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[摘要]整数除法和小数乘法是学生学习小数除法的基础。借助整数除法和小数乘法的算理引导学生进行个体“创造”，再通过展示不同做法并沟通各种方法之问的联系，帮助学生理解和掌握小数除法的算理，实现知识的迁移和转化。
[关键词]除法;算理;学情
[中圖分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）17-0023-03
一、我的疑惑
当学生面对一道小数除以整数的计算题时，他们会采用什么样的方法来解决呢？例如，学生面临的问题情境“3本纠错本9.84元，求每本纠错本的价格。”时，他们是否会借助人民币来分一分呢？还是会像前面学习的乘法一样，先把小数转化成整数，然后按照整数除法的方法来解决呢？如果直接转化成整数来计算，算理是不是也可以直接迁移过来？
带着这样的疑惑，我研读了教材和课程标准，并参考单元测试卷进行了分析。
关于教材：青岛版和人教版教材借助的是长度单位，教材呈现的思路是：首先借助单位的转化，即把小数转化成整数然后按照整数除法的方法进行计算，然后梳理出竖式并夯实算理;北师大版和苏教版教材借助的是人民币，教材呈现的思路是分钱的过程，即先分元，再分角，体现的是一个让学生经历分的过程，借助分的过程梳理出竖式，并夯实算理。下面为这四种版本教材关于这部分的内容（图1为人教版、图2为青岛版、图3为北师大版、图4为苏教版）。
教师在教学过程中是否需要给学生提供道具，让学生经历体验的过程？分绳子、分钱？这样会不会在很大程度上暗示了学生课堂研究的方向，束缚了学生的思考？借助分计量单位让学生明确算理会不会只是表达了教师的想法，而不是多数学生自觉的意识和行为呢？对于被除数是小数的除法，学生受小数乘法算法的影响，最容易产生的想法是把小数转化成整数，所以引导学生通过对多种算法的对比与联想，明确算理，应该是这节课的关键。
关于课程标准：课程标准中关于数的运算目标中有两条与小数除法有关。第5条：能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）;第8条：经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。
关于单元测试卷：我做了3套单元测试卷，从3套测试卷的测试内容来看，本单元主要的测试点为：（1）算理、算法;（2）计算;（3）解决问题（其中根据具体情境的估算题目又分为关于人民币的四舍五入、去尾法和进一法等）
二、学生的学情
为了解学生的真实心理和经验，课前我对这一部分的内容做了前测，测试题很简单（如图5）：3本装的纠错本需要9.84元，1本装的纠错本需要4元，那买哪一本纠错本比较划算？问题一是请学生自己想办法进行比较，问题二是让学生说明为什么这么做。
测试结果如下：
上表测试的时间是在学生学完小数乘法之后即将学习“小数除法”单元之前，数据的可参考性比较高。从表中数据可知，面对小数除以整数这样一个新的问题，没有学生想到要借助手里的人民币去分一分，很多学生列出了竖式，还有一半以上的学生把小数转化成了整数，然后根据商的性质得出了正确的结果。这样看来，当学生遇到小数除以整数时，借助旧知进行计算的人数所占比例还是比较高的。
为什么学生不借助人民币真正地去分一分？学生心里到底在想什么？学生表示：因为学习小数乘法的时候，就是把小数转化成整数后再计算的;辅导班的老师就教过;没想到要分真的钱，可以在本子上画小棒当作钱，一元画一捆，一角画一根……不难看出，有的学生受了小数乘法的计算方法的影响，有的学生在辅导班提前接触过，有的学生借助画一画把具体的钱抽象成小竖线来代替……这些都是学生的学习基础。
建构主义学习理论告诉我们：学习不是被动接受信息刺激，而是学习者根据自身的经验背景，对外部信息进行主动的选择、加工和处理，从而获得自己的意义的过程。教师应该考虑和利用学生的学习经验，体现新课程的逆向设计的教学理念：以学定教。
于是，我不再纠结是否让学生经历分的过程，把本节课研究的关键问题放在“商的小数点为什么要点在这里”，即引导学生直接从计数单位的层面理解算理。
三、教学设计
