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在历年的数学中考题中,求图形的面积常常出现在试卷上。其中求三角形的面积,则更多地出现在综合题中,与函数、运动型问题结合,使有些学生觉得很难,无从下手。笔者在教学中发现,在求三角形的面积的问题时,在平面直角坐标系中,可以有一种更加简单、直观的方法。
三角形的面积的求法很多,常用的方法是
⑴S= ah
⑵S= ab
⑶S=大的图形的面积—小的图形的面积,即割补法
在平面直角坐标系中,用下面这种方法去求三角形面积有时会变得很简单,学生也很容易掌握,即S= 水平宽×铅垂高
如图,在坐标平面内,BC的水平距离即为水平宽,线段AD即为铅垂高,
∴ = BC的水平距离×线段AD的长。
证明如下:
= AD×(BD的水平距离+CD的水平距离)
= AD×BC的水平距离
例1如图,抛物线的顶点坐标为点C(1,4),
交x于点A(3,0),交y轴于点B。
(1)求抛物线和直线AB的解析式。
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个
动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求的铅垂高CD及 。
(3)在抛物线上是否存在一点P,使 。
解:(1)
(2)如图,当P为抛物线的顶点(1,4)时,则点C、D的横坐标相同,即当x=1时,yAB=-x+3,∴y=2,∴点D(1,2),∴CD=4-2=2
∴ = (3-0)×2
=3
(4)设P(x,y),则点D(x,-x+3)
∴ PD =
=
线段PD的长即为铅垂高,AB的水平距离即为水平宽=3-0=3
∴
∵
∴
∴ 或
解得 或,
∴
例2. 如图,反比例函数 与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点,交x轴于点M,交y轴于点N,求S△AOB。
解:由y=-x+2交x轴于点M,交y轴于点N
M点坐标为(2,0),N点坐标为(0,2) ∴OM=2,ON=2
由 解得 或
∴A点坐标为(-2,4),B点坐标为(4,-2)
点A和点B的水平距离即商品宽=4-(-2)=6
ON的长即为铅垂高=2
∴
例3如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),
E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线第一象限的任意一点,
求四边形AEDB的面积的最大值。
解:(1)y=-x2+2x+3
(2)设D(x,-x2+2x+3),直线BE的解析式yAB=-x+3,
∴ 上的铅垂高是-x2+3x
∴当x= 时
S四边形AEDB的最大值=
例4. 如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数 的图象相交于A(1,4),B(3,m)两点。
⑴求一次函数解析式;⑵求△AOB的面积。
⑵解:⑴由A(1,4),在 的图象上,
∴k2=xy=4
B(3,m)在 的图象上,∴B点坐标为
A(1,4)、B(3, )在一次函数y=k1x+b的图象上,可求得一次函数解析式为:
(2)点O和B的水平宽是3-0=3
设直线OB的解析式为y=kx(k≠0)
点A直线OB的铅垂高是
∴
利用上述公式来计算三角形或者可以转化为三角形图形的面积问题,起到把复杂问题转化为简单的问题,可以收到事半功倍的效果。
对于任何三角形都可以由上述三种类型,S= mn或S= ah或S= bc,在实际计算时只要看看图形中哪两个点的横坐标容易求出,则第三个点到这两个点所组成的直线的铅垂距离即为铅垂高。
三角形的面积的求法很多,常用的方法是
⑴S= ah
⑵S= ab
⑶S=大的图形的面积—小的图形的面积,即割补法
在平面直角坐标系中,用下面这种方法去求三角形面积有时会变得很简单,学生也很容易掌握,即S= 水平宽×铅垂高
如图,在坐标平面内,BC的水平距离即为水平宽,线段AD即为铅垂高,
∴ = BC的水平距离×线段AD的长。
证明如下:
= AD×(BD的水平距离+CD的水平距离)
= AD×BC的水平距离
例1如图,抛物线的顶点坐标为点C(1,4),
交x于点A(3,0),交y轴于点B。
(1)求抛物线和直线AB的解析式。
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个
动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求的铅垂高CD及 。
(3)在抛物线上是否存在一点P,使 。
解:(1)
(2)如图,当P为抛物线的顶点(1,4)时,则点C、D的横坐标相同,即当x=1时,yAB=-x+3,∴y=2,∴点D(1,2),∴CD=4-2=2
∴ = (3-0)×2
=3
(4)设P(x,y),则点D(x,-x+3)
∴ PD =
=
线段PD的长即为铅垂高,AB的水平距离即为水平宽=3-0=3
∴
∵
∴
∴ 或
解得 或,
∴
例2. 如图,反比例函数 与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点,交x轴于点M,交y轴于点N,求S△AOB。
解:由y=-x+2交x轴于点M,交y轴于点N
M点坐标为(2,0),N点坐标为(0,2) ∴OM=2,ON=2
由 解得 或
∴A点坐标为(-2,4),B点坐标为(4,-2)
点A和点B的水平距离即商品宽=4-(-2)=6
ON的长即为铅垂高=2
∴
例3如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),
E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线第一象限的任意一点,
求四边形AEDB的面积的最大值。
解:(1)y=-x2+2x+3
(2)设D(x,-x2+2x+3),直线BE的解析式yAB=-x+3,
∴ 上的铅垂高是-x2+3x
∴当x= 时
S四边形AEDB的最大值=
例4. 如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数 的图象相交于A(1,4),B(3,m)两点。
⑴求一次函数解析式;⑵求△AOB的面积。
⑵解:⑴由A(1,4),在 的图象上,
∴k2=xy=4
B(3,m)在 的图象上,∴B点坐标为
A(1,4)、B(3, )在一次函数y=k1x+b的图象上,可求得一次函数解析式为:
(2)点O和B的水平宽是3-0=3
设直线OB的解析式为y=kx(k≠0)
点A直线OB的铅垂高是
∴
利用上述公式来计算三角形或者可以转化为三角形图形的面积问题,起到把复杂问题转化为简单的问题,可以收到事半功倍的效果。
对于任何三角形都可以由上述三种类型,S= mn或S= ah或S= bc,在实际计算时只要看看图形中哪两个点的横坐标容易求出,则第三个点到这两个点所组成的直线的铅垂距离即为铅垂高。