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摘 要： 针对典型的发散问题，本文将运用改进的变分-积分微扰法对量子力学中微扰级数发散的两个例子：四次非谐振子的高阶变分-积分微扰修正和基态类氦离子的三阶微扰修正进行研究，并获取具有良好收敛性的计算结论，同时，对其修正波函数的收敛性及有界性进行了证明。除了能够更加便利地对波函数和能量等物理量进行计算，并在更高层面上对其加以修正外，借助相应方法还能够对部分无法通过原有量子微扰方法解决的问题加以解决，如微扰级数解的有界性及收敛性等。
关键词： 量子力学；发散性；微扰级数；修正解
【中图分类号】 G424.1
【文献标识码】 B
【文章编号】 2236-1879（2017）15-0265-02
1 引言
从问世至今，量子力学中的量子发散问题，都是物理界学者关注的热点。包括Dirac、Feynman和 Wigner等许多物理学家多次在论著中提到量子力学和量子场论中的发散困难。
非相对论量子力学的Schrdinger方程并非针对全部实际问题，都能够做到精确可解，在量子系统中，通过一个完全等价于Schrdinger方程的积分方程，逐次迭代精确通解各级波函数微扰方程，在全空间有界的充分必要条件下，借助该通解获取各级能量修正和定解常数，借助洛必达法能够缜密地证明，微扰级数解从各级精确解叠加而来的为收敛的；阐明级数解发散的数学根源，给出消除这些非物理因素的具体方法。对于国防、国家安全系统，不少量子系统问题，生产技术部门如激光及光加工、核聚变、能源、材料等，一般量子微扰理论无法处理的问题来说，结合变分法及该并未发散的积分微扰法，得出并未要求简并性的改进的变分—积分微扰法，能够提供理论和计算支持。
2 四次非谐振子的高阶变分-积分微扰修正
2.1 改进的变分-积分微扰法。
如果U（x）这一一维定态实际系统的势函数，只对V（x）这一理想的、精确可解的系统势函数，存在H0′（x）这种不明显的的偏离，借助h=1这一科学的单位，能够将Schrodinger方程表达如下
-12μ2+U（x）Ψ=EΨ，U（x）=V（x）+H0′（x）（3.1）
其哈密頓量为
H=-12μ2+V（x）+H0′（x）=H0+H0′（x）（3.2）
规定零级哈密顿量时，借助Hλ这一科学的母哈密顿量，而变分参量为λ，那么，微扰哈密顿量可以表述如下
H′=H-Hλ（3.3）
相应的试探波函数X（λ，x）应满足本征方程
HλX（λ，x）=E0（λ，x）（3.4）
根据这一点，能够获取E0（λ）这一零级能量，以及X（λ，x）这一本征函数，那么，之前的哈密顿量H的平均值表述如下
HX（λ，x）|H|X（λ，x）（3.5）
借助H的平均值的极小值，能够获得λ优化值。在试探波函数中，植入优化的变分参数值，充当X0（λ，x）这一无微扰的零级波函数，各级微扰方程就能表述如下
12μX（i）xx-[V（x）-E0]X（i）=ε（i）（λ，x）（3.6）
ε（0）=0，ε（i）=H′X（i-1）-∑ij=1EjX（i-j），j=1，2…（3.7）
已知X0（λ，x）这一零级方程的解，因为其是二阶线性齐次方程，那么，不妨以X0（λ，x）来表示其另一线性无关解，那么，非线性相关形式可表述为
X0（λ，x）=X0∫X-20dx（3.8）
借助以积分方程为基础的微扰方法，能够用下面的积分形式，来表示第i级能量修正公式及各级微扰通解
Ψ（i）=2μΨ（0）∫XAiΨ0ε（i）dx-2μΨ0∫XBiΨ0ε（i）dx，i=1.2…，∞（3.9）
Ei=∫∞x0Ψ（0）（H′X（i-1）-∑ij=1EjX（i-j））dx，i=1，2，3，…，∞（3.10）
而Ai，Bi指任意一个和边界条件有关的常数。
2.2 四次方非谐振子基态能量修正与波函数修正。
一般来说，借助2h/（mω）这一谐振子长度，来作为空间坐标的单位，借助谐振子基态能量为能量单位，那么
H=p2+x2+βx4（3.11）
取母哈密顿量为零级哈密顿量
Hλ=p2+λ2x2（3.12）
其中λ是一个变分参量。微扰哈密顿量为
H′=H-Hλ=（1-λ2）x2+βx4（3.13）
原哈密顿量H的平均值为
H=〈n|H|n〉=〈n|Hλ|n〉+〈n|H′|n〉=1+λ22λ（2n+1）+3β（2n2+2n+1）4λ2（3.14）
由H的平均值中，能够取得变分参量λ优化值的极小值，也就是说，从Hλ=0获取这样的式子
λ3-λ-3β（2n2+2n+1）2n+1=0（3.15）
取n=0（基态）， 得到变分参量λ的优化值为
