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摘 要:利用好课本习题,可以培养学生数学思维能力,使之形成知识网络,理清知识本源,提高解题能力,探索解决问题的源泉。初中数学教师,必须加大对课本习题的广泛使用,不断探索规律,总结方法,提高学生的学习效果。
关键词:课本习题;数学思维;知识网络;规律;举一反三
中图分类号:G63 文献标识码:A 文章编号:1673-9132(2017)18-0142-02
DOI:10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.18.087
新课程初中数学课本的习题虽然数量较少,但有着丰富的内涵。因此,作为一线初中数学教师,必须加大对课本习题的广泛使用,牢固以课本典型习题为主,在此基础上进行引申和拓展,巩固知识,探索规律,形成经验,总结方法,才能真正对学生数学学习起到积极的作用,达到良好的效果。
利用课本习题,做好学生思维能力的培养,做好举一反三,变式训练,培养学生的数学思维能力和解题能力。在北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》(八年级上册)第19页第2题:如图1,在正方形ABCD中,AE=2,AB=4,DF=1。那么在图中共有几个直角三角形?你的判断依据是什么?利用好这一课本经典题目,进行变式训练,完全可以让学生掌握这一类型题目的结题。根据教师对题目的解读,明确问题的关键在于正方形ABCD有几个直角三角形,而要向判断出有哪几个直角三角形,必须首先要找出正方形ABCD被分割为几个三角形,带着这个思路首先引导学生观察,得出了正方形ABCD中有四个三角形,分别是△ABE, △BCF, △DEF, △BEF四个三角形,继续引导学生观察四个三角形中,哪几个可能是直角三角形,学生根据观察得出其中△ABE,△BCF, △DEF可能是是直角三角形。根据学生得出的依据点,让学生自己大胆去按自己的想法去证明,自己的观点是否正确,学生得出在RT△ABE中,∠BAE=90度,AB=4,AE=2。根据勾股定理得BE2=42+22=20,同理BF2=25,EF2=5。因为BE2+EF2=BF2,所以由勾股定理的逆定理可知△ABE是直角三角形,教师及时点拨,这道题主要就是应用三角形勾股定理和它的逆定理,对三角形的勾股定理和逆定理进行综合应用,所以得出学生们的判断是正确的,作为经典例题引导学生理清问题的关键所在,寻找思维的切入点,寻找所应用的知识,通过自己的证明,一定可以完成数学题型的掌握,同时可以培养学生的数学思维能力。进行变式拓展训练,巩固学生直角三角形的判定,可以利用第20页习题第3题。如图2,方格纸中每一个小正方形的面积为一个单位,图中哪些三角形是直角三角形?哪些不是?说说你的理由。
继续引导学生按照刚才的方法方法完成判断、找突破点、提出应用的依据知识、进行证明。我们以△A1B1C1是否为直角三角形进行证明,方法一是我们判断△A1B1C1是不是直角三角形,依据是看最大角∠A1B1C1是否为直角,证明是将∠A1B1C1分成∠A1B1N和∠NB1C1两个角,再将∠NB1C1绕着点B1旋转90度到∠MB1P的位置,可以清楚地看出∠MB1P和∠A1B1N的中间还有一个空隙,得出∠A1B1C1是一个锐角,因此△A1B1C1是一个锐角三角形。方法二继续使用三角形的勾股定理和它的逆定理的综合应用将△A1B1C1分成两个直角三角形即△A1B1Q和△QB1C1,然后根据勾股定理计算出A1B12=8,B1C12=5,而A1C12=9,因为A1B12+B1C12不等于A1C12,所以△A1B1C1不是直角三角形。首先让学生找到所有的三角形,然后巧妙的使用觀察进行判断,再不拘一格各显身手找出自己使用的知识点然后进行证明,充分发挥举一反三的功效,把住解决问题的关键,提高学生的数学思维能力和发散思维。
这是一个课堂小案例,也是充分利用课本习题的经典案例,课本第27页复习题第9题。如图3,方格纸中每一个小正形的面积为1个单位面积。(1)在方格纸上,以线段AB为边画正方形,并计算所画正方形的面积,解释你的计算方法。(2)你能在图上画出面积依次为5个单位面积、10个单位面积,13个单位面积的正方形吗?
