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摘要 数学开放题是时代发展的产物。本文首先介绍数学开放题的起源，阐述数学开放题在中国的发展历程;之后描述数学开放题的教育价值;最后从命题要素角度研究中考中的数学开放题，分析了开放题的特征和解题思路，为丰富和发展数学开放题提供参考。
关键词 数学开放题 创造思维 创新精神
数学开放题是日本学者最早提出的一种题型，英文名是“Open-Ended Problems”。如果数学题是一个系统{y，o，p，z}，y代表问题的条件、o代表问題的依据、p代表解决问题的策略、z代表问题的结论，在这四个元素中若有三个元素是未知的题称为问题性题、有两元素是未知的题称为探索性题，那么问题性题与探索性题统称为数学开放题。近年来，我国在结合“四基”“四能”和数学核心素养的教学中，设计了许多数学开放题。
一、数学开放题的起源
1971年以日本岛田茂为首的学者群体，首先共同探究了“开放式结尾（open-ended）问题”。1977年该专家组在研究报告《算术·数学课的开放式问题——改善教学的新方案》中第一次采用“数学开放题”这个概念，并推介“数学开放教学方法”。1980年第四届国际数学教育大会在美国伯克利召开，美国参会数学教育专家在大会讨论中慎重宣布20世纪80年代中学数学教学的核心是“问题解决”。自此，数学教育中的“问题解决”日益受到人们重视，而在“问题解决”教学中以数学开放题为载体，被广泛应用在美国的中小学数学教学中。1998年第一届东亚国际数学教育大会在韩国首尔举行，倡议借鉴开放题创建新的教学方式，帮助提高学生的创新能力与培养学生的主体精神。
1980年日本学者泽田利夫在《外国教育》发表了论文《从“未完结问题”提出的算术·数学课的教学的方案》，这是第一篇涉及数学开放题的文章出现在我国期刊上。1984年浙江教育学院的戴再平老师在三所学校测试数学开放题，结果表明数学基础知识和基本技能的简单累积和发展学生的创新思维没有必然的联系[1]。1988年王慧斌老师在《外国教育资料》发表了《数学教学的新方法——开智法简介》、王凝老师在《课程·教材·教法》发表了《中小学数学的开放性教学评介》。1990年胡林瑞老师对初中和高中学生进行数学开放题的比较教学实验。1993年戴再平老师又在浙江省的五所中学实施数学开放题的教学实验。1996年全国教育科学规划重点课题《开放题——数学教学的新模式》正式立项。开放题方法不唯一、答案多样化，能够发展学生的创造思维、培养学生的创新精神，这与1999年我国提出实施的新一轮基础教育课程改革理念一致，极大地推动了新课改。
二、数学开放题的价值
1.有利于培养学生学习数学的信心
数学开放题教学让学生经历问题解决过程，学生感到自己是一个探索者，能够激发学习的兴趣。由于无参考解决模式，探究过程多侧面，结果不唯一，所以学生的认知结构在研究中实现了重建，同时学生探究问题更接近思维的最近发展区，能促进更深入的思考。在宽松的学习环境里，点滴进步使学生不断累积成功的喜悦，内心深处将逐渐增强信心，对学生后续的学习与发展产生了积极的影响。教师的适时引导，启发学生大胆质疑、猜测，学生的被动地位彻底颠覆，学生的主体性得到了完全的展示，从而培养了学习数学的信心。
2.有利于提高学生的探究能力
数学开放题教学能做到知识纵横贯通，思维或发散或收敛，是提高学生数学能力、培养学生数学核心素养的有效方式。在教学中，既有原始的感性思维，也有抽象的理性思维，更重要的是发展了批判思维。有了批判思维，在学习中学生能够自觉地思考一切可能的情况，不断探索，不断否定，去伪存真，就能获得独特的解决问题方案。同时在问题解决中能够再引出新问题，得出更一般的结论。数学开放题教学提供了学生交流、共享智慧的合作平台，使知识的接受过程变为知识的共生共长过程。在这种学习氛围中，实现了各种思想的碰撞，这是增强学生创造力、提高学生探究能力的重要途径[2]。
3.有利于促进学生形成创新意识
创新是一个民族进步的灵魂，是国家发展的不竭动力。数学开放题教学不完全告诉学生问题的条件、结论或方法，要求学生借鉴多种方式如观察、猜想、分析、归纳、论证等，自己得出条件、结论或方法。数学开放题教学，引导学生从不同角度掌握、应用数学知识，主动搭建知识之间的网络关系，这样在面对复杂问题时更容易激活数学思维。数学开放题激发了学生的求知欲，发展了学生的发散性思维，从而形成了学生的创新意识。开放题教学还要求根据已解决、未解决的问题，再提出新问题，对新问题的进一步探索，培养了学生的创新精神。
