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方案设计题常常以费用最少、用料最少、得到的价值最多为追求目标，或以图形的设计、测量方法的选用为背景，考查同学们解决实际问题的能力.现以2011年中考试题为例加以说明，以期对同学们复习有所帮助.
一、 利用方程(组)、函数进行方案设计
例1 (2011黑龙江绥化)某班为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 种购买方案.
解析 不妨设购买甲、乙两种运动服分别为x套和y套(x、y为正整数)，依题意，得20x+35y=365，整理，得4x+7y=73，y=73-4x7=11-4(x+1)7≥1.∵ x、y为正整数，∴ x+1是7的倍数，∴ 73-4x≥7，
x+1=7k (k为正整数).解得17≤k≤52，∴ 整数k=1或2，所以x=6，
y=7或x=13，
y=3.故有两种购买方案.
点评 本题以购买运动服为问题背景，考查了同学们对实际问题建立数学模型的能力.本题实际上是一道二元一次不定方程的实际问题，要能够灵活根据未知量的非负性、整数性和整除性等特定关系来求解，从而确定解决问题的方案.
例2 (2011福建三明)海峡两岸林业博览会连续六届在三明市成功举办，三明市的林产品在国内外的知名度得到了进一步提升.现有一位外商计划来该市购买一批某品牌的木地板，甲、乙两经销商都经营标价为每平方米220元的该品牌木地板.经过协商，甲经销商表示可按标价的9.5折优惠；乙经销商表示不超过500平方米的部分按标价购买，超过500平方米的部分按标价的9折优惠.
（1） 设购买木地板x平方米，选择甲经销商时，所需费用为y1元，选择乙经销商时，所需费用为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2） 请问该外商选择哪个经销商购买更合算？
解析 （1） 如果选择甲经销商，不论购买木地板多少平方米，都是95折，即y1=095×220x＝209x；如果选择乙经销商，有两种情况，不超过500平方米没有优惠，即y2=220x（x≤500），超过500平方米，超过的部分是9折，即y2=220×500+0.9×220(x-500)，即y2=198 x+11 000（x＞500）.
（2） 先对x的值分情况讨论，再对函数值分y1＜y2、y1=y2、y1＞y2三种情况来讨论.
当0＜x≤500时，209x＜220x，选择甲经销商.当x＞500时，由y1＜y2，即209 x＜198 x+11 000，得x＜1 000；由y1=y2，即209 x=198 x+11 000，得x=1 000；由y1＞y2，即209 x＞198 x+11 000，得x＞1 000.综上所述，当500＜x＜1 000时，选择甲经销商；当x=1 000时，选择甲、乙经销商一样；当x＞1 000时，选择乙经销商.
点评 解答本题的关键在于根据实际问题建立一次函数关系式，并比较两个一次函数值的大小，再根据所得函数自变量的取值范围，确定购买木地板的方案.
例3 (2011福建莆田)某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：A、B两种型号的医疗器械共生产80台.
信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，不超过1810万元，且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械.
信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
型 号 A B
成本(万元/台) 20 25
售价(万元/台) 24 30
根据上述信息，解答下列问题：
（1） 该公司对此两种医疗器械有哪几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
（2） 根据市场调查，每台A型医疗器械的售价将会提高a万元(a＞0)，每台B型医疗器械的售价不会改变，该公司应该如何生产可以获得最大利润？(注：利润=售价-成本)
解析 （1） 设生产A种医疗器械为x台，列出关于x的不等式组为：20x+25(80-x)≥1 800，
20x+25(80-x)≤1 810.解得38≤x≤40，在取值范围内确定三种方案.方案一：生产A种器械38台，B种器械42台；方案二：生产A种器械39台，B种器械41台；方案三：生产A种器械40台，B种器械40台.再根据公司获得利润W与x之间的函数关系式W=(24-20)x+(30-25)(80-x)=-x+400，确定当x=38时，W有最大值，则当生产A种器械38台，B种器械42台时获得最大利润.
（2） 根据条件，我们可以建立利润W与x之间的函数关系式W=(4+a)x+5(80-x)=(a-1)x+400，则当a-1＞0，即a＞1时，生产A种器械40台，B种器械40台，获得最大利润；当a-1=0，即a=1时，（1）中三种方案利润都为400万元；当a-1＜0，即0＜a＜1时，生产A种器械38台，B种器械42台，获得最大利润.
点评 本题考查了同学们根据问题中变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并灵活应用函数的性质确定函数最值的能力.在问题中自变量含有待定系数时，一定要分情况加以讨论后，再根据函数的性质确定问题解决的方案.
二、 操作中的方案设计问题
例4 (2011福建漳州)图1是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们.
请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在一张方格纸中设计另外两个不同的图案.画图要求：（1） 每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；（2） 所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.
图1
分析 设计图案时，必须以四个直角三角形为材料，同时满足下列两个条件：（1） 每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；（2） 所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形或轴对称图形.图2给出三种备选设计方案.
