论文部分内容阅读
摘要 “解决问题”的教学强调让学生经历问题解决的过程，在过程中掌握解决问题的方法，感悟数学思想，才能提高后继解决问题的能力。本文结合案例谈谈在“解决问题”的教学中让学生经历问题解决过程，感悟数学思想的做法：一是从多角度着眼数学思想的定位;二是基于数学思想的探究，让学生参与、体验、感悟。
关键词 问题解决 数学思想 小学数学
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.08.067
On Mathematical Thinking through Problem-solving Insights
——In "Mathematics Wide-angle - reasoning" Teaching Case
CHEN Jiewei
（Yuexiu District Weat Welfare Road Primary School， Guangzhou， Guangdong 510120）
Abstract "Problem solving" teaching emphasizes allow students to experience the problem-solving process， grasp solutions to problems in the process， perception of mathematical thinking in order to improve the ability to solve problems successor. In this paper， the case talk about "problem solving" teaching approach allows students to experience the problem-solving process， perception of mathematical thinking： First， focus on the positioning of mathematical thinking from multiple perspectives; the second is based on the exploration of mathematical thinking， allowing students to participate， experience and sentiment.
Key words problem solving; mathematical thinking; primary mathematics
1 着眼数学思想的定位
史宁中教授认为：数学基本思想主要指：抽象、推理和模型。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科;通过数学推理，进一步得到更多的结论，数学学科得以发展;通过数学建模，把数学应用到客观世界中，架起了数学与外部世界的桥梁。由数学基本思想演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。教学前定位好数学思想，有利于深刻地理解数学的内容和知识体系，有利于以较高的观点分析处理教材。但教学实践中，数学思想常常通过数学方法去体现;数学方法有常常反映了某种数学思想，所以教学中，往往以数学方法去反映和体现数学思想，让学生了解、感悟数学思想。
在本课前，笔者首先对教材进行了全面的分析，着眼数学思想的定位：从推理角度看，推理指的是由一个或几个命题得出一个新命题的过程。推理包括合情推理与演绎推理。本课就是要借助常见的生活情境，让学生经历简单的演绎推理过程，获得演绎推理的经验，初步掌握这种思维形式，为他们思维能力的发展打下良好的基础。演绎推理有多种形式，教材中的例1的演绎推理用的是直接推理法与不相容选言推理，其中的选言推理不要求学生用严格的方式表达，但又希望能让学生能知道这种推理方法，因此我把这里的不相容选言推理看作排除法，比较符合学生的认知特点。直接推理法与排除法是我们推理常用的基本方法，也是解决问题的一种方法，更是一种数学思想。从解决问题的角度看，小学生分析问题和解决问题的基本方法有很多，主要有模拟操作、画图、列表尝试、分析与综合、转化等，这些方法本身蕴含了数学思想。本课我把分析与解决问题的基本方法定位为综合法（边阅读边推理法、逐步逼近的思想），画图（连线法、数形结合思想），列表尝试（列表法、简化的思想），这些方法侧重点各有不同，边阅读边推理法是学生口头表达常用的方法，也符合低年级孩子分析问题总是从条件入手得出结论的习惯，而连线法书写简单，符合孩子少书写的愿望，列表尝试对简化解决较难的推理问题非常实用，孩子都喜欢挑战自己，自然也想学习这种方法。
2 基于数学思想的探究
数学思想的特点是抽象的、隐蔽的。定位好数学思想后，如何让学生从直观的解决问题过程中去感悟其中抽象的数学思想呢？解决这个问题的关键就是在学生经历问题解决过程中，重视让其参与、体验、感悟。参与就是让学生主动参与，包括独立思考、合作交流等，因为没有主动参与就不可能对数学知识与数学思想产生体验。因此，在课堂上必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，充分发挥他们的主体作用，在动脑、动手、动口的过程中领悟、体验数学思想的形成。下面重点以新授环节的教学片断作基于数学思想的探究。
【教学片断一】情境导入，激发兴趣（略）
【教学片断二】亲历过程，掌握方法
（1）承接情境、呈现问题。
有语文、数学和品德与生活三本书，下面三人各拿一本。小刚拿的是什么书？小丽呢？（配图：小红拿的是语文书，小丽拿的不是数学书）
（2）提取信息、理解题意。 （3）尝试解决、探索方法。
先独立思考，然后把解决问题的想法与结果用自己喜欢的方式记录下来。教师收集学生不同方法解决问题。
（4）汇报交流、体会方法。
生1：小红拿的是语文书，那小丽和小刚拿的就是数学书和品德与生活书。小丽拿的不是数学书，可以肯定她拿的是品德与生活书，剩下小刚拿的就是数学书。
（多数学生举手示意相同）
师：你们的方法首先从哪个已知条件开始推理的？
生齐：小红拿的是语文书。
师：可以得到什么结论？
生齐：小丽和小刚拿的是数学书和品德与生活书。
师引导得出直接推理法，（板书：直接推理法）指出是一种基本的推理方法。