三、数学开放题的类型及运用
根据分类标准的差异，数学开放题有不同的类型。从命题要素角度，可以分为条件开放型、结论开放型、方法开放型、综合型。从内容角度，可以分为数与式开放题、函数开放题、几何开放题、综合性开放题。不管如何分类，数学开放题都有显著的特征，如条件的不完备性、过程的探究性、解决的层次性、思维的发散性等。
2000年教育部发布《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》，指出编制数学试题要求有“开放性问题”，于是开放题在各地中考中成为必考试题[3]。现在从命题要素角度以近几年中考数学开放题为例，分析各类开放题的特征及解题思路。
1.条件开放型
确定问题结论，让学生分析要推出此结论成立需要满足的条件，而结论成立的条件又有多种，此类题是条件开放型试题，这类开放题多以填空题形式出现。
例1 已知四边形ABCD是平行四边形，若点E在边BC上、点F在边AD上，连接AE、CF，请从三个备选条件中，选择一个恰当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD。选择添加的条件是：__________。 分析：首先根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，还有AF∥CE，要使四边形AECF是平行四边形，探索还需要添加一个给定的条件。结合显性和隐性条件，然后分三种情况讨论能否推理出四边形AECF是平行四边形。
点评：本题利用了分析综合等数学思想方法，能够提高学生分析问题和解决问题的能力[4]。
解条件开放型题的一般思路是：从已知结论开始，执果索因，探寻条件，不断筛选，最终得到符合要求的条件，这是一种分析型思维方式。
2.结论开放型
给出问题的条件，让学生根据条件研究可能推出的所有结论，并且可能的结论是多样的，此类题是结论开放型，这类开放题多是解答题。
例2 如图1，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连接PA，PB构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角。
（I）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC ∠PBD;
（II）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC ∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？
（III）当动点P落在第③部分时，全面探究∠APB，∠PAC，∠PBD之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明。
分析：要确定给定的三个角的数量关系，显然要根据平行的性质先找出其中任意两个角或部分角的数量关系，再通过纯粹数学运算确定这三个角的数量关系。可以直接利用已有的平行关系，也可以再构造平行分割角去解决。问题（I）和（II）比较简单，为后面的问题奠定了基础。关键是问题（III），要先确定一个讨论标准，保证能够涉及所有情况，既不重复，也不遗漏，如图2。
点评：本题利用了类比归纳等数学思想方法，可以培养学生的发散性思维，提高学生的抽象概括能力。
解结论开放型题的一般思路是：观察、分类、归纳，全面研究各种可能情况，最后再论证给出判断，属于类比归纳型思维方式。
3.方法开放型
思维方式与解决办法不唯一，此类题是方法开放型，这类开放题一般出现在阅读题中。
例3请你创作一个故事情境，故事中出现的一对变量x、y满足图3的关系，要求：
（I）说明变量x和y的含义;
（II）根据图3中的数据描述这对变量变化过程的实际意义，需要涉及“速度”这个量。
分析：首先观察图象，通过数据分析，可以得到整个过程分三阶段。第一阶段y随x均匀增加，第二阶段y稳定不变，第三阶段y随x均匀减少。然后结合实际问题给出变量x和y的含义。最后由于要涉及“速度”这个量，充分直观想象只要准确描述时间及路程的变化关系即可。
