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【摘要】本文研究了时滞混沌神经元系统的耦合延迟同步。运用李雅普诺夫（Lyapunov）方法和线性矩阵不等式（LMI）技术，研究了误差动力系统的渐近稳定性，获得了一些判断耦合混沌系统之间实现延迟同步的新准则。尤为重要的是，本文巧妙地将LMI形式的结论转化为广义特征值极小化问题（GEVP）来求解，并运用该方法成功地求得了耦合强度的最小值。数值实验验证了本文结论的有效性和优越性。
【关键词】延迟同步；混沌；时滞神经元系统；线性矩阵不等式；广义特征值
1.引言
近年来，混沌同步在信息处理方面特别是保密通信、扩频通信等领域显示了良好的应用前景，使得对它的研究受到了广泛的关注。自1990年L.M.Pecora和T.L.Carroll开创性地提出了混沌同步的变量替代实现方案以来，更多的混沌同步控制的方法相继被提出，例如：模糊控制、脉冲控制、自适应控制、观测器同步法等。
同步的概念也被加以推广，如广义同步、相位同步、延迟同步、反向同步等。近年来，混沌系统的控制和同步研究及在保密通信中的应用成为新的热点。
在神经元系统中，神经元之间发生的时延将影响整个系统的动力学行为。时延混沌神经元系统存在无穷的正Lyapunov指数，因此无限的时延混沌神经系统在提高保密通信中的安全性方面有着广泛的应用。同步是混沌保密通信的关键环节。但是，到目前时延混沌神经网络的同步并没有取得理想的研究成果。
在本文中我们分析了耦合系统的动力误差体统的渐进稳定性。通过构造合适的Lyapunov函数，基于线型矩阵不等式（LMI：Linear Matrix Inequality）技术获得了耦合系统延迟同步的充分条件。如何确定同步的耦合强度是实际应用中的关键。本文运用广义特征值最小化算法（GEVP：Generalized Eigenvalue minimization programming algorithm）求解线型矩阵不等式组，获得了耦合强度的最小值。
本文余下部分组织如下：在第二节介绍了相关理论基础；第三节用本文提出的方法得到了新的耦合延迟同步准则；第四节运用GEVP算法求借建立的线型矩阵不等式组，得到了耦合强度的最小值；第五节的数值实验证明了本文方法的有效性；最后对本文的工作做了总结。
2.相关理论
本文中我们主要讨论具有时延的一般Hopfield神经网络的耦合延迟同步，其状态方程为：
其中是神经元的状态向量，是对角正定矩阵，和分别是连接权重矩阵和延迟的连接权重矩阵。是外部输入常数矩阵，是传输时延，是激活函数，，并满足以下假设：
假设（全局Lipschitz条件）：函数满足全局Lipschitz条件，即存在正的常数使得对任意和不等式成立。
如果我们设定合适的激活函数以及参数的值，神经元系统（2）将出现混沌行为（如本文的数值实验）。
为进一步展开本文的研究先引入以下引理和定义：
定义1（延迟同步）.如果存在常数因子使得两个系统是线型一致的，但其中一个系统延迟于另一个，即对正数使得，则称系统（1）和系统（3）是延迟同步的。
3.混沌时延神经元系统的耦合延迟同步
为获得同步条件，我们用单向线型误差反馈方法构造原系统的耦合系统。如果将系统（1）称为驱动系统，那么其对应的响应系统可描述为：
到此证明完毕。
4.用最小化广义特征值算法求解线型矩阵不等式组
在实际应用中，确定合适的耦合强度是实现系统同步的关键。在本文研究中，我们通过最小化广义特征值算法求解线型矩阵不等式组，求得了耦合强度的最小值。
我们将条件（8）转化为具有线型矩阵不等式约束条件的最优化问题：
（9）是最小化广义特征值问题（GEVP），可以用Matlab中的“LMI Control Toolbox”中的“”函数进行求解。如果最优化问题（9）是可行的，那么系统（1）和（3）是延迟同步的，并且（8）的最优解就是耦合强度的最小值，也即。
有研究表明耦合强度的增大会破坏耦合系统的同步，而在本文中，我们不仅得到了混沌系统的同步准则，同时也得到了耦合强度的最小值。本文得到的定理和推论是实现同步的充分条件，构造不同的Lyapunov函数会得到不同的同步准则。
5.数值实验