总体思路：一开始就把“如何确定小数点的位置”这个问题抛给学生，以诊断学生的学习起点，如果学生基本都能计算出结果，就用这个为题引导学生说明为什么要点小数点，小数点为什么要点在这里。理想的预设：学生可能有两种说明：一是商的性质（被除数不变，除数扩大几倍，商要缩小到原来的几分之一）;二是根据小数乘法的算理“几个0.1乘几得到的积就是几个0.1”，得到几个0.1除以几得到的商就是几个0.1。
1.初步探究，确立方向
师：3本装的纠错本到底每本多少钱呢？能计算出来吗？试着把你的想法写在白板上。
生1：9.84元=984分，984分÷3=328分，328分=3.28元。把元化成分来计算，984分除以3等于328分，再把328分化成3.28元。
生2：984÷3=328，9.84÷3=3.28。
师：先把9.84扩大到原来的100倍，3不变，算出的商就比原来的商扩大了100倍，需要再缩小到它的百分之一才能得到正确的商，也就得到了9.84÷3的商是3.28。
生3：根据小数的意义，9.84也就是984个百分之一，那么984个百分之一除以3得出的商应该是328个百分之一，也就是3.28。
师：这几种方法之间有什么联系吗？它们有什么共同点？
生4：这几种算法都把9.84看成了984，都是先把被除数扩大，然后商再缩小。
师：其实这些做法都是把小数除法转化成以前学过的整数除法来计算的。数学上的这个转化思想可真是厉害，它能帮我们利用以前学过的旧知识来解决新问题。
2.再次探究，厘清算理
师：在计算这道小数除法时，如果不转化成整数，直接用小数列竖式可不可以呢？一起来看这位同学的做法：
师：能说一说3.28是如何计算出来的吗？
生1：我是用被除数每一位上的数字分别除以3，比如个位的9除以3等于3，就把3写在个位上，十分位的8除以3得到2，就把2写在十分位上，余下2再与百分位上的4合起来是24，这里的24是24个百位之一，24个百分之一除以3的商就要写在百分位上。
师：小数点为什么要点在这里？
生1：8个十分之一除以3得到的是2个十分之一，把小数点点在这里才能区分个位和十分位。
师：小数点与被除数的小数点有什么关系？
生2：商的小数点与被除数的小数点在同一个位置。
师：说得真好！商的小数点要与被除数的小数点对齐。
四、体会和收获
通过这样的一次经历，我深刻体会到了逆向设计的焦点就是要直面学生的认知基础和学习困惑。杜威曾说：“教育，即经验连续不断的改造。”在他看来，教育必须建立在经验的基础上，对学生拿捏不准时，可以通过前测，诊断和确认学生的认知基础，进而把握教学的起点，确定教学的方向。
（责编：金铃）
[关键词]除法;算理;学情
[中圖分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）17-0023-03
一、我的疑惑
当学生面对一道小数除以整数的计算题时，他们会采用什么样的方法来解决呢？例如，学生面临的问题情境“3本纠错本9.84元，求每本纠错本的价格。”时，他们是否会借助人民币来分一分呢？还是会像前面学习的乘法一样，先把小数转化成整数，然后按照整数除法的方法来解决呢？如果直接转化成整数来计算，算理是不是也可以直接迁移过来？
带着这样的疑惑，我研读了教材和课程标准，并参考单元测试卷进行了分析。
关于教材：青岛版和人教版教材借助的是长度单位，教材呈现的思路是：首先借助单位的转化，即把小数转化成整数然后按照整数除法的方法进行计算，然后梳理出竖式并夯实算理;北师大版和苏教版教材借助的是人民币，教材呈现的思路是分钱的过程，即先分元，再分角，体现的是一个让学生经历分的过程，借助分的过程梳理出竖式，并夯实算理。下面为这四种版本教材关于这部分的内容（图1为人教版、图2为青岛版、图3为北师大版、图4为苏教版）。
教师在教学过程中是否需要给学生提供道具，让学生经历体验的过程？分绳子、分钱？这样会不会在很大程度上暗示了学生课堂研究的方向，束缚了学生的思考？借助分计量单位让学生明确算理会不会只是表达了教师的想法，而不是多数学生自觉的意识和行为呢？对于被除数是小数的除法，学生受小数乘法算法的影响，最容易产生的想法是把小数转化成整数，所以引导学生通过对多种算法的对比与联想，明确算理，应该是这节课的关键。
关于课程标准：课程标准中关于数的运算目标中有两条与小数除法有关。第5条：能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）;第8条：经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。
