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【设计背景】
对于同样一个数学问题，教师可以从不同角度进行研究，如“植树问题”，如果从“棵数与间隔”的关系进行研究，就是常见的“植树问题”；如果从“每行棵数与栽的行数”的角度进行分析，就成为了“杰克逊的栽树问题”。杰克逊是一位数学科普作家，在他的数学科普名著《冬天傍晚的推理娱乐》里有这样一道题目：
9棵树，每行栽3棵，最多可以栽几行？
这里，只要在同一直线（包括横、竖、斜）的3棵树都称为行。
人们一般会认为最多可以栽8行（如图1）。如果告诉你，实际上可以栽成9行，最多可以栽成10行，你能在左图的基础上，进行适当的调整，得到相应的图示吗？
据说，大数学家牛顿也对这个问题进行过思考，而且还进一步提出了如下问题：
10棵树，每行栽3棵，最多可以栽几行？
类似这样的“栽树问题”，英国数学家、逻辑学家道奇生在他的童话名著《艾丽丝漫游仙境》中也提出了下面一道栽树问题：
10棵树栽5行，每行栽4棵。如何栽？
而对于“20棵树每行栽4棵，最多可以栽几行”这一个问题的研究，绵延了几个世纪。
从上述资料可以看出，数学学习过程永远不能满足于对当前问题的解决，而要不断地提出问题，解决问题，再提出问题，再解决问题……从而使数学思考更具活力。
【教学目标】
1． 经历“栽树问题”的研究过程，逐步学会利用基本图示进行变式优化的策略。
2． 通过对“栽树问题”解答过程的了解与图示的欣赏，感受数学爱好者与数学家的探究精神，以及数学的内在魅力。
【活动过程】
一、 创设情境，提出问题
师：同学们，今天我们来研究一类问题，叫做栽树问题。
师课件出示：9棵树，每行栽3棵，可以栽多少行？
师：谁能回答？
生：3行。
师课件出示图２的左边部分并说明：用图来表示这样的过程，就更加清楚了，但在实际数学学习中，我们需要画出一棵棵树来吗？那么，怎样才能清楚、简洁地表示树和行呢？
生：用点和线来表示。
根据学生的回答教师出示图２的右边部分。
师：如果老师给这道题加上一句话“三棵树成一条直线就成为行”，相信题目会更加有趣了。关于这个“行”，你是怎么理解的？
师：我们平常的“行”，是怎么样的呢？（生答）那这里的“行”和我们以前理解的“行”，一样吗？（生答不一样）
（点评：怎样将一个著名的“高高在上”的数学问题和学生已有知识起点连接，是这节课要突破的问题。教师首先引导学生用原有的认识基础进行审题，从最简单的栽成3行开始逐步研究，然后在对“行”的新注解下提出问题，找准了思维的增长点。）
二、 由简到繁，递推规律
1. 从栽8行推导栽9行
师：在这个题目中，除了这3行，还有其他行吗？
生：可数出8行。
教师课件演示图3后，追问：同学们真善于活学活用，那么为什么棵数没有增多，行数却增多了呢？
生：有一些重复数。（师板书：重复数）
师：哦？重复？那你知道9棵树分别被重复了几次？
生：2次、3次、4次。
师：这些树的重复次数都一样吗？（有些一样、有些不一样）
师：有些一样，有些不一样，那我们可以把这些点进行——
生：分类。
师：对啊，看来同样是重复，但重复的次数也不一样。
师：对于同类的树，就不需要一一研究了，其实这里是9棵树，而我们待会研究却只需要——
生：3棵树。
师：聪明。那么这是不是我们要来研究的栽树问题呢？
师课件出示题目：9棵树，每行栽3棵，栽9行，你觉得可以怎么栽？
师：你想到了吗？在纸上画一画。完成后同桌相互交流。
集体交流，重点提问：你是怎么想到移动这个点的？为什么想到往里面移动？（见图4）
小结：在这个过程中，大家通过自己探索尝试，通过和同伴的交流讨论，解决了这道推理题，真棒。
（点评：由栽8行推导栽9行，教师要求学生借助于栽8行的图示进行思考，为学生提供了一个思考的起点和思维的支架，有利于中下学生的理解。同时，教师在教学中用重叠问题的思考方法来区分不同点被重复的次数，也为学生总结增加行数的基本策略提供了思考的方向。这些小步骤重引导的方法，有利于社团活动基础相对较弱学生的学习。）
2. 从栽9行推导栽10行
师：刚才我们研究的问题，大数学家、大科学家牛顿也曾经研究过，他在解答了这个问题之后还发现：9棵树，每行栽3棵，还可以栽10行。
师：我们能在9行的基础上，解决牛顿提出的问题吗？
这时有人明白了，开始自己画图（如图５）。
师：同学们，你知道他是怎么想出来的吗？请你也说一说思路。
（点评：实际上，9棵树每行栽3棵，栽成9行，还有其他的画法（如图６）。但是，就如何从9行的图示迁移到10行的图示，显然图５的画法更能使学生形成联想。因此，在实际教学中，教师在追求方法多样化的同时，还要注意方法的可持续性。）
