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【摘要】“不等式及其解集”是“不等式与不等式组”这一章的起始课，涉及众多概念。本课教学设计从等式、方程相关概念的温习回顾到不等式及其解集概念的得出，整个教学过程注重引导学生自主地构建一个前后一致、逻辑连贯的代数学习过程，让学生在独立思考、自主探究和合作交流中完善认知结构，体验类比、数形结合等数学思想方法。
【关键词】不等式；不等式的解；不等式的解集；类比；数形结合
一、内容及内容解析
1内容
不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式四个概念及用数轴表示不等式的解集。
2内容解析
本节课是人教版数学七年级下冊第九章第一节第1课时的内容，是一节章节起始课，涉及众多概念。
教学过程中，教师首先引导学生列举身边的不等现象，并从生活实际出发引入常见行程问题，设置“准时”到达和在规定时间“之前”到达两个问题，从中抽象得出方程和不等式，然后不断地用等式、方程知识的学习内容和学习方法启发学生，通过设置环环相扣的“问题串”，引出不等式、不等式的解、不等式的解集及解不等式几个概念，使学生领悟类比思想。在研究不等式的解集时，学生通过独立思考、自主探究和合作交流，归纳得出不等式的解集除了可用最简单的式子表示外，还可用数轴来表示。教师从“数”和“形”两方面，通过对比加深学生对不等式解集的理解，形象直观，体现了数形结合的思想。
本课是在学生已经学习了生活中大量相等关系的方程（组）知识的基础上，进一步引导学生学习体现不等关系的不等式（组）知识。整个教学过程从等式、方程相关概念的温习回顾到不等式及其解集概念的得出，注重引导学生自主构建一个前后一致、逻辑连贯的代数学习过程，有助于构建知识网络，完善学生的认知结构。
基于以上分析，我们可以确定本节课的教学重点：不等式相关概念的理解和不等式解集的表示。
二、目标及目标解析
1目标
学生通过本课的学习，能够：
①了解不等式的概念；
②理解不等式的解、解集及解不等式，能正确表示不等式的解集；
③体会数学学习中的类比思想和数形结合思想。
2目标解析
目标①要求学生能正确区别不等式、等式及代数式。
目标②要求学生能够通过计算判断一个数是否为不等式的解；能够理解不等式的解是解集中的某一个元素，而解集是所有解组成的一个集合；能用符号表示简单的不等式解集，并学会用数轴的形式表示简单的不等式解集；理解解不等式是求不等式解集的一个过程。
目标③教师紧紧把握类比思想方法这个主线，把教学过程变成学生对知识的探索过程，让学生在由等式到不等式，由方程的解到不等式的解，在解方程到解不等式的类比教学过程中，潜移默化地学会用类比的思想方法思考和解决问题，积累数学活动的经验，在用式子和数轴表示不等式解集的教学中体会数形结合思想。
三、教学问题诊断分析
学生在小学阶段对不等量关系、数量大小的比较等知识已经有所了解，对符号“>”“<”并不陌生，学习过用方程表示问题情境中的等量关系。不等式和方程在分析解决实际问题中有许多共同点。教师可以在学生已有知识的基础上，结合七年级学生的认知特点，合理地应用类比思想，充分发挥正向迁移的积极作用，为其进一步学习不等式提供合理的平台。在知识障碍方面，不等式的解集是一个抽象的概念，涉及集合思想，学生理解起来较困难，特别是“解集”与“解”之间的关系，学生容易混淆。在数轴上表示解集是数和图形之间的相互转化，需要注意的地方很多，如不等号的方向与折射线的方向，画空心圆圈的情形等，学生在做题时容易产生误解。且学生对于将用文字语言表述的不等关系转化为用符号表示的不等式有一定困难。
基于以上分析，本节课的教学难点是学生能理解并掌握不等式的解集。
四、教学过程设计
（一）创设情境，引入新课
师：（生活引入）在前面，我们学习了与方程有关的很多知识，了解到生活中存在很多的等量关系。那么，请同学们想一想，在生活中是不是所有的关系都能用等量关系来表示？你能举几个例子说明吗？