点评：本题利用了数形结合等数学思想方法。对于此类问题，要求学生思维敏捷，叙述要准确，符合生活现实。
解方法开放型题的一般思路是：理解题意，分析、想象和选择，结合生活经验，使数学模型合理化和最优化，这是一种发散型思维方式。
4.综合型
条件、结论、方法中至少有两项不确定，需要学生根据给定的信息，按照题目具体要求进行解答，此类题是综合型。这类问题往往仅提供较少的条件，需要完善条件，设计结论，并要求论证。
例4如图4，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。
（I）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题;
（II）选择（I）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。
分析：要分类讨论。如果①②，那么③，命题成立;如果①③，那么②，命題成立;如果②和③，那么①，是假命题。
点评：此题利用了分类讨论等数学思想方法，体现了数学严密的逻辑性这一重要特征。
解综合型题的一般思路是：掌握关键点，积极发散思维，不断优化思路和方法，这是一种综合型思维方式。
简单的题型和单一的测试目标约束了学生的思维，阻碍了学生的发展，开放题是时代发展的产物。解数学开放题时，要进行观察、分类、抽象、归纳，猜测条件、结论或方法，再推理论证，得到结果;要运用分析综合、数形结合、分类讨论、数学模型等数学思想方法[5]。数学开放题作为具有时代特征的新题型，它代表着一种新的教学发展方向，可以发展学生的创造思维、培养学生的数学核心素养、养成学生的创新精神。
参考文献
[1] 戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社，1996.
[2] 张俊忠.数学史融入初中数学教育的研究[D].武汉：华中师范大学，2015.
[3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2011.
[4] 克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，2009.
[5] 张奠宙，宋乃庆.数学教育学概论[M].北京：高等教育出版社，2016.【责任编辑
关键词 数学开放题 创造思维 创新精神
数学开放题是日本学者最早提出的一种题型，英文名是“Open-Ended Problems”。如果数学题是一个系统{y，o，p，z}，y代表问题的条件、o代表问題的依据、p代表解决问题的策略、z代表问题的结论，在这四个元素中若有三个元素是未知的题称为问题性题、有两元素是未知的题称为探索性题，那么问题性题与探索性题统称为数学开放题。近年来，我国在结合“四基”“四能”和数学核心素养的教学中，设计了许多数学开放题。
一、数学开放题的起源
1971年以日本岛田茂为首的学者群体，首先共同探究了“开放式结尾（open-ended）问题”。1977年该专家组在研究报告《算术·数学课的开放式问题——改善教学的新方案》中第一次采用“数学开放题”这个概念，并推介“数学开放教学方法”。1980年第四届国际数学教育大会在美国伯克利召开，美国参会数学教育专家在大会讨论中慎重宣布20世纪80年代中学数学教学的核心是“问题解决”。自此，数学教育中的“问题解决”日益受到人们重视，而在“问题解决”教学中以数学开放题为载体，被广泛应用在美国的中小学数学教学中。1998年第一届东亚国际数学教育大会在韩国首尔举行，倡议借鉴开放题创建新的教学方式，帮助提高学生的创新能力与培养学生的主体精神。
1980年日本学者泽田利夫在《外国教育》发表了论文《从“未完结问题”提出的算术·数学课的教学的方案》，这是第一篇涉及数学开放题的文章出现在我国期刊上。1984年浙江教育学院的戴再平老师在三所学校测试数学开放题，结果表明数学基础知识和基本技能的简单累积和发展学生的创新思维没有必然的联系[1]。1988年王慧斌老师在《外国教育资料》发表了《数学教学的新方法——开智法简介》、王凝老师在《课程·教材·教法》发表了《中小学数学的开放性教学评介》。1990年胡林瑞老师对初中和高中学生进行数学开放题的比较教学实验。1993年戴再平老师又在浙江省的五所中学实施数学开放题的教学实验。1996年全国教育科学规划重点课题《开放题——数学教学的新模式》正式立项。开放题方法不唯一、答案多样化，能够发展学生的创造思维、培养学生的创新精神，这与1999年我国提出实施的新一轮基础教育课程改革理念一致，极大地推动了新课改。