在数值实验中，我们仅考虑两个神经元的时延系统，选择活化函数，以及设置参数，，，，和。则混沌耦合系统为：
设置初始条件为，，，。计算可得，，，，，。在Matlab中，用函数求解最优化问题（8），得到（8）是可行的同时得到的最优解，即耦合强度。此时耦合系统（9）和（10）是延迟同步的。
图1展现了系统（10）的混沌动力学行为，耦合系统（10）和（11）的延迟同步如图2所示。
6.结论
因混沌时延神经元系统的复杂动力学行为，近年来被广泛用于保密通信和控制中，而同步是混沌通信的关键技术。本文研究了时延神经元系统的耦合延迟同步，通过Lyapunov稳定性理论分析了动力误差系统的渐进稳定性，用线型矩阵不等式技术得到了耦合系统延迟同步的充分条件。本文还用最小化广义特征值算法得到了耦合强度的最小值。最后通过数值实验证明了本文方法以及结论的正确性。
参考文献
[1]Jinhu Lü，Tianshou Zhou，Suochun Zhang.Chaos synchronization between linearly coupled chaotic systems，Chaos，Solitons and Fractals 14（2002）：529-541.
[2]Chuandong Li，Xiaofeng Liao，Kwok-wo Wong.Chaotic lag synchronization of coupled time-delayed systems and its applications in secure communication，Physica D194（2004）：187-202.
[3]Ju H.Park.stability criterion for synchronization of linearly coupled unified chaotic systems，Chaos，Solitons and Fractals 23（2005）：1319-1325.
[4]Jinde Cao，Daniel W.C.Ho.A general framework for global asymptotic stability analysis of delayed neural networks based on LMI approach，Chaos，Solitons and Fractals 24（2005）：1317-1329.
【关键词】延迟同步；混沌；时滞神经元系统；线性矩阵不等式；广义特征值
1.引言
近年来，混沌同步在信息处理方面特别是保密通信、扩频通信等领域显示了良好的应用前景，使得对它的研究受到了广泛的关注。自1990年L.M.Pecora和T.L.Carroll开创性地提出了混沌同步的变量替代实现方案以来，更多的混沌同步控制的方法相继被提出，例如：模糊控制、脉冲控制、自适应控制、观测器同步法等。
同步的概念也被加以推广，如广义同步、相位同步、延迟同步、反向同步等。近年来，混沌系统的控制和同步研究及在保密通信中的应用成为新的热点。
在神经元系统中，神经元之间发生的时延将影响整个系统的动力学行为。时延混沌神经元系统存在无穷的正Lyapunov指数，因此无限的时延混沌神经系统在提高保密通信中的安全性方面有着广泛的应用。同步是混沌保密通信的关键环节。但是，到目前时延混沌神经网络的同步并没有取得理想的研究成果。
在本文中我们分析了耦合系统的动力误差体统的渐进稳定性。通过构造合适的Lyapunov函数，基于线型矩阵不等式（LMI：Linear Matrix Inequality）技术获得了耦合系统延迟同步的充分条件。如何确定同步的耦合强度是实际应用中的关键。本文运用广义特征值最小化算法（GEVP：Generalized Eigenvalue minimization programming algorithm）求解线型矩阵不等式组，获得了耦合强度的最小值。
本文余下部分组织如下：在第二节介绍了相关理论基础；第三节用本文提出的方法得到了新的耦合延迟同步准则；第四节运用GEVP算法求借建立的线型矩阵不等式组，得到了耦合强度的最小值；第五节的数值实验证明了本文方法的有效性；最后对本文的工作做了总结。
2.相关理论