3. 总结“9棵树，每行栽3棵”栽树问题的思路
师：在解决“9棵树，每行栽3棵，可以栽几行”这个问题时，我们从8行的图示开始研究，找到了9行、10行这一些画法。你有什么体会？
学生谈体会后教师小结：当我们得到一种结果或者结论的时候，不应满足于现状，还要继续研究，像牛顿一样继续思考，敢于提出自己的问题。
（点评： “9棵树，每行栽3棵”的栽树问题，从解决8行，到9行再到栽成10行，一步一步让学生的思维不断发展，而在整个过程中，指导学生解题的思维就是“探寻规律”，涉及“分类、重复、类比”等方法，通过解决这个问题的过程，不仅让学生形成解决栽树问题的基本思路，更让学生感受到数学探究的精神。）
三、 链接史料，感悟精神
1. 链接史料
师：同学们，其实“栽树问题”是一个古老的数学问题，让许多的数学家与数学爱好者为之着迷。下面我们以“20棵树每行栽4棵，可以栽几行？”这个问题为例来了解它的历史。
早在16世纪时，古埃及完成了16行的排列，并将美丽的图谱广泛应用于高雅装饰建筑、华丽工艺美术。（课件出示图７）
到了19世纪，美国的数学大师loyd Sam 完成并绘制出了精美的18行图谱，而后还制成娱乐棋盛行于欧美。（课件同时出示图８）
在20世纪70年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越18行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的20行图谱，创造了20棵树的栽树问题的新纪录并保持至今。（课件同时出示图９）
2. 感悟精神
教师把图７、图８、图９用箭头连接，然后提问：从“16行、18行到20行”，经历了近400年的探索，你肯定有很多体会，愿意和同学们说说吗？
生：同样的问题，有很多答案出现。
生：不要满足于解决了一个问题，还要继续思考，并且提出问题。
生：要有研究精神。
师：同学们，了解了这么多关于栽树问题的背景知识，你能提出自己的猜想吗？
生：20棵树，每行4棵。还能栽更多的行数吗？
（点评：“栽树问题”是一个经典的数学名题，通过上面的例子，让学生感受到数学研究的漫长与艰辛。同时通过对这些图示的赏析，也可以体会到图例的美感，以及数学名题的文化背景。）
（浙江省杭州市萧山区益农镇中心小学 311200
浙江省杭州市萧山区教研室 311200）
对于同样一个数学问题，教师可以从不同角度进行研究，如“植树问题”，如果从“棵数与间隔”的关系进行研究，就是常见的“植树问题”；如果从“每行棵数与栽的行数”的角度进行分析，就成为了“杰克逊的栽树问题”。杰克逊是一位数学科普作家，在他的数学科普名著《冬天傍晚的推理娱乐》里有这样一道题目：
9棵树，每行栽3棵，最多可以栽几行？
这里，只要在同一直线（包括横、竖、斜）的3棵树都称为行。
人们一般会认为最多可以栽8行（如图1）。如果告诉你，实际上可以栽成9行，最多可以栽成10行，你能在左图的基础上，进行适当的调整，得到相应的图示吗？
据说，大数学家牛顿也对这个问题进行过思考，而且还进一步提出了如下问题：
10棵树，每行栽3棵，最多可以栽几行？
类似这样的“栽树问题”，英国数学家、逻辑学家道奇生在他的童话名著《艾丽丝漫游仙境》中也提出了下面一道栽树问题：
10棵树栽5行，每行栽4棵。如何栽？
而对于“20棵树每行栽4棵，最多可以栽几行”这一个问题的研究，绵延了几个世纪。
从上述资料可以看出，数学学习过程永远不能满足于对当前问题的解决，而要不断地提出问题，解决问题，再提出问题，再解决问题……从而使数学思考更具活力。
【教学目标】
1． 经历“栽树问题”的研究过程，逐步学会利用基本图示进行变式优化的策略。
2． 通过对“栽树问题”解答过程的了解与图示的欣赏，感受数学爱好者与数学家的探究精神，以及数学的内在魅力。
【活动过程】
一、 创设情境，提出问题
师：同学们，今天我们来研究一类问题，叫做栽树问题。
师课件出示：9棵树，每行栽3棵，可以栽多少行？
师：谁能回答？
生：3行。
师课件出示图２的左边部分并说明：用图来表示这样的过程，就更加清楚了，但在实际数学学习中，我们需要画出一棵棵树来吗？那么，怎样才能清楚、简洁地表示树和行呢？
生：用点和线来表示。
根据学生的回答教师出示图２的右边部分。
师：如果老师给这道题加上一句话“三棵树成一条直线就成为行”，相信题目会更加有趣了。关于这个“行”，你是怎么理解的？
师：我们平常的“行”，是怎么样的呢？（生答）那这里的“行”和我们以前理解的“行”，一样吗？（生答不一样）
