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摘 要：高新技术产品价格、市场需求往往在销售策略变化、产品更新、某项政策或法案通过后发生较大的变动，而这些产品在此两阶段不确定需求下都具备一个非常明显的特征，即产品之间的价格驱动替代性越来越明显。本文考虑出售两种价格驱动可替代产品的零售企业，以期望利润最大化为目标，在两阶段不确定需求下的订货决策。通过模型建立求解并数值实验得出的结论有：产品之间的替代能力是零售企业最优定价决策、订货决策以及企业收益的重要影响因素。
关键词：价格驱动可替代产品 两阶段不确定需求 订货决策
一、引言
随着科技的发展和竞争的日益激烈，产品更新节奏加快。特别是高新技术产品，其价格、市场需求在销售策略变化、产品更新、某项政策或法案通过后通常会发生较大变动。在产品更新方面，如PC、手机等IT产品，在换代产品推出之前，市场需求量相对稳定。而当生产商推出一种新的换代产品时，会制定一个比较高的价格面向高端客户进行销售，但销售量通常较小，旧产品则会通过降价获得比较高的销量；新旧产品依次更迭，市场需求也因此发生变化。故这一类产品的零售企业经常需要面对产品在销售过程中销售价格和需求不断变化的问题。典型的案例是iphone 6s正式发售后iphone 5系列、iphone 6/6plus等产品的价格和需求的显著变化对零售企业订货决策的影响。在政策影响方面，典型的案例就是2015年10月1日起实施的1.6L及以下乘用车购置税减半造成的1.6L及以下和1.6L以上乘用车价格变化對汽车行业市场需求的影响。
以上高新技术产品以及汽车在上述两阶段不确定需求状态下都具备了一个非常明显的特征，那就是在市场上质量或功能相近但价格不一，那么产品之间的价格驱动替代性就越来越明显。因此，多数零售企业都同时销售多种可相互替代的产品，在预测产品的需求以及做订货决策时，必须考虑同类产品在满足需求上的替代性。
关于可替代产品订货决策，已有不少文章对此进行研究。Mc Gillivray和Silver（1978）首先提出了双向可替代产品的库存问题，研究了在经济订货批量下产品可替代性对库存控制策略的影响。Zheng（1999）建立了零售企业多可替代产品多阶段的库存模型，解决了如何利用现有库存量满足已经确定的市场需求，也证明了目标函数是凹的和子模的，故最优订货量存在且唯一，但是没有给出最优订货量的求解过程和具体方法。陈旭（2004）给出了随机需求环境下两种可双向替代易逝品的零售企业最优订货策略，并且讨论了替代系数、产品的边际利润和产品的零售价格对零售企业订货量的影响。以上研究涉及的产品替代均为库存驱动替代，关于产品价格驱动替代方面的研究，谭顺勇（2010）建立了基于两种价格驱动可替代产品下的非合作基本模型和收益共享扩展模型，证明了非合作条件下的不可协调性，同时给出了双方合作取得供应链协调时具体的各项策略。
针对产品价格驱动可替代性，本文考虑两阶段不确定需求下零售企业的最优订货决策。以收益最大化为目标建立模型，确定两阶段两产品的最优订货量。
二、问题描述
考虑一个零售企业在售的两种可替代产品面临两阶段需求，第一阶段为固定的大客户需求，产品第一阶段的基本需求为；第二阶段受未来不确定状态的影响（如新政策出台、产品更新），假设有两种可能状态，状态A和状态B且Ω={θ∣A，B}，且状态A和B发生的概率分别为η和1-η。当状态为A时，第二阶段产品的需求预测函数为，其中αi>0表示需求无法替代的部分，而β>γ>0表示当β-γ越大时，产品3-i相对于产品有越低的替代能力；为了使分析有意义，定义α，β满足；那么产品的市场需求为，其中表示需求预测波动的随机变量，且；那么的概率密度函数为，概率分布函数为且；当状态为B时，第二阶段产品的市场需求为，其中表示需求预测波动的随机变量，且，则概率密度函数为，概率分布函数为。假设连续、可导且严格递增的，很多分布都符合这样的性质，如正态分布、均匀分布、指数分布、韦伯分布等。
假设零售企业产品的采购批发单价为，第阶段产品的销售价格为，单位缺货成本为，销售期末单位产品残值为；在第一阶段初期零售企业确定产品订货量和（理性的零售企业第一阶段订货量会满足），第一阶段需求实现，未售出的产品转移到第二阶段；在第二阶段初期零售企业选择产品订货量q21和q22，满足第二阶段的客户需求。
