论文部分内容阅读
现代一般认为微分几何学作为一门数学分支而独立存在，主要应归功于19世纪德国大数学家高斯关于曲面内蕴几何的杰出思想。在20世纪现代数学的众多分支中，微分几何已成为一门十分重要的主流分支学科。现代数学中之所以要大量使用微分几何学方法的主要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要，并且整体微分几何往往与代数几何、代数拓扑、微分拓扑、多复变函数论、偏微分方程等学科交织在一起，形成了更抽象的现代意义上的几何学。
经典微分几何主要从局部的角度来研究3维欧氏空间中的光滑曲线和光滑曲面。18世纪和19世纪的数学家们运用多元微积分刻画曲线和曲面的形状和弯曲程度。他们引入了曲率的重要概念，包括曲线的曲率、曲面上曲线的法曲率和曲面的高斯曲率等。
19世纪初，高斯证明了“高斯曲率仅与曲面的内在度量有关”这一十分重要的内蕴几何命题，这意味着，表面上看来与包含了曲面的3维空间有关的高斯曲率K，实际上与曲面所在的外部空间完全没有关系，这个发现在微分几何学的历史上具有重大意义。高斯在他1827年的微分几何著作中系统地创立了曲面的内蕴几何学，他的主要思想是强调曲面本身的几何量，它们包括了曲面上曲线的长度、曲面上两条曲线的夹角、曲面上区域的面积、测地线（即连接曲面上两点且位于曲面上的最短曲线，如球面上的大圆弧）、测地曲率和高斯曲率等只依赖于曲面内部度量的几何量。
高斯的内蕴几何理论为后来高维的黎曼几何学的产生奠定了坚实的理论基础。黎曼在他著名的1854年就职演讲中，提出了高维的黎曼流形的基本思想和一些初步的研究成果，这种高维流形独立于外在的空间而存在，并且局部又类似于欧氏空间（就像光滑曲面在局部的形状类似于切平面一样）。在这种很抽象的微分流形上，可以赋予现在被称为“黎曼度量”的距离概念，用以计算流形内几何体的长度、面积、各种维数的体积、测地线或其他的几何不变量，特别是还有类似于高斯曲率K那样的用来刻画几何体形状的黎曼曲率张量。这样，黎曼就将高斯曲面理论的主要内容基本上都推广到了高维的黎曼流形上。
19世纪后期，以克里斯托费尔（E. B. Christoffel）和里奇（G. RicciCurbastro）为代表的一些数学家把黎曼几何学当成了二次微分形式的不变量理论来研究，从中建立了协变微分的基本概念和张量分析的方法，以此来进一步阐发黎曼的深刻思想。协变微分的概念实际上是微积分中微分概念的自然推广，而像高斯曲率K和黎曼曲率这样的基本几何量都是张量，张量的一个特点是指标特别多（如这里的i， j， k， l），令人感到有些眼花缭乱。张量分析方法虽然有这个缺点，但它确实是描写和表达黎曼流形的局部几何性质所必需的，这里所说的局部性质是指在流形的一个充分小邻域中的性质。
然而到20世纪初期，包括早期黎曼几何在内的经典微分几何学逐渐进入了一个发展的瓶颈期，局部坐标下大量繁琐的张量指标运算往往掩盖了黎曼流形非常丰富的几何与拓扑内涵，此外再加上20世纪初抽象代数与拓扑学的方法还未成熟，所以就很难再将局部黎曼几何的研究进一步向前推进到整体黎曼几何的境地。究竟路在何方？这是很多数学家思考的问题。
在1900年前后的几年里，庞加莱写了一系列关于代数拓扑方面的论文，其中给出了他所发现的微分流形最基本的拓扑不变量：同调群和同伦群。与此同时，é.嘉当（é. J. Cartan）对一种被称为“李群”的特殊微分流形以及它上面的微分形式（也称为“外微分形式”）的理论进行了深入研究。接下来，另一位大数学家外尔（C. Weyl）还建立了关于黎曼曲面的系统理论，所有这一切才使得微分流形的概念和理论慢慢清晰起来，从而开始为整体黎曼几何学建立起真正的理论基础与框架。
