论文部分内容阅读
“用教材教而不是教教材”是理性使用教材的一般性说法。但是，怎样使用教材才算得上是用好教材呢？一线教师常存在着诸多困惑，也常见诸多不甚合理的做法。一方面是对于“教材”琢磨得不够，折射出“读”的问题;另一方面是对于“教学”思考得不深，折射出“行”的问题。笔者以为，“读”可取的态度应该是“琢磨”，而“行”可取的策略可以是“通融”。其根本指向的目标是：关注学生的数学思维发展，让学生“通过数学学会思考”。具体操作如何进行，本文结合课例具体展开探讨。
一、琢磨教材，在“通透”中前行
要用好教材，首先就要琢磨教材，认真、仔细、深入地读懂教材。这其中，包括表层内容，如课题、情境、问题串、旁白、习题等，也包括深层内容，如内涵、外延、逻辑、意图等。既要读出教材科学、合理的内容与形式，也要善于思考，提出教材因篇幅、地域、时间变迁等而产生的不适切内容。这样读，才能既走进教材又走出教材，也才能在教学实践中“通透”地前行。
例如，教学北师大版四下“探索与发现：三角形边的关系”。分析教材中的3个问题串：第一个问题引导学生通过操作，发现问题（有的能摆成，有的摆不成）;第二个问题是引导學生思考其中的道理，发现三边之间的初步规律（较短的两根小棒的长度之和大于长的那根小棒）;第三个问题则用一一列举的方式，让学生从不完善到完善、从特殊到一般地归纳出三边间的关系。
教材的编排从操作入手，逐步过渡到观察、分析、计算、归纳等环节，符合学生认知的一般规律。但反复琢磨，可读出如下问题：其一，如果摆不成三角形，那么这3根小棒就不是三角形的边，可以借用它们来探究三角形的三边关系吗？其二，两根较短的小棒长度之和刚好等于较长小棒的长度，用于操作的话会很“顺利”还是很“意外”？其三，三角形两边之和大于第三边，是通过摆出来发现的吗？其数学本质是“加法的不等式”吗？
显然，本课的教学内容涉及两个方面：其一是，基于两点之间直线段最短而发现“三角形任意两边之和大于第三边”;其二是，基于关系，对所给3根小棒是否能围成三角形做出判断。一个是理解，一个是应用。两个层次一先一后，相衔而行。而教材编排上，这个次序显然是颠倒了，先“应用”后“关系”，逻辑上不通透、不合理。
基于逻辑通透的思考，笔者对本节课进行如下设计：①出示小明家、公园、学校的路线图（刚好围成一个三角形）。以“可以怎么走”为核心问题，让学生直观地感知从小明家去公园或学校，或从学校去公园等，都是“直着走”比“绕着走”近。再用数学式子表示出来：A+B>C、A+C>B、B+C>A。从而发现三角形三边的关系：“三角形的任意两边之和大于第三边。”②要选3根小棒围成一个三角形，你会怎么选？（提供：6厘米、8厘米、9厘米、11厘米、13厘米、15厘米的小棒各1根）让学生先说出选择的小棒，再进行实际操作验证;学生应用规律实现应用的泛化，借助操作理解6+8<15围不成三角形的道理，借助课件理解6+9=15也围不成三角形的道理，再进行练习强化。③提供两根小棒（9厘米和15厘米），让学生思考第三根最长几厘米？最短几厘米？（取整厘米数）紧接着，让学生透过现象看本质：两根同样的小棒，第三根小棒的长度为什么会不一样呢？从而发现：小角对应着短边，大角对应着长边。（如图1）让学生不仅知道第三边的结果，更知道第三边长度变化的缘由，让学生获得顿悟的愉悦。
这样教学，既基于教材，又不拘泥于教材。教师思考上的通透，决定着学生数学思维的通透，最终以“序”为线，促进学生数学思维发展。一方面，遵循认知逻辑上的序：先理解、再应用。另一方面，遵循学生认知特点的序：先整体、后微观。同时，在教学中放大、突显数形结合、猜测验证、观察明理等环节，使学生的归纳思维、求证思维、辩证思维等得到确实的发展。
