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数列是高中数学的重要内容，也是初、高等数学的重要的衔接点。纵观近几年高考试卷不难发现它是必考内容之一，常以填空题和解答题形式出现，属于中、高档题型。填空题主要考查等差（比）数列的通项公式、求和公式的应用以及基本性质；解答题往往放在最后两题的位置，通常从数列的基本性质入手，进一步研究数列的通项公式和求和公式，有时会和方程、函数、不等式等知识结合起来考查。学生对于这类问题往往束手无策，但学生如果能理解数列中蕴含的数学思想方法，灵活运用它会起到意想不到的效果。下面笔者对数列试题中常涉及的数学思想方法进行举例分析。
一、方程思想
等差（比）数列一般涉及五个基本量：a1、d（q）、n、an、sn，我们根据其中三个可以求出另外二个的基本问题，可以运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1.（2010年福建高考）在等比数列{an}中，若公比q为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=___________。
分析：根据等比数列前n项和公式可求出a1=1，故an=4n-1。
注：本题利用方程思想揭示问题隐含的等量关系，从而显示设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛应用。
二、函数思想
数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）上的特殊函数。运用函数思想去研究数列，要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决相关问题，它不仅使问题简化，而且还可以加深对知识的关系的理解。
例2.已知a■=■，n∈N*，求{an}中最大项是第几项？
分析：本题实质上求f（n）=n+■，n∈N*的最小值时项数，因为n+■≥2■，当且仅当n=■时取等号，又n∈N*，故n=12或13，又a12=a13，所以最大项是第12项和第13项。
注：函数思想在数列中的运用，学生有时想不到。怎样有效地将数列情景转化为函数情景，然后用函数的性质解决问题，是运用函数思想解决数列问题的关键所在。
三、分类讨论思想
当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答。
例3.（2011年四川文科）已知数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn是它的前n项和。当Sm，Sn，S1成等差数列时，求证：对任意自然数k，am+k，an+k，at+k也成等差数列。
分析：对公比q讨论，分q=1或q≠1两种情况，利用等比数列求和公式化简变形很易证出本题结论。
四、转化与化归思想
把将要解决的陌生问题通过化归，变为一个比较熟悉的问题来解决。实际中我们常常将一个复杂问题化归为一个或几个简单的问题来解决，或将抽象的问题化归为具体的问题来解决等。
例4.设等差数列{an}的前项和为Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，求S6的取值范围。
分析：因为a5=a1+4d，a6=a1+5d，S6=6a1+15d。很易得到S6=15a5-9a6，故可得S6的取值范围为[-12，42]。当然本题还可以用转化线性规划知识来求解，横坐标表示a1，纵坐标表示d。
注：用线性规划知识来解实质上就是用转化思想。
五、数形结合思想
数列是特殊的函数，它的图象是由一些有规律的间断点构成，具有鲜明的几何意义。
例5.（2010年福建理科）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n=____________。
分析：根据a1=-11，a4+a6=-6，不难求出d=2。则Sn=n2-12n，再根据二次函数图象不难得出本题答案为6。
六、整体思想
整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想。
例6.在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+■）a■+■，求数列{an}的通项公式。
分析：由已知变形可得■■=■，令b■=■，则得bn+1-bn=■。这样可采用叠加思想不难求出bn=2-■，故a■=2n-■。
注：整体思想的运用依赖于对问题的敏锐观察、缜密的分析思考，依赖于解题经验的积累，使多元问题转化为一元问题。
七、归纳推理、类比推理思想
在高考中，这类题常以填空题形式出现。归纳推理主要的思想方法是特殊到一般；类比推理关键在于弄清试题中给出的原命题的运算原理及关系、结构，在新的条件环境下类比新命题。
例7.若数列{an}满足a■=
2a■ （0≤a■≤1）a■-1（a■>1）且a1=■，求a■的值。
分析：由递推式得a1=■，a2=■，a3=■，a4=■，a5=■，a6=■，……所以a■=a2=■。
注：对于这种数列型的归纳推理一般分为两类，一类推理出它的周期，一类推理出具有特殊性质数列的通项公式。有时考试也会以图表的形式出现。
例8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列，类比以上结论有：等比数列{bn}的前项n积为Tn，则T4，____，_____，T16/T12成等比数列。
分析：等差数列中的减类比到等比数列中就变成除，故本题填■，■。
通过以上例题剖析，我们会发现有些数列问题虽然比较复杂，但是经过我们仔细分析，灵活地运用数学思想方法以后，它们都可以得到解决。当然一个题目所蕴含的数学思想不是唯一的，这就是数学题目会出现一题多解的原因。我们只有把握住问题的实质，才能更好、更快、更准确地解决问题。
参考文献：
[1]张建军.数列中的数学思想方法分析.数学之友，2011（6）.
