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摘要：随着能源互联网的出现和智能电网的发展，使得电能供给与电能需求能够更紧密的联系，也促进了电力交易市场的信息化和智能化，用户根据自身需求在市场上进行出价与竞争，也更好的反映了电能的市场价值。本文结合智能电网下的电力交易市场，描述了多用户对电能竞争的一般场景与模型，从理论和算法上分析用户出价与市场调节的最优化问题，在给定的一般情况下，证明了存在一个纳什均衡，使得市场竞价能得到一个最终解的集合，实现用户竞争后的稳定解，同时给出了优化问题解的一个高效算法。
关键词： 能源互联网 智能电网 电力市场 纳什均衡 策略优化算法
Abstract：With the development of Energy Internet and Smart Grid， the supply and demand of electricity has become an important issue in Electricity Power Market. The Power Market becomes more and more innovated and intelligent with the help of Information Technology （IT）. Users in the Market can bid and sell efficiently thus reflect the true market value of the electricity power. This paper focus on the multiuser scenarios， analyze the optimization problem for users bidding theoretically and propose a Nash Equilibrium under some conditions. It can be shown that under this Nash Equilibrium， the market bidding strategies for all users are stable. Also， it can be achieved very quickly with the help of computing capabilities.
Key Words：Smart Grid， Power Market， Nash Equilibrium， Optimal Analysis
1.能源互聯网与电力交易市场
电力交易市场是能源互联网在电能交易方面的一个集中而深度的体现，利用信息技术，将不同时段不同地点甚至经过不同电力网络传输的电能呈现出来[1][2][3][4]。同时，在这一交易平台上，多个不同类型不同需求的用户参与一起进行交易，共享所有公开透明的信息[5][6]。能源互联网下的电力交易市场也需要整合各项服务能力，统一高效地提供给用户（见图1）。这些突出的特点，给用户提供更全面、更优质、更快捷的优质服务[7][8]。
多用户竞争是电力交易市场的典型场景，在用户不断调整竞价策略的同时，也反映了所竞争的电能的市场价值。一方面，市场希望尽可能满足所有用户综合的效益最好，这就出现了帕累托最优点（Pareto Optimum）的问题，从理论上，在该点上，全体用户的总体效益是最好的;另一方面，每个用户又都是经济学上的自私者，都希望获取自己最大的利益，在一定情况下，如本文所示，多用户的竞争会出现纳什均衡（Nash Equilibrium）。本文所讨论的纳什均衡点，当其他用户不改变策略时，单一用户无法通过改变自身的策略来获得更好的价值，也即不会出现帕累托改进（Pareto Improvement）。
2. 多用户竞争条件下的电力交易模型
在一个电力交易市场中，市场将供需结合，为用户提供不同时段不同SLA保障等级的电能供应，而用户对不同时段不同SLA保障等级的电能需求迫切程度又是不一样的，往往以一个效益函数来评估。我们考虑电力市场上有个用户，不同的类型的电能供应有份，每个用户都可以对所有电能进行出价竞争。
我们定义集合 。为了分析不失一般性，我们选取第个用户作为分析对象，其中。定义第个用户对第份电能所得到的为，我们定义集合，此集合表示第个用户所得到的的电能。我们考虑第个用户第份电能的效益函数为。根据效益函数的一般定义，在一般情况下，效益函数为凹函数，一阶倒数大于等于0而二阶倒数小于等于0。我们同时得出第个用户总体效益函数为，由于用户的出价能力有限，无法对所有电能供应无限制的进行出价竞争，故我们同时有以下的约束条件：
