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一、三棱锥的三视图还原问题
把三棱锥放入长方体内,该三棱锥的主视图就是其在长方体后侧面上的正投影,左视图是其在长方体右侧面上的正投影,俯视图是其在长方体下底面上的正投影。由三视图还原三棱锥时虽然几何体的形状易得,但线面关系却很容易出错。若构建长方体后再去处理,准确率可大大提高。
二、三棱锥的外接球问题
长方体对角线的中点必是其外接球的球心。由外接球球心到长方体八个顶点的距离相等且都为外接球半径R,易得长方体对角线即为其外接球的直径,2R=a2+b2+c2(a、b、c分别为长方体的长、宽、高,当a=b=c时,长方体特殊为正方体,2R=3a)。在解决三棱锥的外接球问题时,怎样的三棱锥适合还原到长方体呢?下面来看三种类型:
当所有棱长都相等时,三棱锥特殊为正四面体,若其棱长为a,则其外接球半径R=64a。
例4三棱锥A\|BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球表面積为。
分析:由题意此三棱锥对棱长相等,补形为长方体,其外接球半径R=262+52+524=432,S球=4πR2=43π。
作者单位:浙江省慈溪市龙山中学
把三棱锥放入长方体内,该三棱锥的主视图就是其在长方体后侧面上的正投影,左视图是其在长方体右侧面上的正投影,俯视图是其在长方体下底面上的正投影。由三视图还原三棱锥时虽然几何体的形状易得,但线面关系却很容易出错。若构建长方体后再去处理,准确率可大大提高。
二、三棱锥的外接球问题
长方体对角线的中点必是其外接球的球心。由外接球球心到长方体八个顶点的距离相等且都为外接球半径R,易得长方体对角线即为其外接球的直径,2R=a2+b2+c2(a、b、c分别为长方体的长、宽、高,当a=b=c时,长方体特殊为正方体,2R=3a)。在解决三棱锥的外接球问题时,怎样的三棱锥适合还原到长方体呢?下面来看三种类型:
当所有棱长都相等时,三棱锥特殊为正四面体,若其棱长为a,则其外接球半径R=64a。
例4三棱锥A\|BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球表面積为。
分析:由题意此三棱锥对棱长相等,补形为长方体,其外接球半径R=262+52+524=432,S球=4πR2=43π。
作者单位:浙江省慈溪市龙山中学