关于单元测试卷：我做了3套单元测试卷，从3套测试卷的测试内容来看，本单元主要的测试点为：（1）算理、算法;（2）计算;（3）解决问题（其中根据具体情境的估算题目又分为关于人民币的四舍五入、去尾法和进一法等）
二、学生的学情
为了解学生的真实心理和经验，课前我对这一部分的内容做了前测，测试题很简单（如图5）：3本装的纠错本需要9.84元，1本装的纠错本需要4元，那买哪一本纠错本比较划算？问题一是请学生自己想办法进行比较，问题二是让学生说明为什么这么做。
测试结果如下：
上表测试的时间是在学生学完小数乘法之后即将学习“小数除法”单元之前，数据的可参考性比较高。从表中数据可知，面对小数除以整数这样一个新的问题，没有学生想到要借助手里的人民币去分一分，很多学生列出了竖式，还有一半以上的学生把小数转化成了整数，然后根据商的性质得出了正确的结果。这样看来，当学生遇到小数除以整数时，借助旧知进行计算的人数所占比例还是比较高的。
为什么学生不借助人民币真正地去分一分？学生心里到底在想什么？学生表示：因为学习小数乘法的时候，就是把小数转化成整数后再计算的;辅导班的老师就教过;没想到要分真的钱，可以在本子上画小棒当作钱，一元画一捆，一角画一根……不难看出，有的学生受了小数乘法的计算方法的影响，有的学生在辅导班提前接触过，有的学生借助画一画把具体的钱抽象成小竖线来代替……这些都是学生的学习基础。
建构主义学习理论告诉我们：学习不是被动接受信息刺激，而是学习者根据自身的经验背景，对外部信息进行主动的选择、加工和处理，从而获得自己的意义的过程。教师应该考虑和利用学生的学习经验，体现新课程的逆向设计的教学理念：以学定教。
于是，我不再纠结是否让学生经历分的过程，把本节课研究的关键问题放在“商的小数点为什么要点在这里”，即引导学生直接从计数单位的层面理解算理。
三、教学设计
总体思路：一开始就把“如何确定小数点的位置”这个问题抛给学生，以诊断学生的学习起点，如果学生基本都能计算出结果，就用这个为题引导学生说明为什么要点小数点，小数点为什么要点在这里。理想的预设：学生可能有两种说明：一是商的性质（被除数不变，除数扩大几倍，商要缩小到原来的几分之一）;二是根据小数乘法的算理“几个0.1乘几得到的积就是几个0.1”，得到几个0.1除以几得到的商就是几个0.1。
1.初步探究，确立方向
师：3本装的纠错本到底每本多少钱呢？能计算出来吗？试着把你的想法写在白板上。
生1：9.84元=984分，984分÷3=328分，328分=3.28元。把元化成分来计算，984分除以3等于328分，再把328分化成3.28元。
生2：984÷3=328，9.84÷3=3.28。
师：先把9.84扩大到原来的100倍，3不变，算出的商就比原来的商扩大了100倍，需要再缩小到它的百分之一才能得到正确的商，也就得到了9.84÷3的商是3.28。
生3：根据小数的意义，9.84也就是984个百分之一，那么984个百分之一除以3得出的商应该是328个百分之一，也就是3.28。
师：这几种方法之间有什么联系吗？它们有什么共同点？
生4：这几种算法都把9.84看成了984，都是先把被除数扩大，然后商再缩小。
师：其实这些做法都是把小数除法转化成以前学过的整数除法来计算的。数学上的这个转化思想可真是厉害，它能帮我们利用以前学过的旧知识来解决新问题。
2.再次探究，厘清算理
师：在计算这道小数除法时，如果不转化成整数，直接用小数列竖式可不可以呢？一起来看这位同学的做法：
师：能说一说3.28是如何计算出来的吗？
生1：我是用被除数每一位上的数字分别除以3，比如个位的9除以3等于3，就把3写在个位上，十分位的8除以3得到2，就把2写在十分位上，余下2再与百分位上的4合起来是24，这里的24是24个百位之一，24个百分之一除以3的商就要写在百分位上。
师：小数点为什么要点在这里？
生1：8个十分之一除以3得到的是2个十分之一，把小数点点在这里才能区分个位和十分位。
师：小数点与被除数的小数点有什么关系？
生2：商的小数点与被除数的小数点在同一个位置。
师：说得真好！商的小数点要与被除数的小数点对齐。
四、体会和收获
通过这样的一次经历，我深刻体会到了逆向设计的焦点就是要直面学生的认知基础和学习困惑。杜威曾说：“教育，即经验连续不断的改造。”在他看来，教育必须建立在经验的基础上，对学生拿捏不准时，可以通过前测，诊断和确认学生的认知基础，进而把握教学的起点，确定教学的方向。
（责编：金铃）