教师:对于第(1)问,要画的正方形的边长是整数吗?如何求出正方形的面积?
学生2(再一次) 此题所画正方形的边长不是整数,但是我们只需要把线段AB放在以AB 为斜边的直角三角形中,就可以求出AB2=17,而正方形的面积就等于AB2,即正方形面积为17个单位面积。
教师:很好!学生2再次向我们展示了“a2”的魅力。那么对于第(2)问我们有办法吗?
学生(集体):有!首先在方格纸中找到1×2,1×3,2×3的长方形,就可以得到斜边平方分别为5,10,13的直角三角形;然后就可以以斜边为边作出面积依次为5个单位面积、10个单位面积、13个单位面积的正方形。
教师:学生们的思维发散和迁移能力真让老师佩服!我们再来看看题目没有有提出的“第(3)问”:没有方格纸,我们能不能作出面积依次为5个单位面积、10个单位面积、13个单位面积的正方形呢?
学生们(异口同声急迫地):完全可以。只要……
通过这一组习题的串联,我们不难看出,课本习题真是形散而神不散。课本中像这样的习题还有很多,每年中考有不少题都是经习题和例题改编而来的,如果我们能认真体会命题者的意图,充分挖掘课本习题,并把它们有机地结合起来,对促进学生思维能力的提高,对构建学生知识网络的作用都是非常突出的。这也是我们的新课程、新课标的要求,是新教材的突出特点,是素质教育应用于教学实践的必然要求。
参考文献:
[1] 刘海昌.巧妙设计数学习题,提高数学综合能力[J].中学课程资源,2014(4):29.
[2] 许生友.课本习题巧演变[J].中学生数理化(中考版),2011(12):43-47.
关键词:课本习题;数学思维;知识网络;规律;举一反三
中图分类号:G63 文献标识码:A 文章编号:1673-9132(2017)18-0142-02
DOI:10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.18.087
新课程初中数学课本的习题虽然数量较少,但有着丰富的内涵。因此,作为一线初中数学教师,必须加大对课本习题的广泛使用,牢固以课本典型习题为主,在此基础上进行引申和拓展,巩固知识,探索规律,形成经验,总结方法,才能真正对学生数学学习起到积极的作用,达到良好的效果。
利用课本习题,做好学生思维能力的培养,做好举一反三,变式训练,培养学生的数学思维能力和解题能力。在北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》(八年级上册)第19页第2题:如图1,在正方形ABCD中,AE=2,AB=4,DF=1。那么在图中共有几个直角三角形?你的判断依据是什么?利用好这一课本经典题目,进行变式训练,完全可以让学生掌握这一类型题目的结题。根据教师对题目的解读,明确问题的关键在于正方形ABCD有几个直角三角形,而要向判断出有哪几个直角三角形,必须首先要找出正方形ABCD被分割为几个三角形,带着这个思路首先引导学生观察,得出了正方形ABCD中有四个三角形,分别是△ABE, △BCF, △DEF, △BEF四个三角形,继续引导学生观察四个三角形中,哪几个可能是直角三角形,学生根据观察得出其中△ABE,△BCF, △DEF可能是是直角三角形。根据学生得出的依据点,让学生自己大胆去按自己的想法去证明,自己的观点是否正确,学生得出在RT△ABE中,∠BAE=90度,AB=4,AE=2。根据勾股定理得BE2=42+22=20,同理BF2=25,EF2=5。