（待学生自由发言后，教师使用多媒体展示一组生活中的学生所熟悉的表现不等关系的图片）
师：由此可见，“不相等”处处可见。这一节，我们就开始学习一类新的数学知识——不等式。
【设计意图】教师根据七年级学生的年龄特征、生活背景，引发学生注意，使学生产生好奇心，激发学生的学习兴趣，同时培养学生将实际生活中的问题抽象为数学问题的能力，使学生体会数学来源于生活的真谛。
（二）开展活动，首探新知
【活动1】想一想，得出不等式的概念
枣阳市某中学组织学生乘车前往火青陵园扫墓。已知该校与火青陵园的距离为50千米，他们上午11：20从学校出发，汽车匀速行驶。
（1）若该车计划中午12时准时到达火青陵园，车速应满足什么条件？
设车速为x千米/小时，可列式子：[CD#5]。
（2）若该车实际上在中午12时之前已到达火青陵园，车速应满足什么条件？
设车速为x千米/小时，可列式子：[CD#5]。
观察所得到的式子，它们之间有什么区别？
用符号“>”或“<”表示大小关系的式子，叫作[CD#5]。像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
【设计意图】教师采用类比的方法，适当改变教材问题呈现方式，按照“等式—不等式”的学习程序，学生自主解答，并在展示答案后自述列式理由。这样做，一是降低直接列不等式的难度；二是让学生在开课初就能感受类比的思想方法，实现已有知识的正迁移，这对培养学生良好的学习方式起到了引导作用；三是提供对比素材，通过“观察所得到的式子，它们之间有什么区别？”这个问题，指引思考方向，为获得不等式的概念奠定基础。 在获得不等式的概念后，教师出示练习题，以加深学生对概念的理解与掌握。
看谁最聪明
（1）下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？
①-2<5；②x+3>2x；③4x-2y<0；④a-2b；⑤x2-2x+1<0；⑥a+b≠c；⑦5m+3=8
（2）用不等式表示
①a是正数：
②a是负数：
③a与5的和小于7：
④a与2的差大于-1：
⑤a的4倍大于8：
⑥a的一半小于3：
【设计意图】第（1）题中有含未知数的不等式，也有不含未知数的不等式，有等式，也有代数式。对这些问题的解决，有效促使学生了解不等式的概念，认识不等式的特征，从而完成教学目标①。学生会识别不等式后，他们会列不等式吗？于是，自然产生第（2）题这种题型，并且是直接选用教材练习题，达到用好教材的目的。
（三）开展活动，再探新知
【活动2】填一填，理解不等式的解
待学生准确回答后，教师提问：
（1）含有未知数的等式叫什么？使方程的左边和右边相等的未知数的值叫什么？
（2）和方程的解类似，x=78使不等式2/3x>50成立，它叫作这个不等式的什么？表格中写出来的数中，还有这个不等式的解吗？
（3）你能说说什么叫不等式的解吗？
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作[CD#5]。
【设计意图】学生在正确填好表格的过程中，隐约能感受到方程的解和不等式的解之间有一定联系。教师通过三个问题将这种感觉外显，仍然遵循“方程的解—不等式的解”的类比学习程序，使学生初步理解不等式的解。
【活动3】探一探，由不等式的解得出它的解集→深思不等式的解集
学生思考：
（1）除了80和78，不等式2/3x>50还有其他解吗？
（2）如果有，你能再举出一些吗？这个不等式有多少个解？
（3）这些解应满足什么条件？
x>75表示能使不等式2/3x>50成立的x的取值范圍，叫作不等式2/3x>50的解的，简称。
师生活动：围绕第（2）个问题进行小组讨论，然后学生汇报发言。