[2]孙翔峰.三维设计.光明日报出版社，2011（4）.
（责编 高伟）
一、方程思想
等差（比）数列一般涉及五个基本量：a1、d（q）、n、an、sn，我们根据其中三个可以求出另外二个的基本问题，可以运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1.（2010年福建高考）在等比数列{an}中，若公比q为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=___________。
分析：根据等比数列前n项和公式可求出a1=1，故an=4n-1。
注：本题利用方程思想揭示问题隐含的等量关系，从而显示设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛应用。
二、函数思想
数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）上的特殊函数。运用函数思想去研究数列，要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决相关问题，它不仅使问题简化，而且还可以加深对知识的关系的理解。
例2.已知a■=■，n∈N*，求{an}中最大项是第几项？
分析：本题实质上求f（n）=n+■，n∈N*的最小值时项数，因为n+■≥2■，当且仅当n=■时取等号，又n∈N*，故n=12或13，又a12=a13，所以最大项是第12项和第13项。
注：函数思想在数列中的运用，学生有时想不到。怎样有效地将数列情景转化为函数情景，然后用函数的性质解决问题，是运用函数思想解决数列问题的关键所在。
三、分类讨论思想
当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答。
例3.（2011年四川文科）已知数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn是它的前n项和。当Sm，Sn，S1成等差数列时，求证：对任意自然数k，am+k，an+k，at+k也成等差数列。
分析：对公比q讨论，分q=1或q≠1两种情况，利用等比数列求和公式化简变形很易证出本题结论。
四、转化与化归思想
把将要解决的陌生问题通过化归，变为一个比较熟悉的问题来解决。实际中我们常常将一个复杂问题化归为一个或几个简单的问题来解决，或将抽象的问题化归为具体的问题来解决等。
例4.设等差数列{an}的前项和为Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，求S6的取值范围。
分析：因为a5=a1+4d，a6=a1+5d，S6=6a1+15d。很易得到S6=15a5-9a6，故可得S6的取值范围为[-12，42]。当然本题还可以用转化线性规划知识来求解，横坐标表示a1，纵坐标表示d。
注：用线性规划知识来解实质上就是用转化思想。
五、数形结合思想
数列是特殊的函数，它的图象是由一些有规律的间断点构成，具有鲜明的几何意义。
例5.（2010年福建理科）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n=____________。
分析：根据a1=-11，a4+a6=-6，不难求出d=2。则Sn=n2-12n，再根据二次函数图象不难得出本题答案为6。
六、整体思想
整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想。
例6.在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+■）a■+■，求数列{an}的通项公式。
分析：由已知变形可得■■=■，令b■=■，则得bn+1-bn=■。这样可采用叠加思想不难求出bn=2-■，故a■=2n-■。
注：整体思想的运用依赖于对问题的敏锐观察、缜密的分析思考，依赖于解题经验的积累，使多元问题转化为一元问题。
七、归纳推理、类比推理思想
在高考中，这类题常以填空题形式出现。归纳推理主要的思想方法是特殊到一般；类比推理关键在于弄清试题中给出的原命题的运算原理及关系、结构，在新的条件环境下类比新命题。
例7.若数列{an}满足a■=
2a■ （0≤a■≤1）a■-1（a■>1）且a1=■，求a■的值。
分析：由递推式得a1=■，a2=■，a3=■，a4=■，a5=■，a6=■，……所以a■=a2=■。
注：对于这种数列型的归纳推理一般分为两类，一类推理出它的周期，一类推理出具有特殊性质数列的通项公式。有时考试也会以图表的形式出现。
例8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列，类比以上结论有：等比数列{bn}的前项n积为Tn，则T4，____，_____，T16/T12成等比数列。
分析：等差数列中的减类比到等比数列中就变成除，故本题填■，■。
通过以上例题剖析，我们会发现有些数列问题虽然比较复杂，但是经过我们仔细分析，灵活地运用数学思想方法以后，它们都可以得到解决。当然一个题目所蕴含的数学思想不是唯一的，这就是数学题目会出现一题多解的原因。我们只有把握住问题的实质，才能更好、更快、更准确地解决问题。
参考文献：
[1]张建军.数列中的数学思想方法分析.数学之友，2011（6）.
[2]孙翔峰.三维设计.光明日报出版社，2011（4）.
（责编 高伟）