因为BE2+EF2=BF2,所以由勾股定理的逆定理可知△ABE是直角三角形,教师及时点拨,这道题主要就是应用三角形勾股定理和它的逆定理,对三角形的勾股定理和逆定理进行综合应用,所以得出学生们的判断是正确的,作为经典例题引导学生理清问题的关键所在,寻找思维的切入点,寻找所应用的知识,通过自己的证明,一定可以完成数学题型的掌握,同时可以培养学生的数学思维能力。进行变式拓展训练,巩固学生直角三角形的判定,可以利用第20页习题第3题。如图2,方格纸中每一个小正方形的面积为一个单位,图中哪些三角形是直角三角形?哪些不是?说说你的理由。
继续引导学生按照刚才的方法方法完成判断、找突破点、提出应用的依据知识、进行证明。我们以△A1B1C1是否为直角三角形进行证明,方法一是我们判断△A1B1C1是不是直角三角形,依据是看最大角∠A1B1C1是否为直角,证明是将∠A1B1C1分成∠A1B1N和∠NB1C1两个角,再将∠NB1C1绕着点B1旋转90度到∠MB1P的位置,可以清楚地看出∠MB1P和∠A1B1N的中间还有一个空隙,得出∠A1B1C1是一个锐角,因此△A1B1C1是一个锐角三角形。方法二继续使用三角形的勾股定理和它的逆定理的综合应用将△A1B1C1分成两个直角三角形即△A1B1Q和△QB1C1,然后根据勾股定理计算出A1B12=8,B1C12=5,而A1C12=9,因为A1B12+B1C12不等于A1C12,所以△A1B1C1不是直角三角形。首先让学生找到所有的三角形,然后巧妙的使用觀察进行判断,再不拘一格各显身手找出自己使用的知识点然后进行证明,充分发挥举一反三的功效,把住解决问题的关键,提高学生的数学思维能力和发散思维。
这是一个课堂小案例,也是充分利用课本习题的经典案例,课本第27页复习题第9题。如图3,方格纸中每一个小正形的面积为1个单位面积。(1)在方格纸上,以线段AB为边画正方形,并计算所画正方形的面积,解释你的计算方法。(2)你能在图上画出面积依次为5个单位面积、10个单位面积,13个单位面积的正方形吗?
教师:对于第(1)问,要画的正方形的边长是整数吗?如何求出正方形的面积?
学生2(再一次) 此题所画正方形的边长不是整数,但是我们只需要把线段AB放在以AB 为斜边的直角三角形中,就可以求出AB2=17,而正方形的面积就等于AB2,即正方形面积为17个单位面积。
教师:很好!学生2再次向我们展示了“a2”的魅力。那么对于第(2)问我们有办法吗?
学生(集体):有!首先在方格纸中找到1×2,1×3,2×3的长方形,就可以得到斜边平方分别为5,10,13的直角三角形;然后就可以以斜边为边作出面积依次为5个单位面积、10个单位面积、13个单位面积的正方形。
教师:学生们的思维发散和迁移能力真让老师佩服!我们再来看看题目没有有提出的“第(3)问”:没有方格纸,我们能不能作出面积依次为5个单位面积、10个单位面积、13个单位面积的正方形呢?
学生们(异口同声急迫地):完全可以。只要……
通过这一组习题的串联,我们不难看出,课本习题真是形散而神不散。课本中像这样的习题还有很多,每年中考有不少题都是经习题和例题改编而来的,如果我们能认真体会命题者的意图,充分挖掘课本习题,并把它们有机地结合起来,对促进学生思维能力的提高,对构建学生知识网络的作用都是非常突出的。这也是我们的新课程、新课标的要求,是新教材的突出特点,是素质教育应用于教学实践的必然要求。
参考文献:
[1] 刘海昌.巧妙设计数学习题,提高数学综合能力[J].中学课程资源,2014(4):29.
[2] 许生友.课本习题巧演变[J].中学生数理化(中考版),2011(12):43-47.