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集合是历年高考的必考内容之一,通常以一个填空题的形式出现;主要考查集合的有关概念,集合的三种语言及相互转化,集合的交、并、补运算,集合思想的理解和应用.这种考查方式会持续保持稳定.
解决集合问题,应力求做到“三化”.
(1) 意义化:即首先分清集合的类型,是表示数集、点集、方程集、不等式集,还是某类图形?是表示函数的自变量的取值范围,还是因变量的取值范围,还是表示方程或不等式的解集?
(2) 具体化:具体求出相关集合中函数的自变量的取值范围、因变量的取值范围或方程、不等式的解集等.不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式.
(3) 直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来,从而借助数形结合思想解决问题.
(一) 灵活运用集合的特征
集合具有确定性、互异性、无序性的三个特征,在求集合中字母的值时,常常需要检验求出的字母的值是否能满足集合的三个特征.
【例1】 设集合A=a,a+b,a+2b,
B=a,ac,ac2,且A=B,求实数c的值.
分析 欲求c值,可列关于c的方程或方程组,根据两集合相等的意义及集合元素的互异性,有下面两种情况:(1) a+b=ac且a+2b=ac2,(2) a+b=ac2且a+2b=ac.
解法 (1) 联立a+b=ac,a+2b=ac2,消去b得a+ac2-2ac=0.当a=0时,集合B中三元素均为零,不符合集合互异性舍去;当c2-2c+1=0,即c=1,此时B中的三个元素也相同,舍去,所以无解.
(2) a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得2ac2-ac-a=0.当a=0时,集合B中三元素均为零,舍去;当2c2-c-1=0,即c=1或c=-12时,因为c=1时,集合B中的三个元素也相同,舍去.所以,符合条件的只有c=-12.
点评 两集合相等的意义是两集合中的元素都相同,在求集合中元素字母的值时,可能产生与确定性或互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验,去伪存真.
【例2】 已知含有三个实数的集合既可表示为a,ba,1,也可表示为a2,a+b,0,
求a2 011+b2 012的值.
分析 解决这个问题,应该从两个集合的相等入手进行分类求解,同时考虑特殊元素“0”.
解法 由集合中的元素确定性,得
a,ba,1=a2,a+b,0 ①
从而有0∈a,ba,1,∵a≠0,∴ba=0,∴b=0.将b=0代入①得
a,0,1=a2,a,0 ②
由②易知a2=1,即a=±1.当a=1时,与集合中元素互异性不符,
∴a=-1,b=0.故a2 011+b2 012=-1.
点评 本题考查集合中元素的三个特征,如果不注意特殊元素“0”,将需要解6个方程组,相当麻烦,不注意验证,就会得到a=1.
(二) 正确使用集合的符号
学习集合必须抓住“元素”这个关键.集合是由元素确定的,子集、交集、并集、补集、空集等也都是通过元素来定义的,集合的性质说的就是元素的特性,集合的分类与表示方法等亦都是通过元素来刻画的,遇到集合的问题,首先要弄清“代表元素是什么”.
【例3】 设P=yy=x2,x∈R,
Q=yy=2-x,x∈R,求P∩Q.
分析 欲求两数集的交集,可先根据代表元素求出具体的集合,再画数轴求出交集.
解法 由于P=yy≥0,Q=yy≤2,所以P∩Q=y0≤y≤2.
点评 要注意分清xy=f(x),
{y|y=f(x)},(x,y)y=f(x)元素的区别,集合xy=f(x)的元素是函数y=f(x)的定义域中x的取值,集合yy=f(x)的元素是函数y=f(x)的值域中y的取值,而集合
{(x,y)|y=f(x)}的元素是函数y=f(x)的图像上的点的坐标.显然,三者有本质的区别.
(三) 时刻关注空集的特性
空集是一个特殊而又十分重要的集合,解题中它肩负着特殊的使命.由于它藏而不露,所以也是个极易被遗忘的角落,忽视空集的特殊性往往会导致错解.在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.
【例4】 已知集合A=x|x2-5x+6=0,B=x|mx+1=0,且BA,求实数m的值.
分析 BA包含B=和B≠两种情况,因此需要分B=和B≠讨论求解.
解法 若B=,则方程mx+1=0无解,即m=0,若B≠,则由A=2,3知
B=2或B=3,
代入解得m=-12,-13,
综上所述,实数m的值有0,-12,-13.
点评 忘记B=的情况,就会“缩小”解的范围.