二、琢磨学生，在“变通”中深刻
教学，教是起点端，学是终点端。教学出现问题，常常是教师对于学生琢磨得不够、不透，不能走进学生的内心世界。要读懂学生的现有起点、学习需求、内在心理等，不墨守成规，才能变通设计，从而让学生感受数学的魅力，深化数学思维。
例如，教学北师大版五下“邮票的张数”一课。对课例情境“家中姐弟集邮”（姐弟共有180张邮票，姐姐的邮票张数是弟弟的3倍），以及4个问题串进行分析：前3个问题是可以归为一组，从问题和方法指导入手，让学生经历分析数量关系到列方程解答的全过程。第4个问题其实是这一过程的拓展应用（从和倍问题到和差问题）。
从学生的起点来看，学生已学习过用字母表示数、等量关系、方程、解方程等初步的代数内容，并且也会用方程解决简单的数学问题。本课中未知数从1个增加到2个，且指定用方程解答，是要让学生体验化逆为顺的思维特点，增强用方程解决问题的意识和能力。但是，在不强求用方程解答的情况下，绝大多数的学生采用的是算术解还是方程解？甚至在强求用方程解答的情况下（如考试中），仍有部分学生采取算术解的方式，又是为什么？折射出来的学习心理、学习需求等需要我们琢磨。对于和倍问题、差倍问题等两个未知数的数学问题，学生由于先前学习经验影响（画图、平均分等），算术思维仍是潜意识的第一反应，代数思维仍是一种强制性的指令反应。同时，对于用方程解的过程的繁复（先解设，再解答等），学生常下意识地排斥。简言之，学生并不像我们期待的那样爱上方程解，教学目标谈何达成？
基于对学生学情的琢磨，笔者对本节课进行如下设计：①出示主题图，让学生整理出其中的等量关系：姐姐的邮票张数+弟弟的邮票张数=180张。问：“那姐弟各有邮票多少张？”让学生明白，答案不确定。②逐步出示中间的条件信息，让学生用自己喜欢的方式列式解答（算术解、方程解都是可以的）。a.姐姐的邮票张数是弟弟的3倍;b.姐姐的邮票张数比弟弟多40张;c.姐姐的邮票张数比弟弟的3倍少20张。3个条件有序递进，从和倍问题、和差问题发展到非整数倍的数学问题，在重复中让学生经历从不用方程到用方程也可以，再到方程很好用的过程，深刻感受方程的特点和价值，体会用方程解的结构统一性、思维简明性。③让学生梳理小结：方程，好吗？强化学生对于方程的认知。④利用变式练习让学生形成理性策略：什么时候用方程解，什么时候不用方程解？ 善于变通的教学，培养善于变通的学生，使学生数学思维更为深刻：其一，强化列方程而弱化解方程。突出意识优先，让学生先行确立“我想用方程解”“我会用方程解”的意识。课堂更聚焦，不陷入零散的求解计算中。其二，强化解法自由而弱化指定方程。变说教为自悟，“用方程解”不是教师单方面强求，而是学生在尝试中不知不觉地自我确立。由此，学生的方程思维、优化思维、灵活思维等得到了确实的发展。
三、琢磨结构，在“融汇”中完善
教材和教学都是有结构的，起承转合中自有内在的脉络。这些结构，如果只读一课教材而不放眼整套教材是难以琢磨出来的，如果只是读教材的表面知识、技能而不是深究數学本质也是难以琢磨出来的。换句话说，要把知识的前世、今生、未来放在全局中来看，要把课堂教学的起与落、放与收等放在结构中考量，用“融汇”给学生以合力，推动学生数学思维的发展。
例如，教学北师大版四下“买文具”一课。分析教材中的3个问题串及生活情境“买文具”，问题1与2解决的是一位小数乘整数的算理和算法，突出学生利用原有知识经验解决生活问题的策略，渗透转化、数形结合等数学思想，发现整数乘法与今天所学内容之间的“结构一致性”。问题3，是知识的泛化应用，从0？郾2乘几到0？郾4乘几，从积为纯小数到积为带小数，从而让学生在应用中进一步理解算法、熟练算法。