【设计意图】问题（1）、问题（2）引起学生对x=78，80是不等式2/3x>50的解的反思，加深了学生对不等式的解的理解。然后，教师通过问题（3）让学生在小组里讨论发言，再结合教师的举例进一步理解任何一个大于75的数都是不等式的解，这样的解有无数个，而任何一个小于或等于75的数都不是不等式的解，从而针对这个具体例子引导学生由有限思考转向无限思考，初步感知无数个解的集合的思想，同时，建立知识间的联系，完善认知结构。
（4）这个解集在数轴上怎么表示？
第一步：；第二步：；第三步：。
师生活动：教师讲解示范，引导学生学习在数轴上表示不等式的解集的方法；师生讨论，归纳一般步骤。
【设计意图】用数轴表示不等式的解集，体现了数形结合思想，中间用到的一些数学知识是数学规定。教师示范引领得出画法，符合学生认知规律和数学学习规律，体现了教师作为组织者、引导者与合作者的地位和作用。同时，讨论、归纳用数轴表示不等式的解集的一般步骤，使学生进一步加深理解不等式的解集这个概念。
师：现在请同学们思考“想一想”中的问题。活动1的第（2）个问题，说汽车在12时之前已经到达火青陵园，那么车速应满足的条件是什么？由不等式x/50<2/3也能得出这个结果吗？
【设计意图】学生可能会凭直觉感知得出这个结果，也可能会根据不等式2/3x>50的解及解集的教学过程，意识到用代入验算的方法可以说明x>75能满足不等式x/50<2/3。教师可以适时说明有时直觉并不可靠，需要验证。另外，代入验算也只是一种方法，可能会导致以偏概全。这样，学生在以后的学习中会通过其他一些运算方法把x>75算出来。
至此，教师正式提出不等式的解集的概念，并叙述解不等式的概念。
师：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的[CD#5]。求不等式的解集的过程叫作[CD#5]。
【设计意图】开头从实际问题列出不等式，此处从不等式的解集到实际问题，首尾呼应，并通过一个新的问题，揭示了知识的内在联系。为使学生深入理解在一般情况下，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集，教师创造有效问题情境，使学生进一步感悟不等式的解集和它的解之间的联系。
（四）拓展研究，深化新知
【活动4】练一练，感悟不等式的解和解集的联系
例直接想出不等式x+4<6的解集，并在数轴上表示出来。
变式1：已知x的取值范围如下图所示，你能写出x的取值范围吗？
变式2：直接想出不等式2x>8的解集，并在数轴上表示出来。
变式3：直接想出不等式-2x>8的解集。
【设计意图】变式训练是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好的形式。源于此理念，教师将课后练习第3题的题型引入作为例题，并进行变式练习，深化了学生对概念本质属性的认识和把握，符合概念学习的有意义的学习原理。
（五）归纳小结，畅谈收获
师：愉快的时光总是短暂的，能说说你在这一堂课的收获吗？你有什么体会？
（学生自由发言，教师总结）
课件展示：
（师生一起回顾一元一次方程到等式的性质的学习过程，类比预知下节课将学习不等式的性质）
课件展示：
【设计意图】构建知识网络，完善学生认知结构。
（六）目标检测，反馈达标
（1）填空，用不等式表示：
①a与5的和是正数；
②a与2的差是负数；
③c的一半不等于-3。
【设计意图】检测学生对不等式的概念、不等式的符号语言、列不等式的掌握情况。
（2）下列数中是不等式x+3>6的解的是（）
【设计意图】检测学生对不等式的解的掌握情况。
（3）下面用数轴表示不等式x-2>2的解集，正确的是（）
【设计意图】检测学生对不等式的解集及用数轴表示不等式的解集的掌握情况。
（七）布置作业，快乐提高
（1）基础题：习题91第1、2、3题。
（2）拓展题：在活动1的问题解决中，我们已经得出汽车要在12：00之前到达火青陵园，车速必须大于75千米/小时。如果注意到路边的限速标记，则车速又应满足什么条件？如何用不等式表示这个速度？如何在数轴上表示这个范围？
