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【摘 要】本文介绍了光子晶体光纤的数值模拟方法，特别对于高精度模拟光子晶体光纤，采用的方法—局域基函数法，进行了详细的分析，最后总结了在平面波法和局域基函数法基础上的混合法的相关特点。
【关键词】光子晶体光纤；局域基函数法；平面波法
1.引言
光子晶体光纤（PCF）的概念最早在 1992 年由 St.J.Russell 等人提出，其初衷是要在光纤中引入光子带隙效应实现对光的导引。受到制备工艺的限制，直到 1996 年首根光子晶体光纤才成功问世。该光纤具有独特的无尽单模传输特性，在学术界和产业界引起极大的轰动。为了建立一个相对简单的数值方法，使之对高折射率纤芯三角型结构PCF能提供定性的模式传播特性，Birks等人提出了有效折射率法。其基本思想就是先分析包层周期的重复二氧化硅中的孔结构，然后（根据这种包层结构的近似波导性质）用恰当选择的有效折射率代替这个包层。
2.局域基函数法理论
尽管简单的有效折射率模型提供了很好的定性知识，但对来高精度模拟光子晶体光纤还是有必须用一些精确的数值方法。1998年，Mogilevtsev等人发展了一种方法，这种方法是将麦克斯韦方程组直接求解，并将折射率和场分布表示成局域基函数的和，所以称之为局域基函数法。这种方法最初是用来模拟三角形光子晶体光纤的，而后被进一步被开拓用于所有光子晶体光纤结构的数值模拟。
光子晶体光纤的导模被局域在紧靠近形成纤芯的区域，这个芯区域在光子带隙波导文献里常称之为缺陷，表示这个区域的完全周期结构被破坏，也就是只要一个空气孔被固体材料所替换，反之亦然。因为模式场的局域化，才可能通过将场表示成局域于纤芯附近的函数之和来模拟导模。这种方法的明显优势是适当选取一组基函数，只需要适中数量的函数就能精确描述束缚模，从而大大降低计算资源。为了实现这种方法，麦克斯韦方程需要作重新表示，作为传播常数的本征值问题，重新表示后的方程沿Z轴（光纤的长度轴）平移是不变的：
（2.1）
这里代表周期xy平面内的梯度（），是自由空间波数，矢量的分量表示磁场的横向分量，它可表示成：
（2.2）
这里，是传播常数，z是表示沿光纤位置的坐标，c是真空中的光速，t是时间。
对于基函数系统，利用一组Hermite—Gaussian函数[3.13]，可以将其写成如下形式：
（2.3）
其中是m阶的Hermite多项式，是晶格的周期。函数是相互正交的，它们在xy平面内形成一个完备系统。它们局域在点（x，y）=（0，0）附近，也表明用（0，0）坐标系位于波导芯的中心部分。Hermite—Gaussian函数不仅由于它们的局域化是一种有利的选择，也因为它们的重叠积分可以进行解析估算。根据函数，等式（2.1）变成代数本征值问题：
（2.4）
系数矢量代表Hermite-Gaussian基中的横向磁场，是Hermite-Gaussian基中方程（2.1）等号左边算符的矩阵系数。它们都是实数，对于大范围的晶格都可以用解析法获得这些矩阵系数。
在高频区，横向平面内场正交分量之间的耦合可以忽略，这种方法的实现变得特别简单。在这个频段内，标量近似就有效，方程（2.4）的本征值问题变成Hermitian型。用于计算PCF的导模时，方程（2.1）的第三项描述横截面上场的正交分量之间耦合随着空气填充分数按比例变化；对于小空气孔，很快达到高频极限。举例来说，三角形PCF，其空气填充分数小于10%、波长小于时，就处在高频区。
最初由Mogilevtsev等人提出的这种技术，说明了模式局域化的优势，对于紧密束缚和简单模场分布，它比广泛应用的平面波法常常更有效。而局域函数法，如果没有准确表示折射率，那么其计算结果也不会准确。由于下述原因，这是建立模型公式中的一个重要问题：由于解析计算重叠积分的可能性，可能总想用局域函数（如Hermite-Gaussians）代表折射率结构。然而，Monro等人的工作中把横向折射率分布分成两个部分：孔的周期晶格用周期函数描述，中心折射率缺陷（即芯）用局域Hermite-Gaussian函数描述。