其中代表了第个用户对第份电能最大获取份额，也体现了对此份电能最大的竞价能力，可以看出是给定参数，是该用户对所有电能竞价给出的最大可用数值，也即体现了该用户总的最大竞价能力，为了使分析更具备一般性，我们假设每个用户的对每份电能最大竞价约束都是一样的，由于此参数是一个给定的常数，也可以看到，即使不同的用户有不同最大竞价能力，本质上也不影响最后的分析结果。
由此，对于第个用户的电能获取情况，用户希望自身的效益最大化，我们有以下的优化问题：
我们也可以看到，当给定其他参数时，目标函数是凹函数，也即目标是最大化凹函数，同时约束条件满足凸函数条件，该优化问题可以认为是一个凸函数优化问题（Convex Optimization）。同时，为了方便表示，我们可以认为集合代表约束条件，则有以下：
因此，仅对单一用户而言，电能竞价优化问题的解，就转变成对效益函数最大化问题的解。根据凸函数优化的理论[9][10]，当给定其他参数时，可以利用Karush-Kuhn-Tucker 条件（KKT conditions）进行求解，从而得出最优解。 3. 基于纳什均衡的优化分析
3.1 单用户最大效益的优化分析
我们可以看到，当其他用户给定竞争策略时，也即其他条件不发生变化时，对于第个用户，整个优化问题就是一个凸函数优化。一般地，可以利用拉格朗日方程（Lagrange Multiplier）如下：
根据凸函数优化的理论分析，当满足Karush-Kuhn-Tucker 条件（KKT condition）时，可以寻找到最优解[9][10]。我们解析该优化问题的KKT条件满足式如下：
我们可以看到，KKT条件的解是比较复杂的，这里面涉及到复杂的迭代计算，且可以制定有效的算法进行。同时，当给定参数计算KKT条件的解时，需要电能计算结果没有下发，需要等待该结果。而当有客户退出或者新增时，又必须再次计算KKT条件，对此种常见的场景应用需要设计快速计算，从而实现快速平稳的电能供应控制的最佳结果。
3.2 多用户的纳什均衡分析
我们可以看到，当给定所有其他参数时，单一用户的优化问题可以利用优化理论给出最优解，然而，市场是多用户的参与，其他用户的策略与电能获取情况，会影响第个用户的结果。我们再次回顾第个用户的总体效益函数。
其中，代表除了第个用户以外其他所有用户对于第份电能的获取情况。从上可以看出，每个用户的效益函数里，还包含了其他用户的电能获取情况，而这个在市场竞价时却是会发生变化的，而不是一成不變的。因此，第个用户的策略将受到其他用户策略的影响，而第个用户的策略也会影响到其他用户的决策。这就形成了一个典型的多用户在资源有限约束条件下的竞争场景。在一般情况下，我们可以看到，市场中存在一个纳什均衡
定理：在一般情况下，系统函数与模型如文中所述，市场中存在一个纳什均衡，使得每个用户都达到一个稳定解而不会再改变。假设对于第个用户的解为，则效益函数可表示为
其中表示其他用户的稳定解。
证明：根据纳什均衡理论，最大化函数是一个对于的凸函数，而且约束条件也是一个凹函数集合，并且约束条件与其他用户的解不相关，满足纳什均衡理论[11][12]，故可证明存在一个纳什均衡，使得用户的解达到稳定。
我们从上也可以看出，每个用户的解都依赖于其他用户的结果，也就使得求最优化解的过程是一个不断迭代的过程，这个迭代过程体现在用户与用户之间进行。一个用户接着一个用户更新自己的策略，直到最后到达稳定解，而我们已经看到该稳定解就是多用户的纳什均衡。
我们对多用户之间的迭代过程，给出一个算法
Step1：对于每个用户，在给定参数和其他用户策略的情况下，优化自己的策略。不失一般性，我们考虑第个用户，第个用户更新自己的策略相当于求解一个自身的最优化问题（如前所述）。
Step2：每个用户逐一更新自己的策略，不断反复，实现一个迭代的过程。
Step3：根据纳什均衡，最终结果会收敛，按照一般计算的精度要求，当用户发现自己策略的解收敛后，不再更新，达到稳定态，则稳定的解集就是最终结果。
总结
随着能源互联网的出现和智能电网的发展，电能供给与电能需求实现了更紧密的联系，也促进了电力交易市场的信息化和智能化，也突出了电力交易市场的重要性。电力交易市场存在多用户，每个用户根据自身需求在市场上进行出价与竞争，也更好的反映了电能的市场价值。本文结合智能电网下的电力交易市场，针对多用户对电能竞争的一般场景，从理论和算法上分析用户出价与市场调节的最优化问题，同时也证明在一般条件下存在一个纳什均衡，使得市场竞价能得到一个最终解的集合，实现市场稳定，同时，该分析也说明了以上过程能够在系统支持下自动实现。
参考文献 ：
[1].崔文静，能源互联网，电气时代，2012.