可以看出，本课教材内容安排已经具有一定的结构性。但是仔细琢磨，这一结构尚有一些欠缺：其一，小数乘整数的算理结构仅是转化为小数加法，还不够突显，没有和以往学习乘法的认知结构紧密地结合起来;其二，小数乘整数的应用结构仅是买文具，局限于购物，没有更广泛、更灵活地解决生活问题;其三，小数乘整数的承载结构仅是纯小数乘整数，还比较单一，是否应该适当涉及带小数乘整数的内容;其四，小数乘整数的算法结构仅靠学生感悟，还比较零散，没有进行算法的归纳与整理，不利于学生熟练技能、形成能力、发展思维。
基于对结构的思考，笔者对本课进行如下设计：①回顾，唤醒经验。用“你会计算吗”直击学生认知心理，把前面学习的相关计算内容进行一次简要梳理，也为课末的拓展埋下伏笔，使学生在一开始就对小数乘法有一个全景式认知。②迁移，利用经验。从买橡皮到买铅笔和尺子，从纯小数乘整数到带小数乘整数，让学生理解算法、熟悉算法。可以把二年级学习乘法时用的数线模型纳入本课教学，让学生在数一数中，进一步体会乘法的意义，形成一致性的认知结构。（如图2）③应用，活用经验。以0.5乘3为载体，从有单位的量到无单位的数，从一种列式到两种列式（渗透乘法交换律），从买文具的生活场景到“还可以解决什么样的生活问题”，从一位小数乘整数到两位小数乘整数，从熟悉算法到概括算法，使学生感悟到小数乘整数结构应用的广泛性及方法的可迁移性。④拓展、内化经验。以0？郾3×0？郾2引发学生思考，并促进学生进一步拓展：后续还将学习什么？从而使今天的学习、未来的学习形成一个有机的、更完善的数学认知结构。
良性结构的教学，成就有张力结构的学生。把有联系的内容联通起来，把过去、现在和未来融合起来，从原有的教材出发，向四面八方展开搜索、链接、整合，体现教学的完整性、丰富性、层次性，使学生在化归思维、求异思维、类比思维等方面获得发展。
琢磨从教材、学生、结构入手，以通透、变通、融汇等通融策略为着力点，可以有力地推动学生多种数学思维的确实发展，也推动教师在教学研究、教学行动上的不断深入，最终实现教学相长的和谐统一。
（作者单位：福建省晋江市第二实验小学）
一、琢磨教材，在“通透”中前行
要用好教材，首先就要琢磨教材，认真、仔细、深入地读懂教材。这其中，包括表层内容，如课题、情境、问题串、旁白、习题等，也包括深层内容，如内涵、外延、逻辑、意图等。既要读出教材科学、合理的内容与形式，也要善于思考，提出教材因篇幅、地域、时间变迁等而产生的不适切内容。这样读，才能既走进教材又走出教材，也才能在教学实践中“通透”地前行。
例如，教学北师大版四下“探索与发现：三角形边的关系”。分析教材中的3个问题串：第一个问题引导学生通过操作，发现问题（有的能摆成，有的摆不成）;第二个问题是引导學生思考其中的道理，发现三边之间的初步规律（较短的两根小棒的长度之和大于长的那根小棒）;第三个问题则用一一列举的方式，让学生从不完善到完善、从特殊到一般地归纳出三边间的关系。
教材的编排从操作入手，逐步过渡到观察、分析、计算、归纳等环节，符合学生认知的一般规律。但反复琢磨，可读出如下问题：其一，如果摆不成三角形，那么这3根小棒就不是三角形的边，可以借用它们来探究三角形的三边关系吗？其二，两根较短的小棒长度之和刚好等于较长小棒的长度，用于操作的话会很“顺利”还是很“意外”？其三，三角形两边之和大于第三边，是通过摆出来发现的吗？其数学本质是“加法的不等式”吗？
显然，本课的教学内容涉及两个方面：其一是，基于两点之间直线段最短而发现“三角形任意两边之和大于第三边”;其二是，基于关系，对所给3根小棒是否能围成三角形做出判断。一个是理解，一个是应用。两个层次一先一后，相衔而行。而教材编排上，这个次序显然是颠倒了，先“应用”后“关系”，逻辑上不通透、不合理。