微分流形的严格定义是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，这里的要点是：微分流形必须是独立于外在的几何空间而存在。这种几何观念甚至比非欧几何还要激进。在波尔约（J. Bolyai）和罗巴切夫斯基（N. Lobachevsky）的非欧双曲平面上，虽然每一个三角形的内角和都小于180°，但是由于在这种平面上任意点处的曲率都是相等的，因此每个三角形在平面内可以自由地移来移去，并且还有相关的几何图形可让人进行直观想象。但是在任意维数的微分流形上，可以设置各种各样的黎曼度量，而且每一点的曲率也不一定相同，因此其中所包含的更小的“子流形”就不能随意地移来移去了。更麻烦的是，大于3维的微分流形完全不能进行几何直观的想象，人們只能凭借代数和分析的工具，通过推理和具体的数学计算来抽象地把控微分流形。
爱因斯坦从上述引力场方程中求出了一些近似解，然后利用这些近似解给出了三个著名的预言：引力红移、行星近日轨道进动、光线偏折。这三个预言都得到了实验检验和支持。广义相对论的诞生直接导致了黑洞和宇宙学理论的建立，形成了人类对宇宙本质和起源的正确认识。广义相对论的巨大成功充分说明黎曼几何学在描述自然界规律时是极其有效的。反过来，物理学上的应用也极大地促进了数学家们对黎曼几何学及其相关的数学做进一步的深入研究。
与爱因斯坦研究广义相对论同时，列维—齐维塔（T. Levi-Civita）为了弄清楚协变微分概念和黎曼曲率张量的真正几何含义，提出了黎曼流形中“平行移动”的简单概念，即给出了黎曼流形中两个不同点处的切向量是否平行的判别法则。这个平行移动的概念在微分几何学中可以说比度量的概念还要基本，因此不久后外尔进一步将它发展成为“仿射联络”这一现代微分几何中最基本的概念。所谓“联络”，简单地说就是切空间的求导法则（回忆平面曲线的曲率是用切向量的转动来定义的），它在本质上已经与流形中的度量没有关系，因此完全可以不依赖于度量和距离的概念而构造一种“仿射联络”的几何学。就像黎曼将度量从空间中分离出来一样，外尔相当于是将联络从度量当中分离了出来。
é.嘉当也对联络的理论有着十分重要的贡献。他著名的“活动标架”方法其实就是“向量丛”概念的雏形，现在人们一般都是用记号p∶E→M来表示向量丛E的，其中微分流形M上的每个点x的“纤维”p-1（x）都是向量空间（例如每个点x∈M的切空间就是这样的向量空间，因此它们组成了M的“切丛”）。不仅如此，用来刻画流形弯曲程度的联络概念进一步被é.嘉当推广成了向量丛上的联络，并且他还用十分重要的微分形式的数学语言来表示向量丛上的联络。后来的数学家们又从向量丛的理论中抽象出了更一般的“纤维丛”理论。
é.嘉当在研究李群的整体拓扑性质时，发现从微分形式中可以直接得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深刻联系。这个重要发现就是后来在1931年被德拉姆（G. de Rham）所证明的德拉姆定理：由微分流形M的所有微分形式确定的德拉姆上同调群与M的拓扑上同调群是完全一致的。因为德拉姆上同调群是由M中线性无关的“微分形式上同调类”组成的，所以从这个定理就可以得到一个重要的结论：可以用微分形式上同调类来作为微分流形M的拓扑不变量。过了十多年，霍奇（W. Hodge）又证明了一个十分漂亮的定理：在任何黎曼流形上，每个微分形式上同调类中都含有唯一的调和微分形式。由于调和微分形式是椭圆型偏微分方程的解，因此这个著名的霍奇定理直接建立起了黎曼流形的拓扑性质与椭圆型偏微分方程解空间的最基本联系。
也是在1931年左右，以凯勒（E. K？hler）为代表的一些数学家开始研究一种很重要的复微分流形——凯勒流形。这种复流形是黎曼流形对于复数世界的自然推广，例如凯勒流形就具有和黎曼度量相似的“凯勒度量”。和黎曼流形相比，凯勒流形具有更丰富的几何与拓扑性质，并且由此可以直接沟通微分几何学与代数几何学的联系（这是因为代数几何学研究的代数簇中有许多是凯勒流形）。在凯勒流形上，对于表现流形拓扑性质的微分形式上同调类，可以建立起十分完美的由霍奇定理发展而成的霍奇理论。