师：接着从“小丽拿的不是数学书”又可以肯定什么？
生齐：可以肯定她拿的是品德与生活书，剩下小刚拿的就是数学书。
师引导得出排除法。（板书：排除法）
师生共同小结怎样解决这个问题，指出这种边阅读边推理的解决问题的方法叫做边阅读边推理法。（板书：边阅读边推理法）这是一种用推理解决问题常用的方法，都用到了直接推理法和排除法两种基本推理方法。引导说出方法的优缺点。
生齐：有序。（板书：有序）
生齐：写起来比较麻烦。
师：那有没有一种有序而写起来不麻烦的方法？
生2： 我用连线法。把人名和书名写成两行，再根据给出的每一个条件连线：小红拿的是语文书，直接把小红和语文书连上线;剩下的小丽和小刚只能拿数学书和品德与生活书，小丽拿的不是数学书，可以肯定小刚拿的是数学书，小刚和数学书连线;最后把小丽和品德与生活书连线。
板书：
师小结这种边阅读边推理边连线的方法我们称为连线法。（板书：连线法）指导连的时候先把人名写一行，空一行用于连线，再写出书名，接着开始边阅读推理边连线，边阅读边推理时都用到了直接推理法和排除法两种基本推理方法。引导比较连线法与边阅读边推理法。
生齐：一样有序、比边阅读边推理书写简洁。（板书：有序、简洁）
师：还有其他不一样的方法吗？（学生茫然）
师介绍对解决较难的推理问题非常有用的列表法。（板书：列表法）
师出示表格，讲解方法，与学生共同完成阅读推理及符号记录。引导比较列表法与连线法。
生齐：与连线法一样有序、简洁，比连线法更全面看出三个人否定拿哪些书。（板书：有序、简洁、全面）
师：正因为全面，所以列表法对解决一些较难的推理问题非常有用。
（5）总结提升，内化方法。
师：我们刚才解决问题用的几种推理方法都是从什么条件开始的？
生齐：小红拿的是语文书。
师：说明这个条件为关键条件。我们推理时一般先找到关键条件，由这个条件往往能直接得到一个结论，这个结论可以帮助我们进行下一步的推理，最终推导出结论。实际推理时，我们可以根据需要选择合适的方法，如平常口头表达时可以边阅读边推理，需要书写时可以用连线法和列表法推理，能让我们的推理过程更有序、全面、简洁，特别是解决较难的问题时，可以用列表法。只有做到有序、全面，才能保证推理结果的准确性。
在上述环节中，围绕要解决的问题，首先是自主尝试，给学生一个大的思维空间，学生采用独立思考、尝试、画图等方法，主动探索解决问题的方法。接着合作交流，同伴互助，发挥头脑风暴作用，初步建构问题解决的方法，并培养表达能力。又接着开展全班交流，汇报自己解决问题的过程、方法和结果，汇报完成后，适时组织有效评价，通过评价，配以比较，引导学生去除表象、掌握本质、建立模型。在开始的汇报与评价中学生掌握了推理中的直接推理法和巩固了排除法，及分析与解决问题的边阅读边推理法（综合法），学生体验、感悟了推理思想与步步逼近的思想;随着汇报与评价的深入，学生掌握了连线法（画图），体验、感悟了数形结合思想;最后在学生想不出列表法（列表尝试）时，借助老师的引导讲解，学生也掌握到对简化解决较难的推理问题非常实用的列表法，体验、感悟了简化的思想。学生在比较不同的方法特点后，体会到哪种方法更适合自己，为学生选择合适的解决问题的方法打下基础。最后是总结提升，再次体悟到方法之简单、价值，从而内化方法，建立系统的方法模型，使学生能在遇到相关实际问题时能灵活地、创造性使用方法模型来解决，也就是应用数学思想解决问题。
【教学片断三】应用方法，巩固拓展（略）
巩固拓展环节安排的练习要凸显数学思想方法的应用。因为这一环节是学生把所学到的知识一般化的过程，即运用所学知识解决相应问题的具体过程，是推理和应用模型的过程，也是学生知识深化和巩固的环节。我安排了基本练习、操作练习、拓展练习，基本练习重在巩固本课的重点方法——连线法，同时也不限制学生，可以选择适合自己的方法。操作练习融趣味性、实效性于一体，用意在于通过四人小组分角色进行推理，体会到模拟操作也是解决问题一种很直观、适用的方法，丰富学生的方法。拓展练习在于打破学生的思维定势，促使学生真正动脑思考，并能运用刚刚新课中学到的多种思想正确分析问题、解决问题。
教学实践证明，在小学“解决问题”的教学中，让学生经历问题解决的过程，在过程中掌握解决问题的方法，感悟数学思想，是提升学生后继解决问题的能力的重要举措。
关键词 问题解决 数学思想 小学数学
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.08.067
On Mathematical Thinking through Problem-solving Insights
——In "Mathematics Wide-angle - reasoning" Teaching Case
CHEN Jiewei
（Yuexiu District Weat Welfare Road Primary School， Guangzhou， Guangdong 510120）
Abstract "Problem solving" teaching emphasizes allow students to experience the problem-solving process， grasp solutions to problems in the process， perception of mathematical thinking in order to improve the ability to solve problems successor. In this paper， the case talk about "problem solving" teaching approach allows students to experience the problem-solving process， perception of mathematical thinking： First， focus on the positioning of mathematical thinking from multiple perspectives; the second is based on the exploration of mathematical thinking， allowing students to participate， experience and sentiment.