基于逻辑通透的思考，笔者对本节课进行如下设计：①出示小明家、公园、学校的路线图（刚好围成一个三角形）。以“可以怎么走”为核心问题，让学生直观地感知从小明家去公园或学校，或从学校去公园等，都是“直着走”比“绕着走”近。再用数学式子表示出来：A+B>C、A+C>B、B+C>A。从而发现三角形三边的关系：“三角形的任意两边之和大于第三边。”②要选3根小棒围成一个三角形，你会怎么选？（提供：6厘米、8厘米、9厘米、11厘米、13厘米、15厘米的小棒各1根）让学生先说出选择的小棒，再进行实际操作验证;学生应用规律实现应用的泛化，借助操作理解6+8<15围不成三角形的道理，借助课件理解6+9=15也围不成三角形的道理，再进行练习强化。③提供两根小棒（9厘米和15厘米），让学生思考第三根最长几厘米？最短几厘米？（取整厘米数）紧接着，让学生透过现象看本质：两根同样的小棒，第三根小棒的长度为什么会不一样呢？从而发现：小角对应着短边，大角对应着长边。（如图1）让学生不仅知道第三边的结果，更知道第三边长度变化的缘由，让学生获得顿悟的愉悦。
这样教学，既基于教材，又不拘泥于教材。教师思考上的通透，决定着学生数学思维的通透，最终以“序”为线，促进学生数学思维发展。一方面，遵循认知逻辑上的序：先理解、再应用。另一方面，遵循学生认知特点的序：先整体、后微观。同时，在教学中放大、突显数形结合、猜测验证、观察明理等环节，使学生的归纳思维、求证思维、辩证思维等得到确实的发展。
二、琢磨学生，在“变通”中深刻
教学，教是起点端，学是终点端。教学出现问题，常常是教师对于学生琢磨得不够、不透，不能走进学生的内心世界。要读懂学生的现有起点、学习需求、内在心理等，不墨守成规，才能变通设计，从而让学生感受数学的魅力，深化数学思维。
例如，教学北师大版五下“邮票的张数”一课。对课例情境“家中姐弟集邮”（姐弟共有180张邮票，姐姐的邮票张数是弟弟的3倍），以及4个问题串进行分析：前3个问题是可以归为一组，从问题和方法指导入手，让学生经历分析数量关系到列方程解答的全过程。第4个问题其实是这一过程的拓展应用（从和倍问题到和差问题）。
从学生的起点来看，学生已学习过用字母表示数、等量关系、方程、解方程等初步的代数内容，并且也会用方程解决简单的数学问题。本课中未知数从1个增加到2个，且指定用方程解答，是要让学生体验化逆为顺的思维特点，增强用方程解决问题的意识和能力。但是，在不强求用方程解答的情况下，绝大多数的学生采用的是算术解还是方程解？甚至在强求用方程解答的情况下（如考试中），仍有部分学生采取算术解的方式，又是为什么？折射出来的学习心理、学习需求等需要我们琢磨。对于和倍问题、差倍问题等两个未知数的数学问题，学生由于先前学习经验影响（画图、平均分等），算术思维仍是潜意识的第一反应，代数思维仍是一种强制性的指令反应。同时，对于用方程解的过程的繁复（先解设，再解答等），学生常下意识地排斥。简言之，学生并不像我们期待的那样爱上方程解，教学目标谈何达成？
基于对学生学情的琢磨，笔者对本节课进行如下设计：①出示主题图，让学生整理出其中的等量关系：姐姐的邮票张数+弟弟的邮票张数=180张。问：“那姐弟各有邮票多少张？”让学生明白，答案不确定。②逐步出示中间的条件信息，让学生用自己喜欢的方式列式解答（算术解、方程解都是可以的）。a.姐姐的邮票张数是弟弟的3倍;b.姐姐的邮票张数比弟弟多40张;c.姐姐的邮票张数比弟弟的3倍少20张。3个条件有序递进，从和倍问题、和差问题发展到非整数倍的数学问题，在重复中让学生经历从不用方程到用方程也可以，再到方程很好用的过程，深刻感受方程的特点和价值，体会用方程解的结构统一性、思维简明性。