λ=（2/3）1/3（27β+3-4+243β2）1/3+（27β+3-4+243β2）1/321/3×32/3（3.16）
根据方程（3.10）可得能量的一级修正为
E（1）0=∫∞-∞Ψ（0）0H′Ψ（0）0dx=2λ-2λ3+3β4λ2（3.17）
由方程（3.9）可得到一级修正波函数为
Ψ（1）0=Ψ（0）0∫XAi（Ψ（0）0）-2
（∫XBiΨ（0）0ε（1）dx）dx=（m1x2+m2x4+A）Ψ（0）0（3.18）
二级能量修正为
E（2）0=∫∞-∞Ψ（0）0（H′-E（1）0）Ψ（1）0dx=-21β2-12βλ（-1+λ2）+2λ2（-1+λ2）216λ5（3.19）
二级修正波函数为
Ψ（2）0=Ψ（0）0∫XBi（Ψ（0）0）-2（∫XCiΨ（0）0ε（2）dx）dx
=（n1x2+n2x4+n3x6+n4x8+B）Ψ（0）0（3.20）
三级能量修正为
E（3）0=∫∞-∞Ψ（0）0（（H′-E（1）0）Ψ（2）0-E（2）0Ψ（1）0dx=
333β3-210β2λ（-1+λ2）+48βλ2（-1+λ2）2-4λ3（-1+λ2）364λ8（3.21）
三级修正波函数为
Ψ（3）0=Ψ（0）0∫XCi（Ψ（0）0）-2（∫XDiΨ（0）0ε（3）dx）dx
=Ψ（0）0（k1x2+k2x4+k3x6+k4x8+k5x10+k6x12+C）（3.22）
第四级能量修正为
E（4）0=∫∞-∞Ψ（0）0[（H′-E（1）0）Ψ（3）0-E（2）0Ψ（2）0-E（3）0Ψ（1）0]dx（3.23）
利用方程（3.9）和（3.10），采用同样的方法，当i =5，6，7…，我们可计算第五、六级、第七级…修正波函数，也可计算第六级、第七级…修正能量。
总结
从分析四次非谐振子基态和第一激发态的能量修正和波函数修正、基态类氦离子的三级能量修正可知，如果结合以积分方程为基础的微扰法及变分法，提出改进的变分-积分微扰法，对实际的量子系统加以分析和研究，除了能够对二者各自的优势进行拓展——借助以积分方程为基础的微扰法能使波函数的有界和收敛得到保证借助变分能够改进计算结果的精度外，还能够使二者各自的部分缺点得到克服。本文的研究虽不能解决所有发散难的问题，但能在一定范围内帮助解决部分实际量子系统的发散问题。
参考文献
[1] Zheng J Y.Quantum Mechanics（BeiJing：Science Press）（in chinese） [曾谨言.量子力学[M].北京：科学出版社，1995]
[2] Roman P.Advanced Quantum Theory.[J].（Addison-Wesley，New York）.1965
关键词： 量子力学；发散性；微扰级数；修正解
【中图分类号】 G424.1
【文献标识码】 B
【文章编号】 2236-1879（2017）15-0265-02
1 引言
从问世至今，量子力学中的量子发散问题，都是物理界学者关注的热点。包括Dirac、Feynman和 Wigner等许多物理学家多次在论著中提到量子力学和量子场论中的发散困难。
非相对论量子力学的Schrdinger方程并非针对全部实际问题，都能够做到精确可解，在量子系统中，通过一个完全等价于Schrdinger方程的积分方程，逐次迭代精确通解各级波函数微扰方程，在全空间有界的充分必要条件下，借助该通解获取各级能量修正和定解常数，借助洛必达法能够缜密地证明，微扰级数解从各级精确解叠加而来的为收敛的；阐明级数解发散的数学根源，给出消除这些非物理因素的具体方法。对于国防、国家安全系统，不少量子系统问题，生产技术部门如激光及光加工、核聚变、能源、材料等，一般量子微扰理论无法处理的问题来说，结合变分法及该并未发散的积分微扰法，得出并未要求简并性的改进的变分—积分微扰法，能够提供理论和计算支持。
2 四次非谐振子的高阶变分-积分微扰修正
2.1 改进的变分-积分微扰法。
如果U（x）这一一维定态实际系统的势函数，只对V（x）这一理想的、精确可解的系统势函数，存在H0′（x）这种不明显的的偏离，借助h=1这一科学的单位，能够将Schrodinger方程表达如下
-12μ2+U（x）Ψ=EΨ，U（x）=V（x）+H0′（x）（3.1）
其哈密頓量为
H=-12μ2+V（x）+H0′（x）=H0+H0′（x）（3.2）
规定零级哈密顿量时，借助Hλ这一科学的母哈密顿量，而变分参量为λ，那么，微扰哈密顿量可以表述如下
H′=H-Hλ（3.3）
相应的试探波函数X（λ，x）应满足本征方程
HλX（λ，x）=E0（λ，x）（3.4）
根据这一点，能够获取E0（λ）这一零级能量，以及X（λ，x）这一本征函数，那么，之前的哈密顿量H的平均值表述如下