【设计意图】巩固已学知识，并通过拓展题为后面的学习做好准备，既照应了本节课的实际问题情境，又能让学生反思、总结用数轴表示不等式的解集的方法，以便更好、更轻松地完成后续学习任务。
【关键词】不等式；不等式的解；不等式的解集；类比；数形结合
一、内容及内容解析
1内容
不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式四个概念及用数轴表示不等式的解集。
2内容解析
本节课是人教版数学七年级下冊第九章第一节第1课时的内容，是一节章节起始课，涉及众多概念。
教学过程中，教师首先引导学生列举身边的不等现象，并从生活实际出发引入常见行程问题，设置“准时”到达和在规定时间“之前”到达两个问题，从中抽象得出方程和不等式，然后不断地用等式、方程知识的学习内容和学习方法启发学生，通过设置环环相扣的“问题串”，引出不等式、不等式的解、不等式的解集及解不等式几个概念，使学生领悟类比思想。在研究不等式的解集时，学生通过独立思考、自主探究和合作交流，归纳得出不等式的解集除了可用最简单的式子表示外，还可用数轴来表示。教师从“数”和“形”两方面，通过对比加深学生对不等式解集的理解，形象直观，体现了数形结合的思想。
本课是在学生已经学习了生活中大量相等关系的方程（组）知识的基础上，进一步引导学生学习体现不等关系的不等式（组）知识。整个教学过程从等式、方程相关概念的温习回顾到不等式及其解集概念的得出，注重引导学生自主构建一个前后一致、逻辑连贯的代数学习过程，有助于构建知识网络，完善学生的认知结构。
基于以上分析，我们可以确定本节课的教学重点：不等式相关概念的理解和不等式解集的表示。
二、目标及目标解析
1目标
学生通过本课的学习，能够：
①了解不等式的概念；
②理解不等式的解、解集及解不等式，能正确表示不等式的解集；
③体会数学学习中的类比思想和数形结合思想。
2目标解析
目标①要求学生能正确区别不等式、等式及代数式。
目标②要求学生能够通过计算判断一个数是否为不等式的解；能够理解不等式的解是解集中的某一个元素，而解集是所有解组成的一个集合；能用符号表示简单的不等式解集，并学会用数轴的形式表示简单的不等式解集；理解解不等式是求不等式解集的一个过程。
目标③教师紧紧把握类比思想方法这个主线，把教学过程变成学生对知识的探索过程，让学生在由等式到不等式，由方程的解到不等式的解，在解方程到解不等式的类比教学过程中，潜移默化地学会用类比的思想方法思考和解决问题，积累数学活动的经验，在用式子和数轴表示不等式解集的教学中体会数形结合思想。
三、教学问题诊断分析
学生在小学阶段对不等量关系、数量大小的比较等知识已经有所了解，对符号“>”“<”并不陌生，学习过用方程表示问题情境中的等量关系。不等式和方程在分析解决实际问题中有许多共同点。教师可以在学生已有知识的基础上，结合七年级学生的认知特点，合理地应用类比思想，充分发挥正向迁移的积极作用，为其进一步学习不等式提供合理的平台。在知识障碍方面，不等式的解集是一个抽象的概念，涉及集合思想，学生理解起来较困难，特别是“解集”与“解”之间的关系，学生容易混淆。在数轴上表示解集是数和图形之间的相互转化，需要注意的地方很多，如不等号的方向与折射线的方向，画空心圆圈的情形等，学生在做题时容易产生误解。且学生对于将用文字语言表述的不等关系转化为用符号表示的不等式有一定困难。
基于以上分析，本节课的教学难点是学生能理解并掌握不等式的解集。
四、教学过程设计
（一）创设情境，引入新课
师：（生活引入）在前面，我们学习了与方程有关的很多知识，了解到生活中存在很多的等量关系。那么，请同学们想一想，在生活中是不是所有的关系都能用等量关系来表示？你能举几个例子说明吗？
（待学生自由发言后，教师使用多媒体展示一组生活中的学生所熟悉的表现不等关系的图片）
师：由此可见，“不相等”处处可见。这一节，我们就开始学习一类新的数学知识——不等式。