Key words problem solving; mathematical thinking; primary mathematics
1 着眼数学思想的定位
史宁中教授认为：数学基本思想主要指：抽象、推理和模型。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科;通过数学推理，进一步得到更多的结论，数学学科得以发展;通过数学建模，把数学应用到客观世界中，架起了数学与外部世界的桥梁。由数学基本思想演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。教学前定位好数学思想，有利于深刻地理解数学的内容和知识体系，有利于以较高的观点分析处理教材。但教学实践中，数学思想常常通过数学方法去体现;数学方法有常常反映了某种数学思想，所以教学中，往往以数学方法去反映和体现数学思想，让学生了解、感悟数学思想。
在本课前，笔者首先对教材进行了全面的分析，着眼数学思想的定位：从推理角度看，推理指的是由一个或几个命题得出一个新命题的过程。推理包括合情推理与演绎推理。本课就是要借助常见的生活情境，让学生经历简单的演绎推理过程，获得演绎推理的经验，初步掌握这种思维形式，为他们思维能力的发展打下良好的基础。演绎推理有多种形式，教材中的例1的演绎推理用的是直接推理法与不相容选言推理，其中的选言推理不要求学生用严格的方式表达，但又希望能让学生能知道这种推理方法，因此我把这里的不相容选言推理看作排除法，比较符合学生的认知特点。直接推理法与排除法是我们推理常用的基本方法，也是解决问题的一种方法，更是一种数学思想。从解决问题的角度看，小学生分析问题和解决问题的基本方法有很多，主要有模拟操作、画图、列表尝试、分析与综合、转化等，这些方法本身蕴含了数学思想。本课我把分析与解决问题的基本方法定位为综合法（边阅读边推理法、逐步逼近的思想），画图（连线法、数形结合思想），列表尝试（列表法、简化的思想），这些方法侧重点各有不同，边阅读边推理法是学生口头表达常用的方法，也符合低年级孩子分析问题总是从条件入手得出结论的习惯，而连线法书写简单，符合孩子少书写的愿望，列表尝试对简化解决较难的推理问题非常实用，孩子都喜欢挑战自己，自然也想学习这种方法。
2 基于数学思想的探究
数学思想的特点是抽象的、隐蔽的。定位好数学思想后，如何让学生从直观的解决问题过程中去感悟其中抽象的数学思想呢？解决这个问题的关键就是在学生经历问题解决过程中，重视让其参与、体验、感悟。参与就是让学生主动参与，包括独立思考、合作交流等，因为没有主动参与就不可能对数学知识与数学思想产生体验。因此，在课堂上必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，充分发挥他们的主体作用，在动脑、动手、动口的过程中领悟、体验数学思想的形成。下面重点以新授环节的教学片断作基于数学思想的探究。
【教学片断一】情境导入，激发兴趣（略）
【教学片断二】亲历过程，掌握方法
（1）承接情境、呈现问题。
有语文、数学和品德与生活三本书，下面三人各拿一本。小刚拿的是什么书？小丽呢？（配图：小红拿的是语文书，小丽拿的不是数学书）
（2）提取信息、理解题意。 （3）尝试解决、探索方法。
先独立思考，然后把解决问题的想法与结果用自己喜欢的方式记录下来。教师收集学生不同方法解决问题。
（4）汇报交流、体会方法。
生1：小红拿的是语文书，那小丽和小刚拿的就是数学书和品德与生活书。小丽拿的不是数学书，可以肯定她拿的是品德与生活书，剩下小刚拿的就是数学书。
（多数学生举手示意相同）
师：你们的方法首先从哪个已知条件开始推理的？
生齐：小红拿的是语文书。
师：可以得到什么结论？
生齐：小丽和小刚拿的是数学书和品德与生活书。
师引导得出直接推理法，（板书：直接推理法）指出是一种基本的推理方法。
师：接着从“小丽拿的不是数学书”又可以肯定什么？
生齐：可以肯定她拿的是品德与生活书，剩下小刚拿的就是数学书。
师引导得出排除法。（板书：排除法）