三、零售企业的最优订货决策模型建立与求解
若第二阶段状态为θ（θ=A，B）时，则两阶段需求下零售企业第二阶段的期望利润为
其中， ，对上式求最大化问题，即找到第二阶段产品1、2的订货量，使其满足
由上式我们得到
由此可见，零售企业第二阶段在状态θ下的产品1、2最优订货量为
那么，考虑到理性的的零售企业在第一阶段会选择订货量满足，故此时第一阶段零售企业的最优化问题可表示为：
上式对求一阶导得
其中，故。由一阶条件可知，零售企业无资金约束下两阶段不确定需求下的第一阶段订货量并不影响其期望利润，只需要满足条件即可。
命题1 当第二阶段不确定需求状态为θ时，零售企业第一阶段最优订货量只需满足即可，零售企业第二阶段最优订货量为
从命题1可以看出，第二阶段不确定需求状态并不影响零售企业第一阶段的订货量，零售企业订至少能满足这个阶段的产品即可，这样第一阶段就不会出现缺货。第一阶段未售出的产品转移到第二阶段，第二阶段则根据第一阶段订货量以及第二阶段的市场需求状态来调整订货量。
四、数值仿真
假设零售企业两种产品采购批发单价分别为，产品1，2第一阶段销售价格分别为为，第二阶段销售价格为，单位缺货成本为，销售期末单位产品残值为；第一阶段两产品的基本需求分别为，第二阶段两种可能状态A和B发生的概率分别为0.2和0.8；当状态为A时，第二阶段产品1、2需求服从均值分别为、的均匀分布；当状态为B时，第二阶段产品1、2需求分别为区间[0，1000]、[0，600]上的均匀分布；两阶段零售企业的在售产品1、2最优订货量随两产品价格的变化如图1所示。 由上图1可知，产品1两阶段最优订货量随两产品价格上升而上升，而产品2两阶段最优订货量随产品1的价格上升而上升，随产品2价格的增长首先上升之后呈下降趋势。
结合图2可知，对于高价产品，当β-γ大到一定程度时，也就是低价产品相对于高价产品替代能力越低时，低价产品对高价产品需求影响较弱，也就是，低价产品的价格增长并不能有效地促进消费者去购买更多的高价产品，此时高价产品价格若是过高，会显著减少其市场需求，最优订货量和零售企业期望利润也相应减少。另一方面，当β=100，随着γ逐渐增大，产品之间因为价格的改变对彼此需求影响越来越大，在这种情况下，零售企业最优订货量和期望利润都随着价格的增长而增长。说明产品之间替代能力越强，越能增加市场需求和消费量，进一步增加零售企业销售利润。
由上表可知，零售企业期望利润是第二阶段两种状态下的期望利润与对应状态发生概率的积和，即：。在状态B期望利润值固定的情况下，零售企业期望利润与第二阶段需求状态为A的情况下的期望利润成正相关。若状态A是利好状态，即，状态A发生的概率越大，对零售企业越有利。
五、结语
本文考虑面临未来不确定性状态以及伴随着价格的改变对可替代产品需求变化导致的需求双重不确定的情况下零售企业的价格决策和订货决策行为。通过模型求解和数值实验，得出结论高新技术产品之间的替代能力是零售企业最优定价决策、订货决策以及企业收益的重要影响因素。所得结论可为不确定需求状态下销售两种可替代产品的零售企业提供一定的参考价值。
参考文献：
[1]Mc Gillivray A， Silver Edward A. Some concept for inventory control under substitutable demand[J]. INFOR Journal.1978，v16，n1，p47-63，Feb.
[2]Zheng S. Multiproduct Multiperiod Inventory Models with Substitution[R]. Hong Kong Universty of Science and Technology， 1999.
[3]陳旭. 面向随机需求的可替代易逝品订货策略[J]. 系统管理学报， 2004， 13（4）：300-304.
[4]谭顺勇， 李军， 王明超. 基于可替代产品的收益共享扩展模型[J]. 商业研究， 2010（3）：23-27.
[5]蔡连侨， 陈剑， 严厚民. 可替代产品的库存模型研究（Ⅰ）：最优订货量[J]. 系统工程理论与实践， 2004， 23（6）：63-68.
[6]官振中， 任建标. 价格和库存驱动替代的两产品动态定价策略[J]. 系统管理学报， 2013， 22（2）：177-184.