二、数学开放题的价值
1.有利于培养学生学习数学的信心
数学开放题教学让学生经历问题解决过程，学生感到自己是一个探索者，能够激发学习的兴趣。由于无参考解决模式，探究过程多侧面，结果不唯一，所以学生的认知结构在研究中实现了重建，同时学生探究问题更接近思维的最近发展区，能促进更深入的思考。在宽松的学习环境里，点滴进步使学生不断累积成功的喜悦，内心深处将逐渐增强信心，对学生后续的学习与发展产生了积极的影响。教师的适时引导，启发学生大胆质疑、猜测，学生的被动地位彻底颠覆，学生的主体性得到了完全的展示，从而培养了学习数学的信心。
2.有利于提高学生的探究能力
数学开放题教学能做到知识纵横贯通，思维或发散或收敛，是提高学生数学能力、培养学生数学核心素养的有效方式。在教学中，既有原始的感性思维，也有抽象的理性思维，更重要的是发展了批判思维。有了批判思维，在学习中学生能够自觉地思考一切可能的情况，不断探索，不断否定，去伪存真，就能获得独特的解决问题方案。同时在问题解决中能够再引出新问题，得出更一般的结论。数学开放题教学提供了学生交流、共享智慧的合作平台，使知识的接受过程变为知识的共生共长过程。在这种学习氛围中，实现了各种思想的碰撞，这是增强学生创造力、提高学生探究能力的重要途径[2]。
3.有利于促进学生形成创新意识
创新是一个民族进步的灵魂，是国家发展的不竭动力。数学开放题教学不完全告诉学生问题的条件、结论或方法，要求学生借鉴多种方式如观察、猜想、分析、归纳、论证等，自己得出条件、结论或方法。数学开放题教学，引导学生从不同角度掌握、应用数学知识，主动搭建知识之间的网络关系，这样在面对复杂问题时更容易激活数学思维。数学开放题激发了学生的求知欲，发展了学生的发散性思维，从而形成了学生的创新意识。开放题教学还要求根据已解决、未解决的问题，再提出新问题，对新问题的进一步探索，培养了学生的创新精神。
三、数学开放题的类型及运用
根据分类标准的差异，数学开放题有不同的类型。从命题要素角度，可以分为条件开放型、结论开放型、方法开放型、综合型。从内容角度，可以分为数与式开放题、函数开放题、几何开放题、综合性开放题。不管如何分类，数学开放题都有显著的特征，如条件的不完备性、过程的探究性、解决的层次性、思维的发散性等。
2000年教育部发布《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》，指出编制数学试题要求有“开放性问题”，于是开放题在各地中考中成为必考试题[3]。现在从命题要素角度以近几年中考数学开放题为例，分析各类开放题的特征及解题思路。
1.条件开放型
确定问题结论，让学生分析要推出此结论成立需要满足的条件，而结论成立的条件又有多种，此类题是条件开放型试题，这类开放题多以填空题形式出现。
例1 已知四边形ABCD是平行四边形，若点E在边BC上、点F在边AD上，连接AE、CF，请从三个备选条件中，选择一个恰当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD。选择添加的条件是：__________。 分析：首先根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，还有AF∥CE，要使四边形AECF是平行四边形，探索还需要添加一个给定的条件。结合显性和隐性条件，然后分三种情况讨论能否推理出四边形AECF是平行四边形。
点评：本题利用了分析综合等数学思想方法，能够提高学生分析问题和解决问题的能力[4]。
解条件开放型题的一般思路是：从已知结论开始，执果索因，探寻条件，不断筛选，最终得到符合要求的条件，这是一种分析型思维方式。
2.结论开放型
给出问题的条件，让学生根据条件研究可能推出的所有结论，并且可能的结论是多样的，此类题是结论开放型，这类开放题多是解答题。
例2 如图1，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连接PA，PB构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角。
