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运用勾股定理解题时,由于题目的条件不确定,会引起一题多解的现象,这时若能利用分类讨论思想进行解答,则可确保结果不重不漏,下面举例说明.
例1 已知Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c且a=8、b=15,求c的长.
分析:由于题目没有指明哪个角是直角,因此有可能是边长为15的边所对的∠B是直角,或边长为c所对的∠C是直角,所以应分两种情况讨论,再根据勾股定理解答.
解:(1)若b=15是直角边,则c为斜边,由勾股定理得c2=a2+b2=82+152=289,所以c=17;
(2)若b=15是斜边,则c为直角边,由勾股定理得c2=b2-a2=152-82=161,所以c=.
所以c的长为17或.
点评:本题由于斜边不确定,因此需要分类讨论.
例2 下面是数学课堂的一个学习片断,阅读后,请回答下面的问题.
学习勾股定理有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“己知直角三角形ABC的两边长分别为7、24,请求出第三边长的平方”.
同学们经过片刻的思考与交流后,李明同学举手回答:“第三边长的平方为625.”王华同学说:“第三边的长的平方为527.”还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话回答)
分析:本题首先要求在阅读数学课堂的一个学习片断后,对两位同学的说法提出自己的看法.这时应注意题眼:“直角三角形ABC的两边长分别为7、24”,要对这个不确定条件进行分析研究.
解:设第三边长为x,则
当x为斜边时,由勾股定理得x2=72+242,解得x2=625;
当x为直角边时,由勾股定理得242=72+x2,解得x2=527.
所以,第三边长的平方为625或527.
由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题错误.
对于第(2)问,应在第(1)问的解答基础上,总结出“根据图形位置关系,运用分类讨论思想解多解型问题”,“考虑问题要全面”等体会.
点评:解答本题要注意题目条件的不确定性和由不确定性引起的分类,从而利用分类讨论思想来解决问题.
例3 等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长为 .
分析:抓住“一边上的高”将问题分为底上的高与腰上的高两种情况,又等腰三角形腰上有高,因此再分为锐角三角形与钝角三角形两种情况,可运用勾股定理分别求解.
解:若一边上的高是该等腰三角形底边上的高,如图1,此时由勾股定理易得BD=4,所以底BC=8;若一边上的高是该等腰三角形腰上的高,此时等腰三角形可以为锐角三角形,如图2,此时由勾股定理易得AD=4,故CD=1.
在△BCD中由勾股定理易得BC=;
若一边上的高是该等腰三角形腰上的高,此时等腰三角形可以为钝角三角形,如图3,此时由勾股定理易得AD=4,故BD=9. 在△BCD中由勾股定理易得BC=3.
故答案为8或或3.
图1
图2
图3
点评:由于本题没有图形,因此答案不唯一,合理进行分类才能避免漏解或多解.
例1 已知Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c且a=8、b=15,求c的长.
分析:由于题目没有指明哪个角是直角,因此有可能是边长为15的边所对的∠B是直角,或边长为c所对的∠C是直角,所以应分两种情况讨论,再根据勾股定理解答.
解:(1)若b=15是直角边,则c为斜边,由勾股定理得c2=a2+b2=82+152=289,所以c=17;
(2)若b=15是斜边,则c为直角边,由勾股定理得c2=b2-a2=152-82=161,所以c=.
所以c的长为17或.
点评:本题由于斜边不确定,因此需要分类讨论.
例2 下面是数学课堂的一个学习片断,阅读后,请回答下面的问题.
学习勾股定理有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“己知直角三角形ABC的两边长分别为7、24,请求出第三边长的平方”.
同学们经过片刻的思考与交流后,李明同学举手回答:“第三边长的平方为625.”王华同学说:“第三边的长的平方为527.”还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话回答)
分析:本题首先要求在阅读数学课堂的一个学习片断后,对两位同学的说法提出自己的看法.这时应注意题眼:“直角三角形ABC的两边长分别为7、24”,要对这个不确定条件进行分析研究.
解:设第三边长为x,则
当x为斜边时,由勾股定理得x2=72+242,解得x2=625;
当x为直角边时,由勾股定理得242=72+x2,解得x2=527.
所以,第三边长的平方为625或527.
由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题错误.
对于第(2)问,应在第(1)问的解答基础上,总结出“根据图形位置关系,运用分类讨论思想解多解型问题”,“考虑问题要全面”等体会.
点评:解答本题要注意题目条件的不确定性和由不确定性引起的分类,从而利用分类讨论思想来解决问题.
例3 等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长为 .
分析:抓住“一边上的高”将问题分为底上的高与腰上的高两种情况,又等腰三角形腰上有高,因此再分为锐角三角形与钝角三角形两种情况,可运用勾股定理分别求解.
解:若一边上的高是该等腰三角形底边上的高,如图1,此时由勾股定理易得BD=4,所以底BC=8;若一边上的高是该等腰三角形腰上的高,此时等腰三角形可以为锐角三角形,如图2,此时由勾股定理易得AD=4,故CD=1.
在△BCD中由勾股定理易得BC=;
若一边上的高是该等腰三角形腰上的高,此时等腰三角形可以为钝角三角形,如图3,此时由勾股定理易得AD=4,故BD=9. 在△BCD中由勾股定理易得BC=3.
故答案为8或或3.
图1
图2
图3
点评:由于本题没有图形,因此答案不唯一,合理进行分类才能避免漏解或多解.