图2
点评 本题是一道实际动手操作的方案设计题，以勾股定理为载体着重考查同学们对轴对称和中心对称概念的掌握以及动手画图的能力.
图3
链接 如图3，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形.现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片几张，才能用它们拼成一个新的正方形呢？同学们不妨自己动手试一试.
三、 测量中的方案设计问题
图4
例5 (2011四川宜宾)如图4，飞机沿水平方向(A、B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
（1） 指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；
（2） 用测出的数据写出求距离MN的步骤.
分析 此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理即可.（1） 如图4，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连接AM，BM；（2） 第一步，在Rt△AMN中，tanα=MNAN，∴ AN=MNtanα；第二步，在Rt△BMN中，tanβ=MNBN，∴ BN=MNtanβ，其中AN=d+BN，解得MN=d·tanα·tanβtanβ-tanα.
点评 本题是一道开放性很强的方案设计题，它能够综合考查同学们应用锐角三角函数、全等三角形、相似三角形的知识解决问题的能力.亲爱的同学，你还有其他求距离MN的方案吗？
四、 统计中的方案设计问题
例6 (2011甘肃天水)爱养花的李先生为选择一个合适的时间去参观2011年西安世界园艺博览会，查阅了5月10日到16日（星期一至星期日）每天的参观人数，得到图5、图6所示的统计图，其中图5是每天参观人数的统计图，图6是5月15日（星期六）的上午、中午、下午和晚上四个时段参观人数的扇形统计图，请你根据统计图解答下面的问题.
图5
图6
① 5月10日至16日这一周中，参观人数最多的是 日，有 万人，参观人数最少的是 日，有 万人，中位数是 ；
② 5月15日（星期六）这一天，上午的参观人数比下午的参观人数多多少人？（精确到1万人）
③ 如果李先生想尽可能选择参观人数较少的时间参观世园会，你认为选择什么时间较合适？
分析 从条形图中直接读出①中的结果，再结合扇形图，可以求出相差的人数，从人数最少上来选择去参观的时间，那就是人数最少的星期一这一天的下午.正确答案：① 15，34，10，16，22；② 34×（74%-6%）≈23（万人）；③ 选择星期一的下午去参观人数相对比较少.
点评 在日常生活中，我们常常需要把搜集得来的数据进行整理，并正确应用统计、概率的知识，从不同的角度进行分析，作出符合要求的方案.
链接 在一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球、1个白球，它们除颜色外其余都相同.现再将若干个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为57，那么你认为再放几个白球到布袋中呢？
一、 利用方程(组)、函数进行方案设计
例1 (2011黑龙江绥化)某班为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 种购买方案.
解析 不妨设购买甲、乙两种运动服分别为x套和y套(x、y为正整数)，依题意，得20x+35y=365，整理，得4x+7y=73，y=73-4x7=11-4(x+1)7≥1.∵ x、y为正整数，∴ x+1是7的倍数，∴ 73-4x≥7，
x+1=7k (k为正整数).解得17≤k≤52，∴ 整数k=1或2，所以x=6，
y=7或x=13，
y=3.故有两种购买方案.
点评 本题以购买运动服为问题背景，考查了同学们对实际问题建立数学模型的能力.本题实际上是一道二元一次不定方程的实际问题，要能够灵活根据未知量的非负性、整数性和整除性等特定关系来求解，从而确定解决问题的方案.
例2 (2011福建三明)海峡两岸林业博览会连续六届在三明市成功举办，三明市的林产品在国内外的知名度得到了进一步提升.现有一位外商计划来该市购买一批某品牌的木地板，甲、乙两经销商都经营标价为每平方米220元的该品牌木地板.经过协商，甲经销商表示可按标价的9.5折优惠；乙经销商表示不超过500平方米的部分按标价购买，超过500平方米的部分按标价的9折优惠.
（1） 设购买木地板x平方米，选择甲经销商时，所需费用为y1元，选择乙经销商时，所需费用为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2） 请问该外商选择哪个经销商购买更合算？
解析 （1） 如果选择甲经销商，不论购买木地板多少平方米，都是95折，即y1=095×220x＝209x；如果选择乙经销商，有两种情况，不超过500平方米没有优惠，即y2=220x（x≤500），超过500平方米，超过的部分是9折，即y2=220×500+0.9×220(x-500)，即y2=198 x+11 000（x＞500）.
（2） 先对x的值分情况讨论，再对函数值分y1＜y2、y1=y2、y1＞y2三种情况来讨论.
当0＜x≤500时，209x＜220x，选择甲经销商.当x＞500时，由y1＜y2，即209 x＜198 x+11 000，得x＜1 000；由y1=y2，即209 x=198 x+11 000，得x=1 000；由y1＞y2，即209 x＞198 x+11 000，得x＞1 000.综上所述，当500＜x＜1 000时，选择甲经销商；当x=1 000时，选择甲、乙经销商一样；当x＞1 000时，选择乙经销商.