【例5】 设集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B=x2x2-ax+2=0,x∈R,
若A∪B=A,求a的值组成的集合.
分析 对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的集合,再根据已知条件求参数.
解法 由A∪B=A得BA,所以B有可能为,即Δ=a2-16<0,∴-4 因为A=1,2,
将x=1代入方程2x2-ax+2=0得a=4,此时B=1,符合题意;
将x=2代入方程2x2-ax+2=0得a=5,此时B=2,12,不符合题意,应舍去.
所以a的值组成的集合为a|a=4.
综上,a的值组成的集合为a|-4 点评 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互联系,注意分类讨论、数形结合思想的应用,还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系,在解题中漏掉它极易导致错解.
(四) 充分利用思想与方法
对于集合的问题,如果能利用数形结合求解,往往显得简单易行.离散数集或抽象集合间的运算常常借助于韦恩图求解,当集合中的元素的属性是由不等式确定时,那么就可以考虑利用数轴进行求解,因为将确定各个集合的不等式表示在数轴上,集合间的相互关系得到直观显现.
几何无王者之道!—欧几里得
【例6】 若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},求能使AA∩B成立的a的取值集合.
分析 由条件得到AB,然后画数轴解决问题.
解法 ∵A∩BA,AA∩B,
∴A∩B=A,
∴AB.
由题意画出数轴(如图所示),
则符合条件的a满足2a+1≤3a-5,2a+1≥3,3a-5≤22.解得6≤a≤9.
点评 在求参数的取值范围时,要注意端点取值,必要时等号是否成立可单独考察.
(五) 合理运用补集的思想
解决补集问题时,首先要弄清楚全集是什么,因为全集是相对的,同一集合在不同全集中的补集是不同的.
【例7】 已知集合A={x|x2+3x-18>0},B=x|(x-k)(x-k-1)≤0,若A∩B≠,求k的取值范围.
分析 先求出集合A,再通过数轴解决A∩B=的情况,最后用补集的思想解题.
解法 由已知可得A=x|x>3或x<-6,B=x|k≤x≤k+1.
若A∩B=,则k≥-6,k+1≤3.即-6≤k≤2;
令P=k|-6≤k≤2,则
瘙 綂 RP={k|k<-6或k>2}.
∴当k<-6或k>2时,A∩B≠.
点评 A∩B≠的反面是A∩B=,求A∩B≠困难时,可考虑求其反面,“正难则反”是一种重要的解题策略.
牛刀小试
1. 设全集S=2,3,a2+2a-3,A={|2a-1|,2},
瘙 綂 SA=5,则a的值为.
2. 设集合A=1,2,3,4,5,6,B={4,5,6,7,8},则满足SA且S∩B≠的集合S的个数为.
3. 已知A=x∈Rx<-1,或x>4,
B=x∈R2a≤x≤a+3,若A∪B=A,求实数a的取值范围.
4. 设A=x∈Rx2+x-a=0,a<-14,
B=y∈R|y=x-2 012+2 012-x,试判断集合A,B之间的关系.
5. 设全集U=R,函数f(x)=lg(|x+1|+a-1)(a<1)的定义域为A,
集合B={x|cosπx=1},若(
瘙 綂 UA)∩B恰好有2个元素,求a的取值范围.
【参考答案】
1. 2 提示:由已知a2+2a-3=5,解得a=2或-4,代入A检验,-4舍去,所以a=2.
2. 56 提示:A的子集个数为26=64个,其中与B相交为空集的有23=8个,所以满足题意的S的个数为64-8=56个.
3. 由已知得BA,①当B=时,由2a>a+3,解得a>3;
②当B≠时,由2a>4,2a≤a+3. 或a+3<-1,2a≤a+3.
得2 ∴综上可知,实数a的取值范围是a<-4或a>2.
4. 当a<-14时,方程x2+x-a=0的根的判别式Δ=1+4a<0,
所以方程x2+x-a=0无实根,即A=.
由x-2012≥0,2012-x≥0.得x=2012,此时y=x-2012+2012-x=0,即B=0≠,
综上可知,集合A,B之间的关系是AB.
5. 由cosπx=1,πx=2kπ,∴x=2k(k∈Z),得B={x|x=2k,k∈Z}.