就这样，在20世纪的上半叶，数学家们已经为整体微分几何学的兴起和成长做好了一些初步的理论准备。
關键词：微分几何 黎曼几何 广义相对论 微分流形 曲率联络 ■
20世纪前经典微分几何学的发展状况
经典微分几何主要从局部的角度来研究3维欧氏空间中的光滑曲线和光滑曲面。18世纪和19世纪的数学家们运用多元微积分刻画曲线和曲面的形状和弯曲程度。他们引入了曲率的重要概念，包括曲线的曲率、曲面上曲线的法曲率和曲面的高斯曲率等。
19世纪初，高斯证明了“高斯曲率仅与曲面的内在度量有关”这一十分重要的内蕴几何命题，这意味着，表面上看来与包含了曲面的3维空间有关的高斯曲率K，实际上与曲面所在的外部空间完全没有关系，这个发现在微分几何学的历史上具有重大意义。高斯在他1827年的微分几何著作中系统地创立了曲面的内蕴几何学，他的主要思想是强调曲面本身的几何量，它们包括了曲面上曲线的长度、曲面上两条曲线的夹角、曲面上区域的面积、测地线（即连接曲面上两点且位于曲面上的最短曲线，如球面上的大圆弧）、测地曲率和高斯曲率等只依赖于曲面内部度量的几何量。
高斯的内蕴几何理论为后来高维的黎曼几何学的产生奠定了坚实的理论基础。黎曼在他著名的1854年就职演讲中，提出了高维的黎曼流形的基本思想和一些初步的研究成果，这种高维流形独立于外在的空间而存在，并且局部又类似于欧氏空间（就像光滑曲面在局部的形状类似于切平面一样）。在这种很抽象的微分流形上，可以赋予现在被称为“黎曼度量”的距离概念，用以计算流形内几何体的长度、面积、各种维数的体积、测地线或其他的几何不变量，特别是还有类似于高斯曲率K那样的用来刻画几何体形状的黎曼曲率张量。这样，黎曼就将高斯曲面理论的主要内容基本上都推广到了高维的黎曼流形上。
19世纪后期，以克里斯托费尔（E. B. Christoffel）和里奇（G. RicciCurbastro）为代表的一些数学家把黎曼几何学当成了二次微分形式的不变量理论来研究，从中建立了协变微分的基本概念和张量分析的方法，以此来进一步阐发黎曼的深刻思想。协变微分的概念实际上是微积分中微分概念的自然推广，而像高斯曲率K和黎曼曲率这样的基本几何量都是张量，张量的一个特点是指标特别多（如这里的i， j， k， l），令人感到有些眼花缭乱。张量分析方法虽然有这个缺点，但它确实是描写和表达黎曼流形的局部几何性质所必需的，这里所说的局部性质是指在流形的一个充分小邻域中的性质。
然而到20世纪初期，包括早期黎曼几何在内的经典微分几何学逐渐进入了一个发展的瓶颈期，局部坐标下大量繁琐的张量指标运算往往掩盖了黎曼流形非常丰富的几何与拓扑内涵，此外再加上20世纪初抽象代数与拓扑学的方法还未成熟，所以就很难再将局部黎曼几何的研究进一步向前推进到整体黎曼几何的境地。究竟路在何方？这是很多数学家思考的问题。
20世纪上半叶现代微分几何学的酝酿和兴起
在1900年前后的几年里，庞加莱写了一系列关于代数拓扑方面的论文，其中给出了他所发现的微分流形最基本的拓扑不变量：同调群和同伦群。与此同时，é.嘉当（é. J. Cartan）对一种被称为“李群”的特殊微分流形以及它上面的微分形式（也称为“外微分形式”）的理论进行了深入研究。接下来，另一位大数学家外尔（C. Weyl）还建立了关于黎曼曲面的系统理论，所有这一切才使得微分流形的概念和理论慢慢清晰起来，从而开始为整体黎曼几何学建立起真正的理论基础与框架。