③让学生梳理小结：方程，好吗？强化学生对于方程的认知。④利用变式练习让学生形成理性策略：什么时候用方程解，什么时候不用方程解？ 善于变通的教学，培养善于变通的学生，使学生数学思维更为深刻：其一，强化列方程而弱化解方程。突出意识优先，让学生先行确立“我想用方程解”“我会用方程解”的意识。课堂更聚焦，不陷入零散的求解计算中。其二，强化解法自由而弱化指定方程。变说教为自悟，“用方程解”不是教师单方面强求，而是学生在尝试中不知不觉地自我确立。由此，学生的方程思维、优化思维、灵活思维等得到了确实的发展。
三、琢磨结构，在“融汇”中完善
教材和教学都是有结构的，起承转合中自有内在的脉络。这些结构，如果只读一课教材而不放眼整套教材是难以琢磨出来的，如果只是读教材的表面知识、技能而不是深究數学本质也是难以琢磨出来的。换句话说，要把知识的前世、今生、未来放在全局中来看，要把课堂教学的起与落、放与收等放在结构中考量，用“融汇”给学生以合力，推动学生数学思维的发展。
例如，教学北师大版四下“买文具”一课。分析教材中的3个问题串及生活情境“买文具”，问题1与2解决的是一位小数乘整数的算理和算法，突出学生利用原有知识经验解决生活问题的策略，渗透转化、数形结合等数学思想，发现整数乘法与今天所学内容之间的“结构一致性”。问题3，是知识的泛化应用，从0？郾2乘几到0？郾4乘几，从积为纯小数到积为带小数，从而让学生在应用中进一步理解算法、熟练算法。
可以看出，本课教材内容安排已经具有一定的结构性。但是仔细琢磨，这一结构尚有一些欠缺：其一，小数乘整数的算理结构仅是转化为小数加法，还不够突显，没有和以往学习乘法的认知结构紧密地结合起来;其二，小数乘整数的应用结构仅是买文具，局限于购物，没有更广泛、更灵活地解决生活问题;其三，小数乘整数的承载结构仅是纯小数乘整数，还比较单一，是否应该适当涉及带小数乘整数的内容;其四，小数乘整数的算法结构仅靠学生感悟，还比较零散，没有进行算法的归纳与整理，不利于学生熟练技能、形成能力、发展思维。
基于对结构的思考，笔者对本课进行如下设计：①回顾，唤醒经验。用“你会计算吗”直击学生认知心理，把前面学习的相关计算内容进行一次简要梳理，也为课末的拓展埋下伏笔，使学生在一开始就对小数乘法有一个全景式认知。②迁移，利用经验。从买橡皮到买铅笔和尺子，从纯小数乘整数到带小数乘整数，让学生理解算法、熟悉算法。可以把二年级学习乘法时用的数线模型纳入本课教学，让学生在数一数中，进一步体会乘法的意义，形成一致性的认知结构。（如图2）③应用，活用经验。以0.5乘3为载体，从有单位的量到无单位的数，从一种列式到两种列式（渗透乘法交换律），从买文具的生活场景到“还可以解决什么样的生活问题”，从一位小数乘整数到两位小数乘整数，从熟悉算法到概括算法，使学生感悟到小数乘整数结构应用的广泛性及方法的可迁移性。④拓展、内化经验。以0？郾3×0？郾2引发学生思考，并促进学生进一步拓展：后续还将学习什么？从而使今天的学习、未来的学习形成一个有机的、更完善的数学认知结构。
良性结构的教学，成就有张力结构的学生。把有联系的内容联通起来，把过去、现在和未来融合起来，从原有的教材出发，向四面八方展开搜索、链接、整合，体现教学的完整性、丰富性、层次性，使学生在化归思维、求异思维、类比思维等方面获得发展。
琢磨从教材、学生、结构入手，以通透、变通、融汇等通融策略为着力点，可以有力地推动学生多种数学思维的确实发展，也推动教师在教学研究、教学行动上的不断深入，最终实现教学相长的和谐统一。
（作者单位：福建省晋江市第二实验小学）