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在平时的课堂教学中,我们要根据学生的认知水平和新课程的教学要求将数学课堂中的例题进行巧妙的设计,如何设计才能在课堂教学中取得最大成效呢?下面谈一谈我在数学教学中如何精心设计例题的一些做法与体会.
一､以学生思维的递进性为着眼点,巧妙设计例题
案例1 f(x)是定义在R上的奇函数,且满足以下条件:(1)对任意的实数x,y,都有f(x + y) = f(x) + f(y),(2)当x < 0时,f(x) > 0,且f(-1) = 1. 求f(x)在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
该案例有如下不足:
1. 条件多余
条件(1)可以推出f(x)是奇函数,这本身就是极好的抽象函数奇偶性的证明题.
2. 例题缺乏层次性,起点太高
求f(x)在区间[-3,4]上的最大值和最小值,这需要做很多辅助性的判断､证明和计算.
建议将案例1改为: f(x)是定义在R上的函数,且满足以下条件:(1)对任意的实数x,y,都有f(x + y) = f(x) + f(y),(2) 当x < 0时,f(x) > 0,且f(-1) = 1.
① 求f(0)的值.
② 证明f(x)是在R上为奇函数.
③ 证明f(x)是R上的减函数.
④ 求f(x)在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
如此设计,引导学生经历解抽象函数问题的一般步骤,合乎学生的认知特点和循序渐进的教学原则,使学生的思维能力层层递进,不断体会成功的喜悦.
二､以归类概括性为着眼点,巧妙设计例题
案例2 △ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0,-a),(0,a),(a > 0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于k(k≠0),求顶点C的轨迹.
可以求出轨迹方程为:y2 - kx2 = a2(x ≠ 0).
学生可以对k的取值的四种情况进行讨论,得出相应的轨迹为圆､椭圆､双曲线等. 以上设计不仅有效地培养了学生的归类概括能力,也较深刻地揭示了习题的本质,通过对k的讨论,既体现了分类讨论思想,又有效地培养了学生的思维品质.
三､以一题多变为着眼点,巧妙设计例题
案例3 点P在椭圆x2 + 4y2 = 4上运动,求定点A(0,2)到点P的距离|AP|的最大值.
建议变化条件､结论,可得出以下几种变题:
变题1:将求|AP|的最大值改为最小值.
变题2:将椭圆改为双曲线x2 - y2 = 1,结论改为求 |AP|的最小值.
变题3:将椭圆改为抛物线y2 = 2x,结论改为求|AP|的最小值.
变题4:点P在椭圆x2 + 4y2 = 4上运动,定点A(0,a)(a > 0),求|AP|的最大值.
变题5:点P在椭圆x2 + 4y2 = 4上运动,点Q在圆 x2 + y2 - 4y + 3 = 0上运动,求|QP|的最大值.
以上设计训练了学生思维的递进性,由条件和结论的换位,训练了学生思维的变通性和广阔性,有效地提高了学生的解题能力.
四､以一题多解､优化思路为着眼点,巧妙设计例题
案例4 从圆(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1外一点P(2,3),向该圆引切线PA,PB,切点为A,B,求直线AB的方程. 分析 (由切线求切点)根据圆心(1,1)到切线的距离等于半径,得切线方程x = 2或3x - 4y + 6 = 0.再将切线方程与圆方程联立求得切点为A(2,1),B , (如图).
再由两点式求得直线AB的方程为:x + 2y - 4 = 0. 首先,肯定此法合乎学生的思维特点,是一种基本方法,但运算量较大.
按照以下思路层层递进,就能使学生的思维能力进一步深化,达到一个较高层次,充分体现该例题的设计价值功能.
改进1:(两圆相交求切点)如图,设已知圆的圆心为C,根据平面几何性质知,切点是以PC为直径的圆与圆C的交点.以PC为直径的圆方程为(x - 1)(x - 2) + (y - 1)(y - 3) = 0.
联立(x - 1)(x - 2) + (y - 1)(y - 3) = 0,(1)
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1. (2)
(1) - (2),得 x + 2y - 4 = 0.(3)
将(3)代入(2)得切点坐标为A(2,1),B , .由两点式得过切点A,B的直线方程为:x + 2y - 4 = 0.
此法运用平面几何性质,减少了运算层次,简化了解题过程.
改进2:(设而不求法)切点是以PC为直径的圆与圆C的交点,设切点坐标为(x,y),则切点坐标满足方程(1)､(2),因而必满足(1)-(2)所得的方程(3),故方程(3)即为过切点A,B的直线方程.
这种“设而不求”的思想,是解析几何的重要技巧. 说明求过点A,B的直线方程,只要获得A,B两点坐标满足的直线方程即可.
改进3:(逆向思维)把P点视为两条切线的交点. 设切点A(x1,y1),B(x2,y2),切线PA的方程为:
(x - 1)(x1 - 1) + (y - 1)(y1 - 1) = 1,PA经过P点,
∴(x - 1)(2 - 1) + (y - 1)(3 - 1) = 1,
化简,得x1 + 2y1 - 4 = 0, (1)
同样,由切线PB过P点可得
x2 + 2y2 - 4 = 0.(2)
由(1)､(2)知A,B两点坐标满足方程x + 2y - 4 = 0,此即过切点A,B的直线方程.
学生在一题多解､优化思路的过程中,才能激发思维灵感,才能提高数学思维能力.
