样的E点有几个，并求出BE的长度；若不存在，请说明理由.
师:这是一道存在性探究题，这类题目我们可以如何思考？
生8：可以假设存在，然后把△ABE与△CDE相似作为条件，去计算出BE的长。
师：那如何求BE的长呢？
生8：若相似，则 ， ， ,解方程可得BE=3，或BE=4.
所以存在两个点，BE=3，或BE=4。
师：其他同学对他的解法认可吗？
生9：应该还有一种情况，因为只知道直角相等，直角边对应有两种可能： 或 ， ,解得BE= ,所以存在三个点.
师:这里值得我们注意,当角或边对应关系不明确时,我们要进行分类讨论,防止遗漏.
师:我们再来看一个例题.（投影显示）
[例2]如图5，等腰Rt△ABC中，D是斜边AB上一点，
∠CDE=450,DE交BC于E， BD=x，CE=y，AC=BC=1.
求y关于x的函数关系式.
（学生思考片刻）
生10：发现题中存在“三等角模型”，可得△ACD∽△DBE列出比例式，可得到y关于x的函数关系式.
师：好，你上来板演，其他同学写在练习本上。（待学生完成，再作评价纠错）
师：利用相似得到线段之间的比例式，这个比例式中有两个变量，通过变形即可得到函数关系式。下面再来看一题以二次函数为背景的解答题。大家思考一下。 (投影显示)
[例3]已知：如图6抛物线 （ >0）
上有A、B两点，它们的横坐标分别是-1，2，
且AO⊥BO，求 的值.
生11：可以构造相似三角形，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D，这样△ACO∽△ODB，而A(-1， )、B(2,4 )，所以AC= ，BD=4 列出比例式，就可求出 的值为 。
师：很好，象这样平面直角坐标系中出现类似∠AOB这样的“斜”的直角时，通常可以构造“三等角模型”来解决。还有其他解法吗？
生12：有，可以用 表示OA2、OB2、AB2，利用勾股定理OA2+OB2=AB2，计算 的值。
师：很好，请同学们课后继续思考：变式：将AO⊥BO改为△AOB是直角三角形，又该如何求a的值？
4 知识提炼
师：同一类图形问题尽管形式千差万别，然而其本质离不开一个简单的图形，这就是所谓的基本图形．今天我们认识并初步学会应用 “鲍氏三等角模型”解决一些较复杂问题，体会基本图形的魅力。一个比较复杂的几何问题，往往与一些基本图形相联系，我们在解决这类问题时，要善于发现、联想相关的基本图形，以实现复杂问题向简单问题的转化。
5 布置作业
如图，ABCD是正方形,, PE⊥PA,那么；若 ，PE⊥PA,那么；若 ，PE⊥PA,那么.
2、 如图,折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5 ，且CE:FC=3:4.
（1）求证：ΔAFB∽ΔFEC；
（2）求矩形ABCD的周长。
3、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E．
(1)△ABP和△DPE是否相似?请说明理由；
(2)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
(3)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形?如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
(4)请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形?如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由．
反思报告：
1.这是一节初三相似三角形复习课，为什么选择探讨基本图形这样的一个课题呢？在平时的教学实践中发现许多比较复杂的问题，往往与一些基本图形相联系，我们在解决这类问题时，需要善于发现、联想相关的基本图形，以实现复杂问题向简单问题的转化，基本图形在解题中的作用不言而喻是相当重要的。而大多学生只会分析一些简单的，常见的一些图形，不会分析、解剖复杂解答题，跟谈不上构造基本图形解决问题。因此我觉得很有必要上一堂关于基本图形的复习提高课。
2. 引入是一个课时教学设计的重要组成部分，引入是否科学、恰当，直接关系着教学能否成功，课堂气氛是否活跃。这节课以宁波市中考压轴题引入，激发学生的兴趣，体会学习基本图形“三等角模型”的必要性。
3. 基本图形的证明及应用，是本节课学习的重点。采用由浅入深、由易到难，做到精选精讲，通过三个例题逐步让学生掌握基本图形的运用。其中例1是直角梯形中三个直角相等，得到相似三角形，然后进行一系列计算、证明；例2以等腰直角三角形为背景，求两条线段之间关系，以求函数解析式的形式呈现问题，难度较大；例3更是要学生自己构造“三等角模型”解决问题，要求较高。解题分析时，以问题串形式引导学生如何思考，综合法分析法交替进行，解剖复杂题目，做到讲清讲透。
4.数学方法、思想贯穿整个课堂。从“三直角”到“三等角”体现特殊到一般的思想方法；例1变式相似三角形对应边的不确定引起的分类讨论，例3直角三角形那条边是斜边不确定引起的分类讨论；例2、例3运用数形结合思想等。
5. 教学过程设计中，体现了让学生展示解决问题的思维过程，激发学生主动去接触问题，从而达到解决问题的目的. 重视学生学习过程中的自我评价和生生间的相互评价，关注学生对解题思路回顾能力的培养.并以较多变式拓展，将学生带入深入探究的境界。课堂中拉近师生间的感情，使学生产生积极的学习情感，如“数学模型”命名，提升学生的成就感，学生回答面广，适时鼓励学生积极思考。
6.不足之处:课堂容量大,导致课堂结束时没有解决开始提出的压轴题问题,有悖设计初衷,很是遗憾,也反映课堂掌控能力有待提高；
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文