[2].董朝阳，赵俊华，福拴，薛禹胜，从智能电网到能源互联网：基本概念与研究框架，电力系统自动化，2014（15）
[3].谢开，刘永奇，朱治中，于尔铿，面向未来的智能电网，中国电力，2008， 41（6）
[4].张文亮，刘壮志，王明俊，杨旭升，智能电网的研究进展与发展趋势，电网技术，2009，vol.13， pp.1-11
[5].钟金，郑睿敏，杨卫红，吴复立，建设信息时代的智能电网，电网技术，2009，vol.13
[6].H.Farhangi， The Path of the Smart Grid， IEEE Power and Energy Magazine， 8（1）：18-28，2010
[7].H.Gharavi and R.Ghafurian， Smart Grid： The Electric Energy System of the Future， Proceedings of the IEEE， 99（6）：917-921， 2011
[8].A.Bose， Smart Transmission Grid Applications and Their Supporting Infrastructure， IEEE Transaction on Smart Grid， 1（1）：11-19， 2010
[9].Boyd， S and L.Vandenberghe， Convex Optimization. Cambridge University Press， 2004
[10].Y.Nesterov， “Primal-dual Subgradient Methods for Convex Problems”， Mathematical Programming，vol.120，no.1，pp.221-259，June.2007
[11].Facchinei，F.，&Kanzow，C， Generalized Nash Equilibrium Problems. 4OR，5，173-210，2007
[12].Fudenberg， D.，&Tirole，J. Game Theory， Cambridge： MIT Press，1991
关键词： 能源互联网 智能电网 电力市场 纳什均衡 策略优化算法
Abstract：With the development of Energy Internet and Smart Grid， the supply and demand of electricity has become an important issue in Electricity Power Market. The Power Market becomes more and more innovated and intelligent with the help of Information Technology （IT）. Users in the Market can bid and sell efficiently thus reflect the true market value of the electricity power. This paper focus on the multiuser scenarios， analyze the optimization problem for users bidding theoretically and propose a Nash Equilibrium under some conditions. It can be shown that under this Nash Equilibrium， the market bidding strategies for all users are stable. Also， it can be achieved very quickly with the help of computing capabilities.