[7]周江涛， 杨剑波， 徐冬玲，等. 单向可替代产品价格和库存的联合决策[J]. 数学的实践与认识， 2011， 41（07）：51-62.
[8]苏兵， 徐渝， 陈金亮，等. 单周期二人博弈可替代产品库存模型的应用研究[J]. 中国管理科学， 2005， 13（01）：53-59.
[9]刘天亮， 戴更新， 侯云章. 弹性需求下可替代产品的库存模型研究[J]. 物流技术， 2004（05）：76-78.
关键词：价格驱动可替代产品 两阶段不确定需求 订货决策
一、引言
随着科技的发展和竞争的日益激烈，产品更新节奏加快。特别是高新技术产品，其价格、市场需求在销售策略变化、产品更新、某项政策或法案通过后通常会发生较大变动。在产品更新方面，如PC、手机等IT产品，在换代产品推出之前，市场需求量相对稳定。而当生产商推出一种新的换代产品时，会制定一个比较高的价格面向高端客户进行销售，但销售量通常较小，旧产品则会通过降价获得比较高的销量；新旧产品依次更迭，市场需求也因此发生变化。故这一类产品的零售企业经常需要面对产品在销售过程中销售价格和需求不断变化的问题。典型的案例是iphone 6s正式发售后iphone 5系列、iphone 6/6plus等产品的价格和需求的显著变化对零售企业订货决策的影响。在政策影响方面，典型的案例就是2015年10月1日起实施的1.6L及以下乘用车购置税减半造成的1.6L及以下和1.6L以上乘用车价格变化對汽车行业市场需求的影响。
以上高新技术产品以及汽车在上述两阶段不确定需求状态下都具备了一个非常明显的特征，那就是在市场上质量或功能相近但价格不一，那么产品之间的价格驱动替代性就越来越明显。因此，多数零售企业都同时销售多种可相互替代的产品，在预测产品的需求以及做订货决策时，必须考虑同类产品在满足需求上的替代性。
关于可替代产品订货决策，已有不少文章对此进行研究。Mc Gillivray和Silver（1978）首先提出了双向可替代产品的库存问题，研究了在经济订货批量下产品可替代性对库存控制策略的影响。Zheng（1999）建立了零售企业多可替代产品多阶段的库存模型，解决了如何利用现有库存量满足已经确定的市场需求，也证明了目标函数是凹的和子模的，故最优订货量存在且唯一，但是没有给出最优订货量的求解过程和具体方法。陈旭（2004）给出了随机需求环境下两种可双向替代易逝品的零售企业最优订货策略，并且讨论了替代系数、产品的边际利润和产品的零售价格对零售企业订货量的影响。以上研究涉及的产品替代均为库存驱动替代，关于产品价格驱动替代方面的研究，谭顺勇（2010）建立了基于两种价格驱动可替代产品下的非合作基本模型和收益共享扩展模型，证明了非合作条件下的不可协调性，同时给出了双方合作取得供应链协调时具体的各项策略。
针对产品价格驱动可替代性，本文考虑两阶段不确定需求下零售企业的最优订货决策。以收益最大化为目标建立模型，确定两阶段两产品的最优订货量。
二、问题描述
考虑一个零售企业在售的两种可替代产品面临两阶段需求，第一阶段为固定的大客户需求，产品第一阶段的基本需求为；第二阶段受未来不确定状态的影响（如新政策出台、产品更新），假设有两种可能状态，状态A和状态B且Ω={θ∣A，B}，且状态A和B发生的概率分别为η和1-η。当状态为A时，第二阶段产品的需求预测函数为，其中αi>0表示需求无法替代的部分，而β>γ>0表示当β-γ越大时，产品3-i相对于产品有越低的替代能力；为了使分析有意义，定义α，β满足；那么产品的市场需求为，其中表示需求预测波动的随机变量，且；那么的概率密度函数为，概率分布函数为且；当状态为B时，第二阶段产品的市场需求为，其中表示需求预测波动的随机变量，且，则概率密度函数为，概率分布函数为。假设连续、可导且严格递增的，很多分布都符合这样的性质，如正态分布、均匀分布、指数分布、韦伯分布等。
假设零售企业产品的采购批发单价为，第阶段产品的销售价格为，单位缺货成本为，销售期末单位产品残值为；在第一阶段初期零售企业确定产品订货量和（理性的零售企业第一阶段订货量会满足），第一阶段需求实现，未售出的产品转移到第二阶段；在第二阶段初期零售企业选择产品订货量q21和q22，满足第二阶段的客户需求。
三、零售企业的最优订货决策模型建立与求解
若第二阶段状态为θ（θ=A，B）时，则两阶段需求下零售企业第二阶段的期望利润为