（I）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC ∠PBD;
（II）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC ∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？
（III）当动点P落在第③部分时，全面探究∠APB，∠PAC，∠PBD之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明。
分析：要确定给定的三个角的数量关系，显然要根据平行的性质先找出其中任意两个角或部分角的数量关系，再通过纯粹数学运算确定这三个角的数量关系。可以直接利用已有的平行关系，也可以再构造平行分割角去解决。问题（I）和（II）比较简单，为后面的问题奠定了基础。关键是问题（III），要先确定一个讨论标准，保证能够涉及所有情况，既不重复，也不遗漏，如图2。
点评：本题利用了类比归纳等数学思想方法，可以培养学生的发散性思维，提高学生的抽象概括能力。
解结论开放型题的一般思路是：观察、分类、归纳，全面研究各种可能情况，最后再论证给出判断，属于类比归纳型思维方式。
3.方法开放型
思维方式与解决办法不唯一，此类题是方法开放型，这类开放题一般出现在阅读题中。
例3请你创作一个故事情境，故事中出现的一对变量x、y满足图3的关系，要求：
（I）说明变量x和y的含义;
（II）根据图3中的数据描述这对变量变化过程的实际意义，需要涉及“速度”这个量。
分析：首先观察图象，通过数据分析，可以得到整个过程分三阶段。第一阶段y随x均匀增加，第二阶段y稳定不变，第三阶段y随x均匀减少。然后结合实际问题给出变量x和y的含义。最后由于要涉及“速度”这个量，充分直观想象只要准确描述时间及路程的变化关系即可。
点评：本题利用了数形结合等数学思想方法。对于此类问题，要求学生思维敏捷，叙述要准确，符合生活现实。
解方法开放型题的一般思路是：理解题意，分析、想象和选择，结合生活经验，使数学模型合理化和最优化，这是一种发散型思维方式。
4.综合型
条件、结论、方法中至少有两项不确定，需要学生根据给定的信息，按照题目具体要求进行解答，此类题是综合型。这类问题往往仅提供较少的条件，需要完善条件，设计结论，并要求论证。
例4如图4，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。
（I）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题;
（II）选择（I）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。
分析：要分类讨论。如果①②，那么③，命题成立;如果①③，那么②，命題成立;如果②和③，那么①，是假命题。
点评：此题利用了分类讨论等数学思想方法，体现了数学严密的逻辑性这一重要特征。
解综合型题的一般思路是：掌握关键点，积极发散思维，不断优化思路和方法，这是一种综合型思维方式。
简单的题型和单一的测试目标约束了学生的思维，阻碍了学生的发展，开放题是时代发展的产物。解数学开放题时，要进行观察、分类、抽象、归纳，猜测条件、结论或方法，再推理论证，得到结果;要运用分析综合、数形结合、分类讨论、数学模型等数学思想方法[5]。数学开放题作为具有时代特征的新题型，它代表着一种新的教学发展方向，可以发展学生的创造思维、培养学生的数学核心素养、养成学生的创新精神。
参考文献
[1] 戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社，1996.
[2] 张俊忠.数学史融入初中数学教育的研究[D].武汉：华中师范大学，2015.
[3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2011.
[4] 克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，2009.
[5] 张奠宙，宋乃庆.数学教育学概论[M].北京：高等教育出版社，2016.【责任编辑