Key Words：Smart Grid， Power Market， Nash Equilibrium， Optimal Analysis
1.能源互聯网与电力交易市场
电力交易市场是能源互联网在电能交易方面的一个集中而深度的体现，利用信息技术，将不同时段不同地点甚至经过不同电力网络传输的电能呈现出来[1][2][3][4]。同时，在这一交易平台上，多个不同类型不同需求的用户参与一起进行交易，共享所有公开透明的信息[5][6]。能源互联网下的电力交易市场也需要整合各项服务能力，统一高效地提供给用户（见图1）。这些突出的特点，给用户提供更全面、更优质、更快捷的优质服务[7][8]。
多用户竞争是电力交易市场的典型场景，在用户不断调整竞价策略的同时，也反映了所竞争的电能的市场价值。一方面，市场希望尽可能满足所有用户综合的效益最好，这就出现了帕累托最优点（Pareto Optimum）的问题，从理论上，在该点上，全体用户的总体效益是最好的;另一方面，每个用户又都是经济学上的自私者，都希望获取自己最大的利益，在一定情况下，如本文所示，多用户的竞争会出现纳什均衡（Nash Equilibrium）。本文所讨论的纳什均衡点，当其他用户不改变策略时，单一用户无法通过改变自身的策略来获得更好的价值，也即不会出现帕累托改进（Pareto Improvement）。
2. 多用户竞争条件下的电力交易模型
在一个电力交易市场中，市场将供需结合，为用户提供不同时段不同SLA保障等级的电能供应，而用户对不同时段不同SLA保障等级的电能需求迫切程度又是不一样的，往往以一个效益函数来评估。我们考虑电力市场上有个用户，不同的类型的电能供应有份，每个用户都可以对所有电能进行出价竞争。
我们定义集合 。为了分析不失一般性，我们选取第个用户作为分析对象，其中。定义第个用户对第份电能所得到的为，我们定义集合，此集合表示第个用户所得到的的电能。我们考虑第个用户第份电能的效益函数为。根据效益函数的一般定义，在一般情况下，效益函数为凹函数，一阶倒数大于等于0而二阶倒数小于等于0。我们同时得出第个用户总体效益函数为，由于用户的出价能力有限，无法对所有电能供应无限制的进行出价竞争，故我们同时有以下的约束条件：
其中代表了第个用户对第份电能最大获取份额，也体现了对此份电能最大的竞价能力，可以看出是给定参数，是该用户对所有电能竞价给出的最大可用数值，也即体现了该用户总的最大竞价能力，为了使分析更具备一般性，我们假设每个用户的对每份电能最大竞价约束都是一样的，由于此参数是一个给定的常数，也可以看到，即使不同的用户有不同最大竞价能力，本质上也不影响最后的分析结果。
由此，对于第个用户的电能获取情况，用户希望自身的效益最大化，我们有以下的优化问题：
我们也可以看到，当给定其他参数时，目标函数是凹函数，也即目标是最大化凹函数，同时约束条件满足凸函数条件，该优化问题可以认为是一个凸函数优化问题（Convex Optimization）。同时，为了方便表示，我们可以认为集合代表约束条件，则有以下：
因此，仅对单一用户而言，电能竞价优化问题的解，就转变成对效益函数最大化问题的解。根据凸函数优化的理论[9][10]，当给定其他参数时，可以利用Karush-Kuhn-Tucker 条件（KKT conditions）进行求解，从而得出最优解。 3. 基于纳什均衡的优化分析
3.1 单用户最大效益的优化分析
我们可以看到，当其他用户给定竞争策略时，也即其他条件不发生变化时，对于第个用户，整个优化问题就是一个凸函数优化。一般地，可以利用拉格朗日方程（Lagrange Multiplier）如下：
根据凸函数优化的理论分析，当满足Karush-Kuhn-Tucker 条件（KKT condition）时，可以寻找到最优解[9][10]。我们解析该优化问题的KKT条件满足式如下：
我们可以看到，KKT条件的解是比较复杂的，这里面涉及到复杂的迭代计算，且可以制定有效的算法进行。同时，当给定参数计算KKT条件的解时，需要电能计算结果没有下发，需要等待该结果。而当有客户退出或者新增时，又必须再次计算KKT条件，对此种常见的场景应用需要设计快速计算，从而实现快速平稳的电能供应控制的最佳结果。
3.2 多用户的纳什均衡分析
我们可以看到，当给定所有其他参数时，单一用户的优化问题可以利用优化理论给出最优解，然而，市场是多用户的参与，其他用户的策略与电能获取情况，会影响第个用户的结果。我们再次回顾第个用户的总体效益函数。