点评 解答本题的关键在于根据实际问题建立一次函数关系式，并比较两个一次函数值的大小，再根据所得函数自变量的取值范围，确定购买木地板的方案.
例3 (2011福建莆田)某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：A、B两种型号的医疗器械共生产80台.
信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，不超过1810万元，且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械.
信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
型 号 A B
成本(万元/台) 20 25
售价(万元/台) 24 30
根据上述信息，解答下列问题：
（1） 该公司对此两种医疗器械有哪几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
（2） 根据市场调查，每台A型医疗器械的售价将会提高a万元(a＞0)，每台B型医疗器械的售价不会改变，该公司应该如何生产可以获得最大利润？(注：利润=售价-成本)
解析 （1） 设生产A种医疗器械为x台，列出关于x的不等式组为：20x+25(80-x)≥1 800，
20x+25(80-x)≤1 810.解得38≤x≤40，在取值范围内确定三种方案.方案一：生产A种器械38台，B种器械42台；方案二：生产A种器械39台，B种器械41台；方案三：生产A种器械40台，B种器械40台.再根据公司获得利润W与x之间的函数关系式W=(24-20)x+(30-25)(80-x)=-x+400，确定当x=38时，W有最大值，则当生产A种器械38台，B种器械42台时获得最大利润.
（2） 根据条件，我们可以建立利润W与x之间的函数关系式W=(4+a)x+5(80-x)=(a-1)x+400，则当a-1＞0，即a＞1时，生产A种器械40台，B种器械40台，获得最大利润；当a-1=0，即a=1时，（1）中三种方案利润都为400万元；当a-1＜0，即0＜a＜1时，生产A种器械38台，B种器械42台，获得最大利润.
点评 本题考查了同学们根据问题中变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并灵活应用函数的性质确定函数最值的能力.在问题中自变量含有待定系数时，一定要分情况加以讨论后，再根据函数的性质确定问题解决的方案.
二、 操作中的方案设计问题
例4 (2011福建漳州)图1是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们.
请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在一张方格纸中设计另外两个不同的图案.画图要求：（1） 每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；（2） 所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.
图1
分析 设计图案时，必须以四个直角三角形为材料，同时满足下列两个条件：（1） 每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；（2） 所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形或轴对称图形.图2给出三种备选设计方案.
图2
点评 本题是一道实际动手操作的方案设计题，以勾股定理为载体着重考查同学们对轴对称和中心对称概念的掌握以及动手画图的能力.
图3
链接 如图3，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形.现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片几张，才能用它们拼成一个新的正方形呢？同学们不妨自己动手试一试.
三、 测量中的方案设计问题
图4
例5 (2011四川宜宾)如图4，飞机沿水平方向(A、B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
（1） 指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；
（2） 用测出的数据写出求距离MN的步骤.
分析 此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理即可.（1） 如图4，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连接AM，BM；（2） 第一步，在Rt△AMN中，tanα=MNAN，∴ AN=MNtanα；第二步，在Rt△BMN中，tanβ=MNBN，∴ BN=MNtanβ，其中AN=d+BN，解得MN=d·tanα·tanβtanβ-tanα.
点评 本题是一道开放性很强的方案设计题，它能够综合考查同学们应用锐角三角函数、全等三角形、相似三角形的知识解决问题的能力.亲爱的同学，你还有其他求距离MN的方案吗？
四、 统计中的方案设计问题
例6 (2011甘肃天水)爱养花的李先生为选择一个合适的时间去参观2011年西安世界园艺博览会，查阅了5月10日到16日（星期一至星期日）每天的参观人数，得到图5、图6所示的统计图，其中图5是每天参观人数的统计图，图6是5月15日（星期六）的上午、中午、下午和晚上四个时段参观人数的扇形统计图，请你根据统计图解答下面的问题.
图5
图6
① 5月10日至16日这一周中，参观人数最多的是 日，有 万人，参观人数最少的是 日，有 万人，中位数是 ；
② 5月15日（星期六）这一天，上午的参观人数比下午的参观人数多多少人？（精确到1万人）
③ 如果李先生想尽可能选择参观人数较少的时间参观世园会，你认为选择什么时间较合适？
分析 从条形图中直接读出①中的结果，再结合扇形图，可以求出相差的人数，从人数最少上来选择去参观的时间，那就是人数最少的星期一这一天的下午.正确答案：① 15，34，10，16，22；② 34×（74%-6%）≈23（万人）；③ 选择星期一的下午去参观人数相对比较少.
点评 在日常生活中，我们常常需要把搜集得来的数据进行整理，并正确应用统计、概率的知识，从不同的角度进行分析，作出符合要求的方案.
链接 在一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球、1个白球，它们除颜色外其余都相同.现再将若干个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为57，那么你认为再放几个白球到布袋中呢？