中心的折射缺陷可以用和模式展开中同样的基函数来描述，它们能够形成完备的一组基函数。但是发现，选取特征宽度（）的函数较有效。因为与缺陷直径（d）成正比，而不是与成正比，这样精确的描述就需要很少的项数。比例常数是根据经验选取的。经验表明，当=0.26d时，缺陷能够用很少项最准确地重现。
因此，折射率平方分布可用下式分解：
（2.5）
這里的C和P分别用于表示缺陷和圆孔的项数，是结构的横向范围，函数代表下列Hermite-Gaussian基函数正交集的元素：
（2.6）
其中是i阶Hermite多项式（i是多项式的主导阶）。对于任一给定光子晶体光纤结构，方程（2.5）的折射率分解中，系数和可以由周期包层的cosine函数和中心缺陷的Hermite-Gaussian函数做重叠积分来得到。这些系数对于任一结构只需要计算一次；一旦知道这些系数，在任何波长光纤的模式特性可以决定。
3.总结与展望
以上介绍了用局域基函数法模拟光子晶体光纤的理论，这种方法对于高精度模拟光子晶体光纤有一定的作用。但是在用局域函数来表示空气孔情况下，高折射率反差可能变成一个重要难点，因为它们的分辨率和模型的有效性可能变得很难成立。
结合使用局域函数和平面波法的某些最大特点，空气孔晶格用平面波分解来描述，实芯和模式场用局域函数描述，这就是后来的混合法。这种方法能够有效描述理想周期结构的光子晶体光纤。当考虑较复杂的光纤结构时，就削弱了分别描述空气孔和局域化芯的优势，那么用平面波展开来描述整个折射率分布，而局域函数只用于模式场，得到效率和精度的最好结合。这种混合法的通用工具能够用于探索各种光子晶体光纤结构和模式，并利用扫描电镜照片确定样品的折射率分布预测实际光子晶体光纤的性质。
参考文献：
[1]吴重庆.光波导理论.北京：清华大学出版社，2000.
[2]廖延彪.光纤光学.北京：清华大学出版社，2000.
[3]王清月等.光子晶体光纤非线性光学研究新进展.中国激光，2006.33（1）.
【关键词】光子晶体光纤；局域基函数法；平面波法
1.引言
光子晶体光纤（PCF）的概念最早在 1992 年由 St.J.Russell 等人提出，其初衷是要在光纤中引入光子带隙效应实现对光的导引。受到制备工艺的限制，直到 1996 年首根光子晶体光纤才成功问世。该光纤具有独特的无尽单模传输特性，在学术界和产业界引起极大的轰动。为了建立一个相对简单的数值方法，使之对高折射率纤芯三角型结构PCF能提供定性的模式传播特性，Birks等人提出了有效折射率法。其基本思想就是先分析包层周期的重复二氧化硅中的孔结构，然后（根据这种包层结构的近似波导性质）用恰当选择的有效折射率代替这个包层。
2.局域基函数法理论
尽管简单的有效折射率模型提供了很好的定性知识，但对来高精度模拟光子晶体光纤还是有必须用一些精确的数值方法。1998年，Mogilevtsev等人发展了一种方法，这种方法是将麦克斯韦方程组直接求解，并将折射率和场分布表示成局域基函数的和，所以称之为局域基函数法。这种方法最初是用来模拟三角形光子晶体光纤的，而后被进一步被开拓用于所有光子晶体光纤结构的数值模拟。
光子晶体光纤的导模被局域在紧靠近形成纤芯的区域，这个芯区域在光子带隙波导文献里常称之为缺陷，表示这个区域的完全周期结构被破坏，也就是只要一个空气孔被固体材料所替换，反之亦然。因为模式场的局域化，才可能通过将场表示成局域于纤芯附近的函数之和来模拟导模。这种方法的明显优势是适当选取一组基函数，只需要适中数量的函数就能精确描述束缚模，从而大大降低计算资源。为了实现这种方法，麦克斯韦方程需要作重新表示，作为传播常数的本征值问题，重新表示后的方程沿Z轴（光纤的长度轴）平移是不变的：
（2.1）
这里代表周期xy平面内的梯度（），是自由空间波数，矢量的分量表示磁场的横向分量，它可表示成：