其中， ，对上式求最大化问题，即找到第二阶段产品1、2的订货量，使其满足
由上式我们得到
由此可见，零售企业第二阶段在状态θ下的产品1、2最优订货量为
那么，考虑到理性的的零售企业在第一阶段会选择订货量满足，故此时第一阶段零售企业的最优化问题可表示为：
上式对求一阶导得
其中，故。由一阶条件可知，零售企业无资金约束下两阶段不确定需求下的第一阶段订货量并不影响其期望利润，只需要满足条件即可。
命题1 当第二阶段不确定需求状态为θ时，零售企业第一阶段最优订货量只需满足即可，零售企业第二阶段最优订货量为
从命题1可以看出，第二阶段不确定需求状态并不影响零售企业第一阶段的订货量，零售企业订至少能满足这个阶段的产品即可，这样第一阶段就不会出现缺货。第一阶段未售出的产品转移到第二阶段，第二阶段则根据第一阶段订货量以及第二阶段的市场需求状态来调整订货量。
四、数值仿真
假设零售企业两种产品采购批发单价分别为，产品1，2第一阶段销售价格分别为为，第二阶段销售价格为，单位缺货成本为，销售期末单位产品残值为；第一阶段两产品的基本需求分别为，第二阶段两种可能状态A和B发生的概率分别为0.2和0.8；当状态为A时，第二阶段产品1、2需求服从均值分别为、的均匀分布；当状态为B时，第二阶段产品1、2需求分别为区间[0，1000]、[0，600]上的均匀分布；两阶段零售企业的在售产品1、2最优订货量随两产品价格的变化如图1所示。 由上图1可知，产品1两阶段最优订货量随两产品价格上升而上升，而产品2两阶段最优订货量随产品1的价格上升而上升，随产品2价格的增长首先上升之后呈下降趋势。
结合图2可知，对于高价产品，当β-γ大到一定程度时，也就是低价产品相对于高价产品替代能力越低时，低价产品对高价产品需求影响较弱，也就是，低价产品的价格增长并不能有效地促进消费者去购买更多的高价产品，此时高价产品价格若是过高，会显著减少其市场需求，最优订货量和零售企业期望利润也相应减少。另一方面，当β=100，随着γ逐渐增大，产品之间因为价格的改变对彼此需求影响越来越大，在这种情况下，零售企业最优订货量和期望利润都随着价格的增长而增长。说明产品之间替代能力越强，越能增加市场需求和消费量，进一步增加零售企业销售利润。
由上表可知，零售企业期望利润是第二阶段两种状态下的期望利润与对应状态发生概率的积和，即：。在状态B期望利润值固定的情况下，零售企业期望利润与第二阶段需求状态为A的情况下的期望利润成正相关。若状态A是利好状态，即，状态A发生的概率越大，对零售企业越有利。
五、结语
本文考虑面临未来不确定性状态以及伴随着价格的改变对可替代产品需求变化导致的需求双重不确定的情况下零售企业的价格决策和订货决策行为。通过模型求解和数值实验，得出结论高新技术产品之间的替代能力是零售企业最优定价决策、订货决策以及企业收益的重要影响因素。所得结论可为不确定需求状态下销售两种可替代产品的零售企业提供一定的参考价值。
参考文献：
[1]Mc Gillivray A， Silver Edward A. Some concept for inventory control under substitutable demand[J]. INFOR Journal.1978，v16，n1，p47-63，Feb.
[2]Zheng S. Multiproduct Multiperiod Inventory Models with Substitution[R]. Hong Kong Universty of Science and Technology， 1999.
[3]陳旭. 面向随机需求的可替代易逝品订货策略[J]. 系统管理学报， 2004， 13（4）：300-304.
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[7]周江涛， 杨剑波， 徐冬玲，等. 单向可替代产品价格和库存的联合决策[J]. 数学的实践与认识， 2011， 41（07）：51-62.
[8]苏兵， 徐渝， 陈金亮，等. 单周期二人博弈可替代产品库存模型的应用研究[J]. 中国管理科学， 2005， 13（01）：53-59.
[9]刘天亮， 戴更新， 侯云章. 弹性需求下可替代产品的库存模型研究[J]. 物流技术， 2004（05）：76-78.