总之,例题教学是数学课堂的重要组成部分,要提高数学教学质量,必须提高例题教学的效益,而提高例题教学的效益关键在于例题的设计水平,这就要求我们要精心设计例题,最大限度地提高课堂教学的质量.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一､以学生思维的递进性为着眼点,巧妙设计例题
案例1 f(x)是定义在R上的奇函数,且满足以下条件:(1)对任意的实数x,y,都有f(x + y) = f(x) + f(y),(2)当x < 0时,f(x) > 0,且f(-1) = 1. 求f(x)在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
该案例有如下不足:
1. 条件多余
条件(1)可以推出f(x)是奇函数,这本身就是极好的抽象函数奇偶性的证明题.
2. 例题缺乏层次性,起点太高
求f(x)在区间[-3,4]上的最大值和最小值,这需要做很多辅助性的判断､证明和计算.
建议将案例1改为: f(x)是定义在R上的函数,且满足以下条件:(1)对任意的实数x,y,都有f(x + y) = f(x) + f(y),(2) 当x < 0时,f(x) > 0,且f(-1) = 1.
① 求f(0)的值.
② 证明f(x)是在R上为奇函数.
③ 证明f(x)是R上的减函数.
④ 求f(x)在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
如此设计,引导学生经历解抽象函数问题的一般步骤,合乎学生的认知特点和循序渐进的教学原则,使学生的思维能力层层递进,不断体会成功的喜悦.
二､以归类概括性为着眼点,巧妙设计例题
案例2 △ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0,-a),(0,a),(a > 0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于k(k≠0),求顶点C的轨迹.
可以求出轨迹方程为:y2 - kx2 = a2(x ≠ 0).
学生可以对k的取值的四种情况进行讨论,得出相应的轨迹为圆､椭圆､双曲线等. 以上设计不仅有效地培养了学生的归类概括能力,也较深刻地揭示了习题的本质,通过对k的讨论,既体现了分类讨论思想,又有效地培养了学生的思维品质.
三､以一题多变为着眼点,巧妙设计例题
案例3 点P在椭圆x2 + 4y2 = 4上运动,求定点A(0,2)到点P的距离|AP|的最大值.
建议变化条件､结论,可得出以下几种变题:
变题1:将求|AP|的最大值改为最小值.
变题2:将椭圆改为双曲线x2 - y2 = 1,结论改为求 |AP|的最小值.
变题3:将椭圆改为抛物线y2 = 2x,结论改为求|AP|的最小值.
变题4:点P在椭圆x2 + 4y2 = 4上运动,定点A(0,a)(a > 0),求|AP|的最大值.
变题5:点P在椭圆x2 + 4y2 = 4上运动,点Q在圆 x2 + y2 - 4y + 3 = 0上运动,求|QP|的最大值.
以上设计训练了学生思维的递进性,由条件和结论的换位,训练了学生思维的变通性和广阔性,有效地提高了学生的解题能力.
四､以一题多解､优化思路为着眼点,巧妙设计例题
案例4 从圆(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1外一点P(2,3),向该圆引切线PA,PB,切点为A,B,求直线AB的方程. 分析 (由切线求切点)根据圆心(1,1)到切线的距离等于半径,得切线方程x = 2或3x - 4y + 6 = 0.再将切线方程与圆方程联立求得切点为A(2,1),B , (如图).
再由两点式求得直线AB的方程为:x + 2y - 4 = 0. 首先,肯定此法合乎学生的思维特点,是一种基本方法,但运算量较大.
按照以下思路层层递进,就能使学生的思维能力进一步深化,达到一个较高层次,充分体现该例题的设计价值功能.
改进1:(两圆相交求切点)如图,设已知圆的圆心为C,根据平面几何性质知,切点是以PC为直径的圆与圆C的交点.以PC为直径的圆方程为(x - 1)(x - 2) + (y - 1)(y - 3) = 0.
联立(x - 1)(x - 2) + (y - 1)(y - 3) = 0,(1)
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1. (2)
(1) - (2),得 x + 2y - 4 = 0.(3)
将(3)代入(2)得切点坐标为A(2,1),B , .由两点式得过切点A,B的直线方程为:x + 2y - 4 = 0.
此法运用平面几何性质,减少了运算层次,简化了解题过程.
改进2:(设而不求法)切点是以PC为直径的圆与圆C的交点,设切点坐标为(x,y),则切点坐标满足方程(1)､(2),因而必满足(1)-(2)所得的方程(3),故方程(3)即为过切点A,B的直线方程.
这种“设而不求”的思想,是解析几何的重要技巧. 说明求过点A,B的直线方程,只要获得A,B两点坐标满足的直线方程即可.
改进3:(逆向思维)把P点视为两条切线的交点. 设切点A(x1,y1),B(x2,y2),切线PA的方程为:
(x - 1)(x1 - 1) + (y - 1)(y1 - 1) = 1,PA经过P点,
∴(x - 1)(2 - 1) + (y - 1)(3 - 1) = 1,
化简,得x1 + 2y1 - 4 = 0, (1)
同样,由切线PB过P点可得
x2 + 2y2 - 4 = 0.(2)
由(1)､(2)知A,B两点坐标满足方程x + 2y - 4 = 0,此即过切点A,B的直线方程.
学生在一题多解､优化思路的过程中,才能激发思维灵感,才能提高数学思维能力.
总之,例题教学是数学课堂的重要组成部分,要提高数学教学质量,必须提高例题教学的效益,而提高例题教学的效益关键在于例题的设计水平,这就要求我们要精心设计例题,最大限度地提高课堂教学的质量.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”