（2.2）
这里，是传播常数，z是表示沿光纤位置的坐标，c是真空中的光速，t是时间。
对于基函数系统，利用一组Hermite—Gaussian函数[3.13]，可以将其写成如下形式：
（2.3）
其中是m阶的Hermite多项式，是晶格的周期。函数是相互正交的，它们在xy平面内形成一个完备系统。它们局域在点（x，y）=（0，0）附近，也表明用（0，0）坐标系位于波导芯的中心部分。Hermite—Gaussian函数不仅由于它们的局域化是一种有利的选择，也因为它们的重叠积分可以进行解析估算。根据函数，等式（2.1）变成代数本征值问题：
（2.4）
系数矢量代表Hermite-Gaussian基中的横向磁场，是Hermite-Gaussian基中方程（2.1）等号左边算符的矩阵系数。它们都是实数，对于大范围的晶格都可以用解析法获得这些矩阵系数。
在高频区，横向平面内场正交分量之间的耦合可以忽略，这种方法的实现变得特别简单。在这个频段内，标量近似就有效，方程（2.4）的本征值问题变成Hermitian型。用于计算PCF的导模时，方程（2.1）的第三项描述横截面上场的正交分量之间耦合随着空气填充分数按比例变化；对于小空气孔，很快达到高频极限。举例来说，三角形PCF，其空气填充分数小于10%、波长小于时，就处在高频区。
最初由Mogilevtsev等人提出的这种技术，说明了模式局域化的优势，对于紧密束缚和简单模场分布，它比广泛应用的平面波法常常更有效。而局域函数法，如果没有准确表示折射率，那么其计算结果也不会准确。由于下述原因，这是建立模型公式中的一个重要问题：由于解析计算重叠积分的可能性，可能总想用局域函数（如Hermite-Gaussians）代表折射率结构。然而，Monro等人的工作中把横向折射率分布分成两个部分：孔的周期晶格用周期函数描述，中心折射率缺陷（即芯）用局域Hermite-Gaussian函数描述。
中心的折射缺陷可以用和模式展开中同样的基函数来描述，它们能够形成完备的一组基函数。但是发现，选取特征宽度（）的函数较有效。因为与缺陷直径（d）成正比，而不是与成正比，这样精确的描述就需要很少的项数。比例常数是根据经验选取的。经验表明，当=0.26d时，缺陷能够用很少项最准确地重现。
因此，折射率平方分布可用下式分解：
（2.5）
這里的C和P分别用于表示缺陷和圆孔的项数，是结构的横向范围，函数代表下列Hermite-Gaussian基函数正交集的元素：
（2.6）
其中是i阶Hermite多项式（i是多项式的主导阶）。对于任一给定光子晶体光纤结构，方程（2.5）的折射率分解中，系数和可以由周期包层的cosine函数和中心缺陷的Hermite-Gaussian函数做重叠积分来得到。这些系数对于任一结构只需要计算一次；一旦知道这些系数，在任何波长光纤的模式特性可以决定。
3.总结与展望
以上介绍了用局域基函数法模拟光子晶体光纤的理论，这种方法对于高精度模拟光子晶体光纤有一定的作用。但是在用局域函数来表示空气孔情况下，高折射率反差可能变成一个重要难点，因为它们的分辨率和模型的有效性可能变得很难成立。
结合使用局域函数和平面波法的某些最大特点，空气孔晶格用平面波分解来描述，实芯和模式场用局域函数描述，这就是后来的混合法。这种方法能够有效描述理想周期结构的光子晶体光纤。当考虑较复杂的光纤结构时，就削弱了分别描述空气孔和局域化芯的优势，那么用平面波展开来描述整个折射率分布，而局域函数只用于模式场，得到效率和精度的最好结合。这种混合法的通用工具能够用于探索各种光子晶体光纤结构和模式，并利用扫描电镜照片确定样品的折射率分布预测实际光子晶体光纤的性质。
参考文献：
[1]吴重庆.光波导理论.北京：清华大学出版社，2000.
[2]廖延彪.光纤光学.北京：清华大学出版社，2000.
[3]王清月等.光子晶体光纤非线性光学研究新进展.中国激光，2006.33（1）.