【设计意图】教师根据七年级学生的年龄特征、生活背景，引发学生注意，使学生产生好奇心，激发学生的学习兴趣，同时培养学生将实际生活中的问题抽象为数学问题的能力，使学生体会数学来源于生活的真谛。
（二）开展活动，首探新知
【活动1】想一想，得出不等式的概念
枣阳市某中学组织学生乘车前往火青陵园扫墓。已知该校与火青陵园的距离为50千米，他们上午11：20从学校出发，汽车匀速行驶。
（1）若该车计划中午12时准时到达火青陵园，车速应满足什么条件？
设车速为x千米/小时，可列式子：[CD#5]。
（2）若该车实际上在中午12时之前已到达火青陵园，车速应满足什么条件？
设车速为x千米/小时，可列式子：[CD#5]。
观察所得到的式子，它们之间有什么区别？
用符号“>”或“<”表示大小关系的式子，叫作[CD#5]。像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
【设计意图】教师采用类比的方法，适当改变教材问题呈现方式，按照“等式—不等式”的学习程序，学生自主解答，并在展示答案后自述列式理由。这样做，一是降低直接列不等式的难度；二是让学生在开课初就能感受类比的思想方法，实现已有知识的正迁移，这对培养学生良好的学习方式起到了引导作用；三是提供对比素材，通过“观察所得到的式子，它们之间有什么区别？”这个问题，指引思考方向，为获得不等式的概念奠定基础。 在获得不等式的概念后，教师出示练习题，以加深学生对概念的理解与掌握。
看谁最聪明
（1）下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？
①-2<5；②x+3>2x；③4x-2y<0；④a-2b；⑤x2-2x+1<0；⑥a+b≠c；⑦5m+3=8
（2）用不等式表示
①a是正数：
②a是负数：
③a与5的和小于7：
④a与2的差大于-1：
⑤a的4倍大于8：
⑥a的一半小于3：
【设计意图】第（1）题中有含未知数的不等式，也有不含未知数的不等式，有等式，也有代数式。对这些问题的解决，有效促使学生了解不等式的概念，认识不等式的特征，从而完成教学目标①。学生会识别不等式后，他们会列不等式吗？于是，自然产生第（2）题这种题型，并且是直接选用教材练习题，达到用好教材的目的。
（三）开展活动，再探新知
【活动2】填一填，理解不等式的解
待学生准确回答后，教师提问：
（1）含有未知数的等式叫什么？使方程的左边和右边相等的未知数的值叫什么？
（2）和方程的解类似，x=78使不等式2/3x>50成立，它叫作这个不等式的什么？表格中写出来的数中，还有这个不等式的解吗？
（3）你能说说什么叫不等式的解吗？
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作[CD#5]。
【设计意图】学生在正确填好表格的过程中，隐约能感受到方程的解和不等式的解之间有一定联系。教师通过三个问题将这种感觉外显，仍然遵循“方程的解—不等式的解”的类比学习程序，使学生初步理解不等式的解。
【活动3】探一探，由不等式的解得出它的解集→深思不等式的解集
学生思考：
（1）除了80和78，不等式2/3x>50还有其他解吗？
（2）如果有，你能再举出一些吗？这个不等式有多少个解？
（3）这些解应满足什么条件？
x>75表示能使不等式2/3x>50成立的x的取值范圍，叫作不等式2/3x>50的解的，简称。
师生活动：围绕第（2）个问题进行小组讨论，然后学生汇报发言。
【设计意图】问题（1）、问题（2）引起学生对x=78，80是不等式2/3x>50的解的反思，加深了学生对不等式的解的理解。然后，教师通过问题（3）让学生在小组里讨论发言，再结合教师的举例进一步理解任何一个大于75的数都是不等式的解，这样的解有无数个，而任何一个小于或等于75的数都不是不等式的解，从而针对这个具体例子引导学生由有限思考转向无限思考，初步感知无数个解的集合的思想，同时，建立知识间的联系，完善认知结构。