其中，代表除了第个用户以外其他所有用户对于第份电能的获取情况。从上可以看出，每个用户的效益函数里，还包含了其他用户的电能获取情况，而这个在市场竞价时却是会发生变化的，而不是一成不變的。因此，第个用户的策略将受到其他用户策略的影响，而第个用户的策略也会影响到其他用户的决策。这就形成了一个典型的多用户在资源有限约束条件下的竞争场景。在一般情况下，我们可以看到，市场中存在一个纳什均衡
定理：在一般情况下，系统函数与模型如文中所述，市场中存在一个纳什均衡，使得每个用户都达到一个稳定解而不会再改变。假设对于第个用户的解为，则效益函数可表示为
其中表示其他用户的稳定解。
证明：根据纳什均衡理论，最大化函数是一个对于的凸函数，而且约束条件也是一个凹函数集合，并且约束条件与其他用户的解不相关，满足纳什均衡理论[11][12]，故可证明存在一个纳什均衡，使得用户的解达到稳定。
我们从上也可以看出，每个用户的解都依赖于其他用户的结果，也就使得求最优化解的过程是一个不断迭代的过程，这个迭代过程体现在用户与用户之间进行。一个用户接着一个用户更新自己的策略，直到最后到达稳定解，而我们已经看到该稳定解就是多用户的纳什均衡。
我们对多用户之间的迭代过程，给出一个算法
Step1：对于每个用户，在给定参数和其他用户策略的情况下，优化自己的策略。不失一般性，我们考虑第个用户，第个用户更新自己的策略相当于求解一个自身的最优化问题（如前所述）。
Step2：每个用户逐一更新自己的策略，不断反复，实现一个迭代的过程。
Step3：根据纳什均衡，最终结果会收敛，按照一般计算的精度要求，当用户发现自己策略的解收敛后，不再更新，达到稳定态，则稳定的解集就是最终结果。
总结
随着能源互联网的出现和智能电网的发展，电能供给与电能需求实现了更紧密的联系，也促进了电力交易市场的信息化和智能化，也突出了电力交易市场的重要性。电力交易市场存在多用户，每个用户根据自身需求在市场上进行出价与竞争，也更好的反映了电能的市场价值。本文结合智能电网下的电力交易市场，针对多用户对电能竞争的一般场景，从理论和算法上分析用户出价与市场调节的最优化问题，同时也证明在一般条件下存在一个纳什均衡，使得市场竞价能得到一个最终解的集合，实现市场稳定，同时，该分析也说明了以上过程能够在系统支持下自动实现。
参考文献 ：
[1].崔文静，能源互联网，电气时代，2012.
[2].董朝阳，赵俊华，福拴，薛禹胜，从智能电网到能源互联网：基本概念与研究框架，电力系统自动化，2014（15）
[3].谢开，刘永奇，朱治中，于尔铿，面向未来的智能电网，中国电力，2008， 41（6）
[4].张文亮，刘壮志，王明俊，杨旭升，智能电网的研究进展与发展趋势，电网技术，2009，vol.13， pp.1-11
[5].钟金，郑睿敏，杨卫红，吴复立，建设信息时代的智能电网，电网技术，2009，vol.13
[6].H.Farhangi， The Path of the Smart Grid， IEEE Power and Energy Magazine， 8（1）：18-28，2010
[7].H.Gharavi and R.Ghafurian， Smart Grid： The Electric Energy System of the Future， Proceedings of the IEEE， 99（6）：917-921， 2011
[8].A.Bose， Smart Transmission Grid Applications and Their Supporting Infrastructure， IEEE Transaction on Smart Grid， 1（1）：11-19， 2010
[9].Boyd， S and L.Vandenberghe， Convex Optimization. Cambridge University Press， 2004
[10].Y.Nesterov， “Primal-dual Subgradient Methods for Convex Problems”， Mathematical Programming，vol.120，no.1，pp.221-259，June.2007
[11].Facchinei，F.，&Kanzow，C， Generalized Nash Equilibrium Problems. 4OR，5，173-210，2007
[12].Fudenberg， D.，&Tirole，J. Game Theory， Cambridge： MIT Press，1991