又|x+1|+a-1>0|x+1|>1-a,
又a<1,1-a>0,∴x>-a或x ∴A=(-∞,a-2)∪(-a,+∞),
=[a-2,-a],又由(
UA)∩B恰好有2个元素,所以a<1,a≤-a<2,-4
解决集合问题,应力求做到“三化”.
(1) 意义化:即首先分清集合的类型,是表示数集、点集、方程集、不等式集,还是某类图形?是表示函数的自变量的取值范围,还是因变量的取值范围,还是表示方程或不等式的解集?
(2) 具体化:具体求出相关集合中函数的自变量的取值范围、因变量的取值范围或方程、不等式的解集等.不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式.
(3) 直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来,从而借助数形结合思想解决问题.
(一) 灵活运用集合的特征
集合具有确定性、互异性、无序性的三个特征,在求集合中字母的值时,常常需要检验求出的字母的值是否能满足集合的三个特征.
【例1】 设集合A=a,a+b,a+2b,
B=a,ac,ac2,且A=B,求实数c的值.
分析 欲求c值,可列关于c的方程或方程组,根据两集合相等的意义及集合元素的互异性,有下面两种情况:(1) a+b=ac且a+2b=ac2,(2) a+b=ac2且a+2b=ac.
解法 (1) 联立a+b=ac,a+2b=ac2,消去b得a+ac2-2ac=0.当a=0时,集合B中三元素均为零,不符合集合互异性舍去;当c2-2c+1=0,即c=1,此时B中的三个元素也相同,舍去,所以无解.
(2) a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得2ac2-ac-a=0.当a=0时,集合B中三元素均为零,舍去;当2c2-c-1=0,即c=1或c=-12时,因为c=1时,集合B中的三个元素也相同,舍去.所以,符合条件的只有c=-12.
点评 两集合相等的意义是两集合中的元素都相同,在求集合中元素字母的值时,可能产生与确定性或互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验,去伪存真.
【例2】 已知含有三个实数的集合既可表示为a,ba,1,也可表示为a2,a+b,0,
求a2 011+b2 012的值.
分析 解决这个问题,应该从两个集合的相等入手进行分类求解,同时考虑特殊元素“0”.
解法 由集合中的元素确定性,得
a,ba,1=a2,a+b,0 ①
从而有0∈a,ba,1,∵a≠0,∴ba=0,∴b=0.将b=0代入①得
a,0,1=a2,a,0 ②
由②易知a2=1,即a=±1.当a=1时,与集合中元素互异性不符,
∴a=-1,b=0.故a2 011+b2 012=-1.
点评 本题考查集合中元素的三个特征,如果不注意特殊元素“0”,将需要解6个方程组,相当麻烦,不注意验证,就会得到a=1.
(二) 正确使用集合的符号
学习集合必须抓住“元素”这个关键.集合是由元素确定的,子集、交集、并集、补集、空集等也都是通过元素来定义的,集合的性质说的就是元素的特性,集合的分类与表示方法等亦都是通过元素来刻画的,遇到集合的问题,首先要弄清“代表元素是什么”.
【例3】 设P=yy=x2,x∈R,
Q=yy=2-x,x∈R,求P∩Q.
分析 欲求两数集的交集,可先根据代表元素求出具体的集合,再画数轴求出交集.
解法 由于P=yy≥0,Q=yy≤2,所以P∩Q=y0≤y≤2.
点评 要注意分清xy=f(x),
{y|y=f(x)},(x,y)y=f(x)元素的区别,集合xy=f(x)的元素是函数y=f(x)的定义域中x的取值,集合yy=f(x)的元素是函数y=f(x)的值域中y的取值,而集合
{(x,y)|y=f(x)}的元素是函数y=f(x)的图像上的点的坐标.显然,三者有本质的区别.
(三) 时刻关注空集的特性
空集是一个特殊而又十分重要的集合,解题中它肩负着特殊的使命.由于它藏而不露,所以也是个极易被遗忘的角落,忽视空集的特殊性往往会导致错解.在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.
【例4】 已知集合A=x|x2-5x+6=0,B=x|mx+1=0,且BA,求实数m的值.
分析 BA包含B=和B≠两种情况,因此需要分B=和B≠讨论求解.
解法 若B=,则方程mx+1=0无解,即m=0,若B≠,则由A=2,3知
B=2或B=3,
代入解得m=-12,-13,
综上所述,实数m的值有0,-12,-13.
点评 忘记B=的情况,就会“缩小”解的范围.
【例5】 设集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B=x2x2-ax+2=0,x∈R,
若A∪B=A,求a的值组成的集合.