本文中我们主要讨论具有时延的一般Hopfield神经网络的耦合延迟同步，其状态方程为：
其中是神经元的状态向量，是对角正定矩阵，和分别是连接权重矩阵和延迟的连接权重矩阵。是外部输入常数矩阵，是传输时延，是激活函数，，并满足以下假设：
假设（全局Lipschitz条件）：函数满足全局Lipschitz条件，即存在正的常数使得对任意和不等式成立。
如果我们设定合适的激活函数以及参数的值，神经元系统（2）将出现混沌行为（如本文的数值实验）。
为进一步展开本文的研究先引入以下引理和定义：
定义1（延迟同步）.如果存在常数因子使得两个系统是线型一致的，但其中一个系统延迟于另一个，即对正数使得，则称系统（1）和系统（3）是延迟同步的。
3.混沌时延神经元系统的耦合延迟同步
为获得同步条件，我们用单向线型误差反馈方法构造原系统的耦合系统。如果将系统（1）称为驱动系统，那么其对应的响应系统可描述为：
到此证明完毕。
4.用最小化广义特征值算法求解线型矩阵不等式组
在实际应用中，确定合适的耦合强度是实现系统同步的关键。在本文研究中，我们通过最小化广义特征值算法求解线型矩阵不等式组，求得了耦合强度的最小值。
我们将条件（8）转化为具有线型矩阵不等式约束条件的最优化问题：
（9）是最小化广义特征值问题（GEVP），可以用Matlab中的“LMI Control Toolbox”中的“”函数进行求解。如果最优化问题（9）是可行的，那么系统（1）和（3）是延迟同步的，并且（8）的最优解就是耦合强度的最小值，也即。
有研究表明耦合强度的增大会破坏耦合系统的同步，而在本文中，我们不仅得到了混沌系统的同步准则，同时也得到了耦合强度的最小值。本文得到的定理和推论是实现同步的充分条件，构造不同的Lyapunov函数会得到不同的同步准则。
5.数值实验
在数值实验中，我们仅考虑两个神经元的时延系统，选择活化函数，以及设置参数，，，，和。则混沌耦合系统为：
设置初始条件为，，，。计算可得，，，，，。在Matlab中，用函数求解最优化问题（8），得到（8）是可行的同时得到的最优解，即耦合强度。此时耦合系统（9）和（10）是延迟同步的。
图1展现了系统（10）的混沌动力学行为，耦合系统（10）和（11）的延迟同步如图2所示。
6.结论
因混沌时延神经元系统的复杂动力学行为，近年来被广泛用于保密通信和控制中，而同步是混沌通信的关键技术。本文研究了时延神经元系统的耦合延迟同步，通过Lyapunov稳定性理论分析了动力误差系统的渐进稳定性，用线型矩阵不等式技术得到了耦合系统延迟同步的充分条件。本文还用最小化广义特征值算法得到了耦合强度的最小值。最后通过数值实验证明了本文方法以及结论的正确性。
参考文献
[1]Jinhu Lü，Tianshou Zhou，Suochun Zhang.Chaos synchronization between linearly coupled chaotic systems，Chaos，Solitons and Fractals 14（2002）：529-541.
[2]Chuandong Li，Xiaofeng Liao，Kwok-wo Wong.Chaotic lag synchronization of coupled time-delayed systems and its applications in secure communication，Physica D194（2004）：187-202.
[3]Ju H.Park.stability criterion for synchronization of linearly coupled unified chaotic systems，Chaos，Solitons and Fractals 23（2005）：1319-1325.
[4]Jinde Cao，Daniel W.C.Ho.A general framework for global asymptotic stability analysis of delayed neural networks based on LMI approach，Chaos，Solitons and Fractals 24（2005）：1317-1329.