（点评：怎样将一个著名的“高高在上”的数学问题和学生已有知识起点连接，是这节课要突破的问题。教师首先引导学生用原有的认识基础进行审题，从最简单的栽成3行开始逐步研究，然后在对“行”的新注解下提出问题，找准了思维的增长点。）
二、 由简到繁，递推规律
1. 从栽8行推导栽9行
师：在这个题目中，除了这3行，还有其他行吗？
生：可数出8行。
教师课件演示图3后，追问：同学们真善于活学活用，那么为什么棵数没有增多，行数却增多了呢？
生：有一些重复数。（师板书：重复数）
师：哦？重复？那你知道9棵树分别被重复了几次？
生：2次、3次、4次。
师：这些树的重复次数都一样吗？（有些一样、有些不一样）
师：有些一样，有些不一样，那我们可以把这些点进行——
生：分类。
师：对啊，看来同样是重复，但重复的次数也不一样。
师：对于同类的树，就不需要一一研究了，其实这里是9棵树，而我们待会研究却只需要——
生：3棵树。
师：聪明。那么这是不是我们要来研究的栽树问题呢？
师课件出示题目：9棵树，每行栽3棵，栽9行，你觉得可以怎么栽？
师：你想到了吗？在纸上画一画。完成后同桌相互交流。
集体交流，重点提问：你是怎么想到移动这个点的？为什么想到往里面移动？（见图4）
小结：在这个过程中，大家通过自己探索尝试，通过和同伴的交流讨论，解决了这道推理题，真棒。
（点评：由栽8行推导栽9行，教师要求学生借助于栽8行的图示进行思考，为学生提供了一个思考的起点和思维的支架，有利于中下学生的理解。同时，教师在教学中用重叠问题的思考方法来区分不同点被重复的次数，也为学生总结增加行数的基本策略提供了思考的方向。这些小步骤重引导的方法，有利于社团活动基础相对较弱学生的学习。）
2. 从栽9行推导栽10行
师：刚才我们研究的问题，大数学家、大科学家牛顿也曾经研究过，他在解答了这个问题之后还发现：9棵树，每行栽3棵，还可以栽10行。
师：我们能在9行的基础上，解决牛顿提出的问题吗？
这时有人明白了，开始自己画图（如图５）。
师：同学们，你知道他是怎么想出来的吗？请你也说一说思路。
（点评：实际上，9棵树每行栽3棵，栽成9行，还有其他的画法（如图６）。但是，就如何从9行的图示迁移到10行的图示，显然图５的画法更能使学生形成联想。因此，在实际教学中，教师在追求方法多样化的同时，还要注意方法的可持续性。）
3. 总结“9棵树，每行栽3棵”栽树问题的思路
师：在解决“9棵树，每行栽3棵，可以栽几行”这个问题时，我们从8行的图示开始研究，找到了9行、10行这一些画法。你有什么体会？
学生谈体会后教师小结：当我们得到一种结果或者结论的时候，不应满足于现状，还要继续研究，像牛顿一样继续思考，敢于提出自己的问题。
（点评： “9棵树，每行栽3棵”的栽树问题，从解决8行，到9行再到栽成10行，一步一步让学生的思维不断发展，而在整个过程中，指导学生解题的思维就是“探寻规律”，涉及“分类、重复、类比”等方法，通过解决这个问题的过程，不仅让学生形成解决栽树问题的基本思路，更让学生感受到数学探究的精神。）
三、 链接史料，感悟精神
1. 链接史料
师：同学们，其实“栽树问题”是一个古老的数学问题，让许多的数学家与数学爱好者为之着迷。下面我们以“20棵树每行栽4棵，可以栽几行？”这个问题为例来了解它的历史。
早在16世纪时，古埃及完成了16行的排列，并将美丽的图谱广泛应用于高雅装饰建筑、华丽工艺美术。（课件出示图７）
到了19世纪，美国的数学大师loyd Sam 完成并绘制出了精美的18行图谱，而后还制成娱乐棋盛行于欧美。（课件同时出示图８）
在20世纪70年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越18行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的20行图谱，创造了20棵树的栽树问题的新纪录并保持至今。（课件同时出示图９）
2. 感悟精神
教师把图７、图８、图９用箭头连接，然后提问：从“16行、18行到20行”，经历了近400年的探索，你肯定有很多体会，愿意和同学们说说吗？
生：同样的问题，有很多答案出现。
生：不要满足于解决了一个问题，还要继续思考，并且提出问题。
生：要有研究精神。
师：同学们，了解了这么多关于栽树问题的背景知识，你能提出自己的猜想吗？
生：20棵树，每行4棵。还能栽更多的行数吗？
（点评：“栽树问题”是一个经典的数学名题，通过上面的例子，让学生感受到数学研究的漫长与艰辛。同时通过对这些图示的赏析，也可以体会到图例的美感，以及数学名题的文化背景。）
（浙江省杭州市萧山区益农镇中心小学 311200
浙江省杭州市萧山区教研室 311200）