集合是历年高考的必考内容之一，通常以一个填空题的形式出现；主要考查集合的有关概念，集合的三种语言及相互转化，集合的交、并、补运算，集合思想的理解和应用.这种考查方式会持续保持稳定.
　　解决集合问题，应力求做到“三化”.
　　(1) 意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集、方程集、不等式集，还是某类图形？是表示函数的自变量的取值范围,还是因变量的取值范围,还是表示方程或不等式的解集？
　　(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的自变量的取值范围、因变量的取值范围或方程、不等式的解集等.不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.
　　(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.
　　（一） 灵活运用集合的特征
　　集合具有确定性、互异性、无序性的三个特征，在求集合中字母的值时，常常需要检验求出的字母的值是否能满足集合的三个特征.
　　【例1】 设集合A=a,a+b,a+2b,
　　B=a,ac,ac2,且A=B，求实数c的值.
　　分析 欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1） a+b=ac且a+2b=ac2，（2） a+b=ac2且a+2b=ac.
　　解法 （1） 联立a+b=ac，a+2b=ac2，消去b得a+ac2－2ac=0.当a=0时，集合B中三元素均为零，不符合集合互异性舍去;当c2－2c+1=0，即c=1，此时B中的三个元素也相同，舍去，所以无解.
　　（2） a+b=ac2且a+2b=ac，消去b得2ac2－ac－a=0.当a=0时，集合B中三元素均为零，舍去;当2c2－c－1=0，即c=1或c=－12时，因为c=1时，集合B中的三个元素也相同，舍去.所以，符合条件的只有c=－12.
　　点评 两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与确定性或互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真.
　　 【例2】 已知含有三个实数的集合既可表示为a,ba,1，也可表示为a2,a+b,0，
　　求a2 011+b2 012的值.
　　分析 解决这个问题，应该从两个集合的相等入手进行分类求解，同时考虑特殊元素“0”.
　　解法 由集合中的元素确定性，得
　　a,ba,1=a2,a+b,0 ①
　　从而有0∈a,ba,1，∵a≠0，∴ba=0，∴b=0.将b=0代入①得
　　a,0,1=a2,a,0 ②
　　由②易知a2=1，即a=±1.当a=1时，与集合中元素互异性不符，
　　∴a=－1，b=0.故a2 011+b2 012＝－1.
　　点评 本题考查集合中元素的三个特征，如果不注意特殊元素“0”，将需要解6个方程组，相当麻烦，不注意验证，就会得到a=1.
　　（二） 正确使用集合的符号
　　学习集合必须抓住“元素”这个关键.集合是由元素确定的，子集、交集、并集、补集、空集等也都是通过元素来定义的，集合的性质说的就是元素的特性，集合的分类与表示方法等亦都是通过元素来刻画的，遇到集合的问题，首先要弄清“代表元素是什么”.
　　【例3】 设P=yy=x2,x∈R，
　　Q=yy=2－x,x∈R，求P∩Q.
　　分析 欲求两数集的交集，可先根据代表元素求出具体的集合，再画数轴求出交集.
　　解法 由于P=yy≥0，Q=yy≤2，所以P∩Q=y0≤y≤2.
　　点评 要注意分清xy=f(x)，
　　{y|y=f(x)}，(x,y)y=f(x)元素的区别，集合xy=f(x)的元素是函数y=f(x)的定义域中x的取值，集合yy=f(x)的元素是函数y=f(x)的值域中y的取值，而集合
　　{(x,y)|y=f(x)}的元素是函数y=f(x)的图像上的点的坐标.显然，三者有本质的区别.
　　（三） 时刻关注空集的特性
　　空集是一个特殊而又十分重要的集合，解题中它肩负着特殊的使命.由于它藏而不露，所以也是个极易被遗忘的角落，忽视空集的特殊性往往会导致错解.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.
　　【例4】 已知集合A=x|x2－5x+6=0,B=x|mx+1=0,且BA，求实数m的值.
　　分析 BA包含B=和B≠两种情况，因此需要分B=和B≠讨论求解.
　　解法 若B=，则方程mx+1=0无解，即m=0，若B≠，则由A=2,3知
　　B=2或B=3，
　　代入解得m=－12,－13，
　　综上所述，实数m的值有0,－12,－13.
　　点评 忘记B=的情况，就会“缩小”解的范围.
　　【例5】 设集合A={x|x2－3x+2=0,x∈R}，B=x2x2－ax+2=0,x∈R，
　　若A∪B=A，求a的值组成的集合.
　　分析 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，再根据已知条件求参数.