HX（λ，x）|H|X（λ，x）（3.5）
借助H的平均值的极小值，能够获得λ优化值。在试探波函数中，植入优化的变分参数值，充当X0（λ，x）这一无微扰的零级波函数，各级微扰方程就能表述如下
12μX（i）xx-[V（x）-E0]X（i）=ε（i）（λ，x）（3.6）
ε（0）=0，ε（i）=H′X（i-1）-∑ij=1EjX（i-j），j=1，2…（3.7）
已知X0（λ，x）这一零级方程的解，因为其是二阶线性齐次方程，那么，不妨以X0（λ，x）来表示其另一线性无关解，那么，非线性相关形式可表述为
X0（λ，x）=X0∫X-20dx（3.8）
借助以积分方程为基础的微扰方法，能够用下面的积分形式，来表示第i级能量修正公式及各级微扰通解
Ψ（i）=2μΨ（0）∫XAiΨ0ε（i）dx-2μΨ0∫XBiΨ0ε（i）dx，i=1.2…，∞（3.9）
Ei=∫∞x0Ψ（0）（H′X（i-1）-∑ij=1EjX（i-j））dx，i=1，2，3，…，∞（3.10）
而Ai，Bi指任意一个和边界条件有关的常数。
2.2 四次方非谐振子基态能量修正与波函数修正。
一般来说，借助2h/（mω）这一谐振子长度，来作为空间坐标的单位，借助谐振子基态能量为能量单位，那么
H=p2+x2+βx4（3.11）
取母哈密顿量为零级哈密顿量
Hλ=p2+λ2x2（3.12）
其中λ是一个变分参量。微扰哈密顿量为
H′=H-Hλ=（1-λ2）x2+βx4（3.13）
原哈密顿量H的平均值为
H=〈n|H|n〉=〈n|Hλ|n〉+〈n|H′|n〉=1+λ22λ（2n+1）+3β（2n2+2n+1）4λ2（3.14）
由H的平均值中，能够取得变分参量λ优化值的极小值，也就是说，从Hλ=0获取这样的式子
λ3-λ-3β（2n2+2n+1）2n+1=0（3.15）
取n=0（基态）， 得到变分参量λ的优化值为
λ=（2/3）1/3（27β+3-4+243β2）1/3+（27β+3-4+243β2）1/321/3×32/3（3.16）
根据方程（3.10）可得能量的一级修正为
E（1）0=∫∞-∞Ψ（0）0H′Ψ（0）0dx=2λ-2λ3+3β4λ2（3.17）
由方程（3.9）可得到一级修正波函数为
Ψ（1）0=Ψ（0）0∫XAi（Ψ（0）0）-2
（∫XBiΨ（0）0ε（1）dx）dx=（m1x2+m2x4+A）Ψ（0）0（3.18）
二级能量修正为
E（2）0=∫∞-∞Ψ（0）0（H′-E（1）0）Ψ（1）0dx=-21β2-12βλ（-1+λ2）+2λ2（-1+λ2）216λ5（3.19）
二级修正波函数为
Ψ（2）0=Ψ（0）0∫XBi（Ψ（0）0）-2（∫XCiΨ（0）0ε（2）dx）dx
=（n1x2+n2x4+n3x6+n4x8+B）Ψ（0）0（3.20）
三级能量修正为
E（3）0=∫∞-∞Ψ（0）0（（H′-E（1）0）Ψ（2）0-E（2）0Ψ（1）0dx=
333β3-210β2λ（-1+λ2）+48βλ2（-1+λ2）2-4λ3（-1+λ2）364λ8（3.21）
三级修正波函数为
Ψ（3）0=Ψ（0）0∫XCi（Ψ（0）0）-2（∫XDiΨ（0）0ε（3）dx）dx
=Ψ（0）0（k1x2+k2x4+k3x6+k4x8+k5x10+k6x12+C）（3.22）
第四级能量修正为
E（4）0=∫∞-∞Ψ（0）0[（H′-E（1）0）Ψ（3）0-E（2）0Ψ（2）0-E（3）0Ψ（1）0]dx（3.23）
利用方程（3.9）和（3.10），采用同样的方法，当i =5，6，7…，我们可计算第五、六级、第七级…修正波函数，也可计算第六级、第七级…修正能量。
总结
从分析四次非谐振子基态和第一激发态的能量修正和波函数修正、基态类氦离子的三级能量修正可知，如果结合以积分方程为基础的微扰法及变分法，提出改进的变分-积分微扰法，对实际的量子系统加以分析和研究，除了能够对二者各自的优势进行拓展——借助以积分方程为基础的微扰法能使波函数的有界和收敛得到保证借助变分能够改进计算结果的精度外，还能够使二者各自的部分缺点得到克服。本文的研究虽不能解决所有发散难的问题，但能在一定范围内帮助解决部分实际量子系统的发散问题。
参考文献
[1] Zheng J Y.Quantum Mechanics（BeiJing：Science Press）（in chinese） [曾谨言.量子力学[M].北京：科学出版社，1995]
[2] Roman P.Advanced Quantum Theory.[J].（Addison-Wesley，New York）.1965