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有关文献中用微分学的方法证明了根差不等式n√a-n√b≤n√a-b(n∈N^+,a〉b〉0)。本文将该不等式中正数的n次算术根分别推广为正数的α(0〈α〈1)次幂以及任意实数的p/q(p,q∈N^+,p〈q,q为奇数)次幂,并且证法是完全初等的,这就大大拓广了根差不等式的应用范围。应用根差不等式以及本文推广后的结果,对有关根式的数列极限、函数极限、一致连续等许多问题都可获得很顺利的解决,为教学提供了很大方便。