　　解法 由A∪B=A得BA，所以B有可能为，即Δ=a2－16<0,∴－4　　因为A=1,2，
　　将x=1代入方程2x2－ax+2=0得a=4，此时B=1，符合题意；
　　将x=2代入方程2x2－ax+2=0得a=5，此时B=2,12，不符合题意，应舍去.
　　所以a的值组成的集合为a|a=4.
　　综上，a的值组成的集合为a|－4　　点评 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互联系，注意分类讨论、数形结合思想的应用，还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解.
　　（四） 充分利用思想与方法
　　对于集合的问题，如果能利用数形结合求解，往往显得简单易行.离散数集或抽象集合间的运算常常借助于韦恩图求解，当集合中的元素的属性是由不等式确定时，那么就可以考虑利用数轴进行求解，因为将确定各个集合的不等式表示在数轴上，集合间的相互关系得到直观显现.
　　几何无王者之道！—欧几里得
　　【例6】 若非空集合A={x|2a＋1≤x≤3a－5}，B={x|3≤x≤22}，求能使AA∩B成立的a的取值集合.
　　分析 由条件得到AB，然后画数轴解决问题.
　　解法 ∵A∩BA，AA∩B，
　　∴A∩B=A，
　　∴AB.
　　由题意画出数轴(如图所示)，
　　则符合条件的a满足2a+1≤3a－5，2a+1≥3，3a－5≤22.解得6≤a≤9.
　　点评 在求参数的取值范围时，要注意端点取值，必要时等号是否成立可单独考察.
　　（五） 合理运用补集的思想
　　解决补集问题时，首先要弄清楚全集是什么，因为全集是相对的，同一集合在不同全集中的补集是不同的.
　　【例7】 已知集合A={x|x2+3x－18>0}，B=x|(x－k)(x－k－1)≤0，若A∩B≠，求k的取值范围.
　　分析 先求出集合A，再通过数轴解决A∩B=的情况，最后用补集的思想解题.
　　解法 由已知可得A=x|x>3或x<－6，B=x|k≤x≤k+1.
　　若A∩B=，则k≥－6，k+1≤3.即－6≤k≤2；
　　令P=k|－6≤k≤2，则
　　瘙 綂 RP={k|k<－6或k>2}.
　　∴当k<－6或k>2时，A∩B≠.
　　点评 A∩B≠的反面是A∩B=，求A∩B≠困难时，可考虑求其反面，“正难则反”是一种重要的解题策略.
　　牛刀小试
　　1． 设全集S=2,3,a2+2a－3,A={|2a－1|,2},
　　瘙 綂 SA=5，则a的值为.
　　2． 设集合A=1,2,3,4,5,6,B={4,5,6,7,8}，则满足SA且S∩B≠的集合S的个数为.
　　3． 已知A=x∈Rx<－1，或x>4，
　　B=x∈R2a≤x≤a+3，若A∪B=A，求实数a的取值范围.
　　4. 设A=x∈Rx2+x－a=0,a<－14,
　　B=y∈R|y=x－2 012+2 012－x，试判断集合A,B之间的关系.
　　5. 设全集U=R，函数f(x)=lg(|x+1|+a－1)(a<1)的定义域为A，
　　集合B={x|cosπx=1}，若(
　　瘙 綂 UA)∩B恰好有2个元素，求a的取值范围.
　　【参考答案】
　　1. 2 提示：由已知a2+2a－3=5，解得a=2或－4，代入A检验，-4舍去，所以a=2.
　　2． 56 提示：A的子集个数为26=64个，其中与B相交为空集的有23=8个，所以满足题意的S的个数为64-8=56个.
　　3. 由已知得BA，①当B=时，由2a>a+3，解得a>3；
　　②当B≠时，由2a>4,2a≤a+3. 或a+3<－1,2a≤a+3.
　　得2　　∴综上可知，实数a的取值范围是a<－4或a>2.
　　4. 当a<－14时，方程x2+x－a=0的根的判别式Δ=1+4a<0，
　　所以方程x2+x－a=0无实根，即A=.
　　由x－2012≥0,2012－x≥0.得x=2012，此时y=x－2012+2012－x=0，即B=0≠，
　　综上可知，集合A,B之间的关系是AB.
　　5. 由cosπx=1,πx=2kπ，∴x=2k(k∈Z)，得B={x|x=2k,k∈Z}.
　　又|x+1|+a－1>0|x+1|>1－a，
　　又a<1，1－a>0，∴x>－a或x　　∴A=(－∞,a－2)∪(－a,+∞)，
　　=［a－2,－a］，又由(
　　UA)∩B恰好有2个元素，所以a<1,a≤－a<2,－4