师生共同小结怎样解决这个问题，指出这种边阅读边推理的解决问题的方法叫做边阅读边推理法。（板书：边阅读边推理法）这是一种用推理解决问题常用的方法，都用到了直接推理法和排除法两种基本推理方法。引导说出方法的优缺点。
生齐：有序。（板书：有序）
生齐：写起来比较麻烦。
师：那有没有一种有序而写起来不麻烦的方法？
生2： 我用连线法。把人名和书名写成两行，再根据给出的每一个条件连线：小红拿的是语文书，直接把小红和语文书连上线;剩下的小丽和小刚只能拿数学书和品德与生活书，小丽拿的不是数学书，可以肯定小刚拿的是数学书，小刚和数学书连线;最后把小丽和品德与生活书连线。
板书：
师小结这种边阅读边推理边连线的方法我们称为连线法。（板书：连线法）指导连的时候先把人名写一行，空一行用于连线，再写出书名，接着开始边阅读推理边连线，边阅读边推理时都用到了直接推理法和排除法两种基本推理方法。引导比较连线法与边阅读边推理法。
生齐：一样有序、比边阅读边推理书写简洁。（板书：有序、简洁）
师：还有其他不一样的方法吗？（学生茫然）
师介绍对解决较难的推理问题非常有用的列表法。（板书：列表法）
师出示表格，讲解方法，与学生共同完成阅读推理及符号记录。引导比较列表法与连线法。
生齐：与连线法一样有序、简洁，比连线法更全面看出三个人否定拿哪些书。（板书：有序、简洁、全面）
师：正因为全面，所以列表法对解决一些较难的推理问题非常有用。
（5）总结提升，内化方法。
师：我们刚才解决问题用的几种推理方法都是从什么条件开始的？
生齐：小红拿的是语文书。
师：说明这个条件为关键条件。我们推理时一般先找到关键条件，由这个条件往往能直接得到一个结论，这个结论可以帮助我们进行下一步的推理，最终推导出结论。实际推理时，我们可以根据需要选择合适的方法，如平常口头表达时可以边阅读边推理，需要书写时可以用连线法和列表法推理，能让我们的推理过程更有序、全面、简洁，特别是解决较难的问题时，可以用列表法。只有做到有序、全面，才能保证推理结果的准确性。
在上述环节中，围绕要解决的问题，首先是自主尝试，给学生一个大的思维空间，学生采用独立思考、尝试、画图等方法，主动探索解决问题的方法。接着合作交流，同伴互助，发挥头脑风暴作用，初步建构问题解决的方法，并培养表达能力。又接着开展全班交流，汇报自己解决问题的过程、方法和结果，汇报完成后，适时组织有效评价，通过评价，配以比较，引导学生去除表象、掌握本质、建立模型。在开始的汇报与评价中学生掌握了推理中的直接推理法和巩固了排除法，及分析与解决问题的边阅读边推理法（综合法），学生体验、感悟了推理思想与步步逼近的思想;随着汇报与评价的深入，学生掌握了连线法（画图），体验、感悟了数形结合思想;最后在学生想不出列表法（列表尝试）时，借助老师的引导讲解，学生也掌握到对简化解决较难的推理问题非常实用的列表法，体验、感悟了简化的思想。学生在比较不同的方法特点后，体会到哪种方法更适合自己，为学生选择合适的解决问题的方法打下基础。最后是总结提升，再次体悟到方法之简单、价值，从而内化方法，建立系统的方法模型，使学生能在遇到相关实际问题时能灵活地、创造性使用方法模型来解决，也就是应用数学思想解决问题。
【教学片断三】应用方法，巩固拓展（略）
巩固拓展环节安排的练习要凸显数学思想方法的应用。因为这一环节是学生把所学到的知识一般化的过程，即运用所学知识解决相应问题的具体过程，是推理和应用模型的过程，也是学生知识深化和巩固的环节。我安排了基本练习、操作练习、拓展练习，基本练习重在巩固本课的重点方法——连线法，同时也不限制学生，可以选择适合自己的方法。操作练习融趣味性、实效性于一体，用意在于通过四人小组分角色进行推理，体会到模拟操作也是解决问题一种很直观、适用的方法，丰富学生的方法。拓展练习在于打破学生的思维定势，促使学生真正动脑思考，并能运用刚刚新课中学到的多种思想正确分析问题、解决问题。
教学实践证明，在小学“解决问题”的教学中，让学生经历问题解决的过程，在过程中掌握解决问题的方法，感悟数学思想，是提升学生后继解决问题的能力的重要举措。