分析 对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的集合,再根据已知条件求参数.
解法 由A∪B=A得BA,所以B有可能为,即Δ=a2-16<0,∴-4 因为A=1,2,
将x=1代入方程2x2-ax+2=0得a=4,此时B=1,符合题意;
将x=2代入方程2x2-ax+2=0得a=5,此时B=2,12,不符合题意,应舍去.
所以a的值组成的集合为a|a=4.
综上,a的值组成的集合为a|-4 点评 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互联系,注意分类讨论、数形结合思想的应用,还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系,在解题中漏掉它极易导致错解.
(四) 充分利用思想与方法
对于集合的问题,如果能利用数形结合求解,往往显得简单易行.离散数集或抽象集合间的运算常常借助于韦恩图求解,当集合中的元素的属性是由不等式确定时,那么就可以考虑利用数轴进行求解,因为将确定各个集合的不等式表示在数轴上,集合间的相互关系得到直观显现.
几何无王者之道!—欧几里得
【例6】 若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},求能使AA∩B成立的a的取值集合.
分析 由条件得到AB,然后画数轴解决问题.
解法 ∵A∩BA,AA∩B,
∴A∩B=A,
∴AB.
由题意画出数轴(如图所示),
则符合条件的a满足2a+1≤3a-5,2a+1≥3,3a-5≤22.解得6≤a≤9.
点评 在求参数的取值范围时,要注意端点取值,必要时等号是否成立可单独考察.
(五) 合理运用补集的思想
解决补集问题时,首先要弄清楚全集是什么,因为全集是相对的,同一集合在不同全集中的补集是不同的.
【例7】 已知集合A={x|x2+3x-18>0},B=x|(x-k)(x-k-1)≤0,若A∩B≠,求k的取值范围.
分析 先求出集合A,再通过数轴解决A∩B=的情况,最后用补集的思想解题.
解法 由已知可得A=x|x>3或x<-6,B=x|k≤x≤k+1.
若A∩B=,则k≥-6,k+1≤3.即-6≤k≤2;
令P=k|-6≤k≤2,则
瘙 綂 RP={k|k<-6或k>2}.
∴当k<-6或k>2时,A∩B≠.
点评 A∩B≠的反面是A∩B=,求A∩B≠困难时,可考虑求其反面,“正难则反”是一种重要的解题策略.
牛刀小试
1. 设全集S=2,3,a2+2a-3,A={|2a-1|,2},
瘙 綂 SA=5,则a的值为.
2. 设集合A=1,2,3,4,5,6,B={4,5,6,7,8},则满足SA且S∩B≠的集合S的个数为.
3. 已知A=x∈Rx<-1,或x>4,
B=x∈R2a≤x≤a+3,若A∪B=A,求实数a的取值范围.
4. 设A=x∈Rx2+x-a=0,a<-14,
B=y∈R|y=x-2 012+2 012-x,试判断集合A,B之间的关系.
5. 设全集U=R,函数f(x)=lg(|x+1|+a-1)(a<1)的定义域为A,
集合B={x|cosπx=1},若(
瘙 綂 UA)∩B恰好有2个元素,求a的取值范围.
【参考答案】
1. 2 提示:由已知a2+2a-3=5,解得a=2或-4,代入A检验,-4舍去,所以a=2.
2. 56 提示:A的子集个数为26=64个,其中与B相交为空集的有23=8个,所以满足题意的S的个数为64-8=56个.
3. 由已知得BA,①当B=时,由2a>a+3,解得a>3;
②当B≠时,由2a>4,2a≤a+3. 或a+3<-1,2a≤a+3.
得2 ∴综上可知,实数a的取值范围是a<-4或a>2.
4. 当a<-14时,方程x2+x-a=0的根的判别式Δ=1+4a<0,
所以方程x2+x-a=0无实根,即A=.
由x-2012≥0,2012-x≥0.得x=2012,此时y=x-2012+2012-x=0,即B=0≠,
综上可知,集合A,B之间的关系是AB.
5. 由cosπx=1,πx=2kπ,∴x=2k(k∈Z),得B={x|x=2k,k∈Z}.
又|x+1|+a-1>0|x+1|>1-a,
又a<1,1-a>0,∴x>-a或x ∴A=(-∞,a-2)∪(-a,+∞),
=[a-2,-a],又由(
UA)∩B恰好有2个元素,所以a<1,a≤-a<2,-4