（4）这个解集在数轴上怎么表示？
第一步：；第二步：；第三步：。
师生活动：教师讲解示范，引导学生学习在数轴上表示不等式的解集的方法；师生讨论，归纳一般步骤。
【设计意图】用数轴表示不等式的解集，体现了数形结合思想，中间用到的一些数学知识是数学规定。教师示范引领得出画法，符合学生认知规律和数学学习规律，体现了教师作为组织者、引导者与合作者的地位和作用。同时，讨论、归纳用数轴表示不等式的解集的一般步骤，使学生进一步加深理解不等式的解集这个概念。
师：现在请同学们思考“想一想”中的问题。活动1的第（2）个问题，说汽车在12时之前已经到达火青陵园，那么车速应满足的条件是什么？由不等式x/50<2/3也能得出这个结果吗？
【设计意图】学生可能会凭直觉感知得出这个结果，也可能会根据不等式2/3x>50的解及解集的教学过程，意识到用代入验算的方法可以说明x>75能满足不等式x/50<2/3。教师可以适时说明有时直觉并不可靠，需要验证。另外，代入验算也只是一种方法，可能会导致以偏概全。这样，学生在以后的学习中会通过其他一些运算方法把x>75算出来。
至此，教师正式提出不等式的解集的概念，并叙述解不等式的概念。
师：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的[CD#5]。求不等式的解集的过程叫作[CD#5]。
【设计意图】开头从实际问题列出不等式，此处从不等式的解集到实际问题，首尾呼应，并通过一个新的问题，揭示了知识的内在联系。为使学生深入理解在一般情况下，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集，教师创造有效问题情境，使学生进一步感悟不等式的解集和它的解之间的联系。
（四）拓展研究，深化新知
【活动4】练一练，感悟不等式的解和解集的联系
例直接想出不等式x+4<6的解集，并在数轴上表示出来。
变式1：已知x的取值范围如下图所示，你能写出x的取值范围吗？
变式2：直接想出不等式2x>8的解集，并在数轴上表示出来。
变式3：直接想出不等式-2x>8的解集。
【设计意图】变式训练是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好的形式。源于此理念，教师将课后练习第3题的题型引入作为例题，并进行变式练习，深化了学生对概念本质属性的认识和把握，符合概念学习的有意义的学习原理。
（五）归纳小结，畅谈收获
师：愉快的时光总是短暂的，能说说你在这一堂课的收获吗？你有什么体会？
（学生自由发言，教师总结）
课件展示：
（师生一起回顾一元一次方程到等式的性质的学习过程，类比预知下节课将学习不等式的性质）
课件展示：
【设计意图】构建知识网络，完善学生认知结构。
（六）目标检测，反馈达标
（1）填空，用不等式表示：
①a与5的和是正数；
②a与2的差是负数；
③c的一半不等于-3。
【设计意图】检测学生对不等式的概念、不等式的符号语言、列不等式的掌握情况。
（2）下列数中是不等式x+3>6的解的是（）
【设计意图】检测学生对不等式的解的掌握情况。
（3）下面用数轴表示不等式x-2>2的解集，正确的是（）
【设计意图】检测学生对不等式的解集及用数轴表示不等式的解集的掌握情况。
（七）布置作业，快乐提高
（1）基础题：习题91第1、2、3题。
（2）拓展题：在活动1的问题解决中，我们已经得出汽车要在12：00之前到达火青陵园，车速必须大于75千米/小时。如果注意到路边的限速标记，则车速又应满足什么条件？如何用不等式表示这个速度？如何在数轴上表示这个范围？
【设计意图】巩固已学知识，并通过拓展题为后面的学习做好准备，既照应了本节课的实际问题情境，又能让学生反思、总结用数轴表示不等式的解集的方法，以便更好、更轻松地完成后续学习任务。