微分流形的严格定义是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，这里的要点是：微分流形必须是独立于外在的几何空间而存在。这种几何观念甚至比非欧几何还要激进。在波尔约（J. Bolyai）和罗巴切夫斯基（N. Lobachevsky）的非欧双曲平面上，虽然每一个三角形的内角和都小于180°，但是由于在这种平面上任意点处的曲率都是相等的，因此每个三角形在平面内可以自由地移来移去，并且还有相关的几何图形可让人进行直观想象。但是在任意维数的微分流形上，可以设置各种各样的黎曼度量，而且每一点的曲率也不一定相同，因此其中所包含的更小的“子流形”就不能随意地移来移去了。更麻烦的是，大于3维的微分流形完全不能进行几何直观的想象，人們只能凭借代数和分析的工具，通过推理和具体的数学计算来抽象地把控微分流形。
爱因斯坦从上述引力场方程中求出了一些近似解，然后利用这些近似解给出了三个著名的预言：引力红移、行星近日轨道进动、光线偏折。这三个预言都得到了实验检验和支持。广义相对论的诞生直接导致了黑洞和宇宙学理论的建立，形成了人类对宇宙本质和起源的正确认识。广义相对论的巨大成功充分说明黎曼几何学在描述自然界规律时是极其有效的。反过来，物理学上的应用也极大地促进了数学家们对黎曼几何学及其相关的数学做进一步的深入研究。
与爱因斯坦研究广义相对论同时，列维—齐维塔（T. Levi-Civita）为了弄清楚协变微分概念和黎曼曲率张量的真正几何含义，提出了黎曼流形中“平行移动”的简单概念，即给出了黎曼流形中两个不同点处的切向量是否平行的判别法则。这个平行移动的概念在微分几何学中可以说比度量的概念还要基本，因此不久后外尔进一步将它发展成为“仿射联络”这一现代微分几何中最基本的概念。所谓“联络”，简单地说就是切空间的求导法则（回忆平面曲线的曲率是用切向量的转动来定义的），它在本质上已经与流形中的度量没有关系，因此完全可以不依赖于度量和距离的概念而构造一种“仿射联络”的几何学。就像黎曼将度量从空间中分离出来一样，外尔相当于是将联络从度量当中分离了出来。
é.嘉当也对联络的理论有着十分重要的贡献。他著名的“活动标架”方法其实就是“向量丛”概念的雏形，现在人们一般都是用记号p∶E→M来表示向量丛E的，其中微分流形M上的每个点x的“纤维”p-1（x）都是向量空间（例如每个点x∈M的切空间就是这样的向量空间，因此它们组成了M的“切丛”）。不仅如此，用来刻画流形弯曲程度的联络概念进一步被é.嘉当推广成了向量丛上的联络，并且他还用十分重要的微分形式的数学语言来表示向量丛上的联络。后来的数学家们又从向量丛的理论中抽象出了更一般的“纤维丛”理论。
é.嘉当在研究李群的整体拓扑性质时，发现从微分形式中可以直接得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深刻联系。这个重要发现就是后来在1931年被德拉姆（G. de Rham）所证明的德拉姆定理：由微分流形M的所有微分形式确定的德拉姆上同调群与M的拓扑上同调群是完全一致的。因为德拉姆上同调群是由M中线性无关的“微分形式上同调类”组成的，所以从这个定理就可以得到一个重要的结论：可以用微分形式上同调类来作为微分流形M的拓扑不变量。过了十多年，霍奇（W. Hodge）又证明了一个十分漂亮的定理：在任何黎曼流形上，每个微分形式上同调类中都含有唯一的调和微分形式。由于调和微分形式是椭圆型偏微分方程的解，因此这个著名的霍奇定理直接建立起了黎曼流形的拓扑性质与椭圆型偏微分方程解空间的最基本联系。
也是在1931年左右，以凯勒（E. K？hler）为代表的一些数学家开始研究一种很重要的复微分流形——凯勒流形。这种复流形是黎曼流形对于复数世界的自然推广，例如凯勒流形就具有和黎曼度量相似的“凯勒度量”。和黎曼流形相比，凯勒流形具有更丰富的几何与拓扑性质，并且由此可以直接沟通微分几何学与代数几何学的联系（这是因为代数几何学研究的代数簇中有许多是凯勒流形）。在凯勒流形上，对于表现流形拓扑性质的微分形式上同调类，可以建立起十分完美的由霍奇定理发展而成的霍奇理论。
就这样，在20世纪的上半叶，数学家们已经为整体微分几何学的兴起和成长做好了一些初步的理论准备。
關键词：微分几何 黎曼几何 广义相对论 微分流形 曲率联络 ■